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初中数学中考复习 专题16 角平分线四大模型（原卷版）
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这是一份初中数学中考复习 专题16 角平分线四大模型（原卷版），共6页。试卷主要包含了角平分线上的点向两边作垂线，截取构造对称全等， 角平分线+垂线构造等腰三角形，角平分线+平行线等内容，欢迎下载使用。
1、角平分线上的点向两边作垂线
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。
结论：PB=PA。
2、截取构造对称全等
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。
结论：△OPB≌△OPA。
3、 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。
结论：△AOB 是等腰三角形。
4、角平分线+平行线
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。结论：△POQ 是等腰三角形。
模型精练：
1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
2．（2019•桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．10cm
3．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）
A．m+n＞b+cB．m+n＜b+cC．m+n＝b+cD．无法确定
4．（2019•兰山区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 ．
5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．
6．如图，在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E
（1）若∠C＝30°，求证：AB＝2BE．
（2）若∠C≠30°，求证：BE=12（AC﹣AB）．
7．（2019•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．
8．（2019•临洮县期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．
9．（2019•自贡期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，
（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长；
（2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．
10．（2019•宜昌期中）（1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD＝AB+AC；
（2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．
11．（2019•潮南区期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．
（1）求证：∠2＝∠1+∠C；
（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．
12．（2019•蔡甸区校级月考）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．
13．（2019•崇安区校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
14．（2019•江夏区校级月考）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点
（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；
（2）如图（2），若∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，当∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．
15．（2019•东湖区校级月考）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 ，△AEF的周长是
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．
1、角平分线上的点向两边作垂线
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。
结论：PB=PA。
2、截取构造对称全等
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。
结论：△OPB≌△OPA。
3、 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。
结论：△AOB 是等腰三角形。
4、角平分线+平行线
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。结论：△POQ 是等腰三角形。
模型精练：
1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
2．（2019•桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．10cm
3．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）
A．m+n＞b+cB．m+n＜b+cC．m+n＝b+cD．无法确定
4．（2019•兰山区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 ．
5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．
6．如图，在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E
（1）若∠C＝30°，求证：AB＝2BE．
（2）若∠C≠30°，求证：BE=12（AC﹣AB）．
7．（2019•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．
8．（2019•临洮县期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．
9．（2019•自贡期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，
（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长；
（2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．
10．（2019•宜昌期中）（1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD＝AB+AC；
（2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．
11．（2019•潮南区期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．
（1）求证：∠2＝∠1+∠C；
（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．
12．（2019•蔡甸区校级月考）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．
13．（2019•崇安区校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
14．（2019•江夏区校级月考）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点
（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；
（2）如图（2），若∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，当∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．
15．（2019•东湖区校级月考）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 ，△AEF的周长是
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．
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