初中数学中考复习 专题16 二次根式（原卷版）1

专题16 二次根式

知识点1：二次根式的定义与性质

1.二次根式的定义

一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。

注意：二次根式从形式上看，应含有二次根号；被开方数的取值范围有限制即被开方数a必须是非负数。二次根式无意义的条件是因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

2.二次根式的性质：

（1）二次根式的非负性，的最小值是0；也就是说（）是一个非负数，即。

注：因为二次根式表示a的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如

若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

（2）（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：

（3）

知识点2：二次根式的乘除

1.二次根式的乘法法则：

将上面的公式逆向运用可得： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

2.二次根式的除法法则：

要点诠释：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.

（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.

3.分母有理化：（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。（2）关键：把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。

4.最简二次根式：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。

知识点3：二次根式的加减

1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。

2.二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开方数相同的根式进行合并。

3.二次根式的混合运算

 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；

 (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

一、对于本章内容，学习中应达到以下几方面要求：

1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；

2. 了解最简二次根式的概念；

3. 理解并掌握下列结论：

1）是非负数；　

（2）；　

（3）；

4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；

5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。

二、学习本章思维导图有利于对二次根式的重点把握

三、与的异同点

（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的

平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以

是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的

运算的结果是有差别的， ，而

（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

【例题1】（2020•常德）计算：　  　．

【例题2】（2020•常德）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　．

【例题3】（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

《二次根式》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共36分）

1.若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A． x≠1 B． x≥0 C． x≠0 D． x≥0且x≠1

2.当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（　　）

A． ﹣1       B． 1    C． 2a﹣3   D． 3﹣2a

3．（2020•绥化）化简|3|的结果正确的是（　　）

A．3 B．3 C．3 D．3

4．（2020•泰州）下列等式成立的是（　　）

A．3+47 B． C．2 D．3

5．（2020•聊城）计算3的结果正确的是（　　）

A．1 B． C．5 D．9

6．（2020•无锡）下列选项错误的是（　　）

A．cos60° B．a2•a3＝a5 

C． D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y

7．（2020•杭州）（　　）

A． B． C． D．3

8.下列等式不一定成立的是（　　）

A． =（b≠0）             B． a3•a﹣5=（a≠0）

C． a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b） D． （﹣2a3）2=4a6

9．（2020•上海）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

10．（2020•绥化）下列等式成立的是（　　）

A．±4 B．2 C．﹣a D．8

11．（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

12．（2020•重庆）下列计算中，正确的是（　　）

A． B．22 C． D．22

二、填空题（每空3分，共30分）

13．（2019•衡阳）　　．

14．（2020•苏州）使在实数范围内有意义的x的取值范围是　  　．

15.若=3﹣x，则x的取值范围是　    　．

16．若y=++2，则xy=　  　．

17．若y=﹣2，则（x+y）y=　　．

18．计算的结果是　  　．

19.计算：﹣2等于　   　．

20.（﹣）×=　　．

21.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是　　  .

22．（2020•湖州）计算：|1|=_______

三、解答题（8个小题，共54分）

23.（5分）化简：

24．（5分）计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．

25．（5分）（2020•铜仁市）计算：2（﹣1）2020（）0．

26.（5分）把下列式子的分母有理化：

27.（8分）实数在数轴上对应的点如图：

化简.

28.（8分）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简

29．（6分）探究过程：观察下列各式及其验证过程．

3＝.

验证：3＝×＝

＝

＝＝

＝.

同理可得：4＝

5＝，

…

通过上述探究你能猜测出：a＝________(a>0)，并验证你的结论．

30．（12分）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．

∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　    　，b=　  　；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　　+2=（　　+）2；

（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？