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初中数学中考复习 专题16 二次函数的存在性问题（原卷版）
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这是一份初中数学中考复习 专题16 二次函数的存在性问题（原卷版），共17页。
【考点1】二次函数与相似三角形问题
【例1】（2020·湖北随州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）直接写出抛物线的解析式和的度数；
（2）动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
【变式1-1】（2019·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
【变式1-2】（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．
（3）当PH＝2时，求点P的坐标．
【考点2】二次函数与直角三角形问题
【例2】（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点B且与直线相交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标；
（3）点在x轴的正半轴上，点是y轴正半轴上的一动点，且满足．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
【变式2-1】如图，抛物线经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【变式2-2】（2019·甘肃兰州·中考真题）二次函数的图象交轴于两点，交轴于点.动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接.设运动的时间为秒.
(1)求二次函数的表达式:
(2)连接，当时，求的面积:
(3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标;
(4)当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标
【考点3】二次函数与等腰三角形问题
【例3】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
【变式3-1】（2020·贵州黔东南·中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2019·四川眉山·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；
(3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【考点4】二次函数与平行四边形问题
【例4】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
【变式4-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学初三期中）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数（x＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（ ）
A．越来越小B．越来越大C．不变D．先变大后变小
2．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（ ）
A．1B．C．2﹣D．2+
3．二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，，，…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为( )
A．20B．C．22D．
4．已知抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似D．无法确定
5．二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）.
A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2
C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大
二、填空题
6．如图，直线与二次函数的图象交于点B、点C，二次函数图象的顶点为A，当是等腰直角三角形时，则______．
7．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出符合要求的一个二次函数解析式：___________________
8．已知点P为二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若△APC为直角三角形且AC为直角边，则点P的横坐标的值为_____．
9．二次函数y＝2x2+4x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若△ABC为直角三角形，则m＝_____．
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D， 其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，当a=时，△ABD是_______三角形；要使△ACB为等腰三角形，则a值为______
11．二次函数y=一x2+ax+b图象与轴交于,两点，且与轴交于点.
（1）则的形状为 ；
（2）在此抛物线上一动点,使得以四点为顶点的四边形是梯形，则点的坐标为 .
12．如图，二次函数Y=-x2-x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是______．
13．二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为 ．
三、解答题
14．如图，已知二次函数（）的图象与轴交于点和点，与交轴于点，表示当自变量为时的函数值，对于任意实数，均有．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；
（3）若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为．是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
16．已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于和，点是线段上的动点（不与重合），过点作轴，与二次函数的图象交于点．
（1）求的值；
（2）求线段长的最大值；
（3）当为的等腰直角三角形时，求出此时点的坐标．
17．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
18．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．
①过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；
②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．
19．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，的半径为，为上一动点．
（1）求点，的坐标？
（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
20．如图，二次函数的图象经过，，三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是线段上的动点（点与线段的端点不重合），若与相似，求点的坐标．
21．如图， 已知二次函数（，，为常数）的对称轴为，与轴的交点为，的最大值为5，顶点为，过点且平行于轴的直线与抛物线交于点，.
（1）求该二次函数的解析式和点，的坐标.
（2）点是直线上的动点，若点，点，点所构成的三角形与相似，求出所有点的坐标.
22．如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3），B(4，4).
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
23．如图，二次函数的图像交轴于，交轴于，过画直线。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，请判断是否存在以P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在轴右侧的点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为。且△CHM∽△AOC（点与点对应），求点的坐标。
24．如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形.
（1）试求、的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点沿线段从到，同时动点沿线段从到都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当运动过程中能否存在？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？
②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？
25．（14分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求证：四边形ACHD是正方形；
（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线交二次函数的图象于另一点N．
①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；
②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．
26．如图，已知二次函数c为常数的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
求该二次函数的解析式及点M的坐标．
过该二次函数图象上一点P作y轴的平行线，交一边于点Q，是否存在点P，使得以点P、Q、C、O为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
点N是射线CA上的动点，若点M、C、N所构成的三角形与相似，请直接写出所有点N的坐标直接写出结果，不必写解答过程．
27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线顶点，点是直线下方的抛物线上一动点．
（）这个二次函数的表达式为____________．
（）设直线的解析式为，则不等式的解集为___________．
（）连结、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
（）当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
（）若把条件“点是直线下方的抛物线上一动点．”改为“点是抛物线上的任一动点”，其它条件不变，当以、、、为顶点的四边形为梯形时，直接写出点的坐标．
28．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值．
【考点1】二次函数与相似三角形问题
【例1】（2020·湖北随州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）直接写出抛物线的解析式和的度数；
（2）动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
【变式1-1】（2019·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
【变式1-2】（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．
（3）当PH＝2时，求点P的坐标．
【考点2】二次函数与直角三角形问题
【例2】（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点B且与直线相交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标；
（3）点在x轴的正半轴上，点是y轴正半轴上的一动点，且满足．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
【变式2-1】如图，抛物线经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【变式2-2】（2019·甘肃兰州·中考真题）二次函数的图象交轴于两点，交轴于点.动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接.设运动的时间为秒.
(1)求二次函数的表达式:
(2)连接，当时，求的面积:
(3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标;
(4)当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标
【考点3】二次函数与等腰三角形问题
【例3】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
【变式3-1】（2020·贵州黔东南·中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2019·四川眉山·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；
(3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【考点4】二次函数与平行四边形问题
【例4】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
【变式4-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学初三期中）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数（x＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（ ）
A．越来越小B．越来越大C．不变D．先变大后变小
2．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（ ）
A．1B．C．2﹣D．2+
3．二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，，，…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为( )
A．20B．C．22D．
4．已知抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似D．无法确定
5．二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）.
A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2
C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大
二、填空题
6．如图，直线与二次函数的图象交于点B、点C，二次函数图象的顶点为A，当是等腰直角三角形时，则______．
7．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出符合要求的一个二次函数解析式：___________________
8．已知点P为二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若△APC为直角三角形且AC为直角边，则点P的横坐标的值为_____．
9．二次函数y＝2x2+4x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若△ABC为直角三角形，则m＝_____．
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D， 其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，当a=时，△ABD是_______三角形；要使△ACB为等腰三角形，则a值为______
11．二次函数y=一x2+ax+b图象与轴交于,两点，且与轴交于点.
（1）则的形状为 ；
（2）在此抛物线上一动点,使得以四点为顶点的四边形是梯形，则点的坐标为 .
12．如图，二次函数Y=-x2-x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是______．
13．二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为 ．
三、解答题
14．如图，已知二次函数（）的图象与轴交于点和点，与交轴于点，表示当自变量为时的函数值，对于任意实数，均有．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；
（3）若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为．是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
16．已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于和，点是线段上的动点（不与重合），过点作轴，与二次函数的图象交于点．
（1）求的值；
（2）求线段长的最大值；
（3）当为的等腰直角三角形时，求出此时点的坐标．
17．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
18．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．
①过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；
②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．
19．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，的半径为，为上一动点．
（1）求点，的坐标？
（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
20．如图，二次函数的图象经过，，三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是线段上的动点（点与线段的端点不重合），若与相似，求点的坐标．
21．如图， 已知二次函数（，，为常数）的对称轴为，与轴的交点为，的最大值为5，顶点为，过点且平行于轴的直线与抛物线交于点，.
（1）求该二次函数的解析式和点，的坐标.
（2）点是直线上的动点，若点，点，点所构成的三角形与相似，求出所有点的坐标.
22．如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3），B(4，4).
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
23．如图，二次函数的图像交轴于，交轴于，过画直线。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，请判断是否存在以P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在轴右侧的点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为。且△CHM∽△AOC（点与点对应），求点的坐标。
24．如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形.
（1）试求、的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点沿线段从到，同时动点沿线段从到都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当运动过程中能否存在？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？
②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？
25．（14分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求证：四边形ACHD是正方形；
（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线交二次函数的图象于另一点N．
①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；
②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．
26．如图，已知二次函数c为常数的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
求该二次函数的解析式及点M的坐标．
过该二次函数图象上一点P作y轴的平行线，交一边于点Q，是否存在点P，使得以点P、Q、C、O为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
点N是射线CA上的动点，若点M、C、N所构成的三角形与相似，请直接写出所有点N的坐标直接写出结果，不必写解答过程．
27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线顶点，点是直线下方的抛物线上一动点．
（）这个二次函数的表达式为____________．
（）设直线的解析式为，则不等式的解集为___________．
（）连结、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
（）当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
（）若把条件“点是直线下方的抛物线上一动点．”改为“点是抛物线上的任一动点”，其它条件不变，当以、、、为顶点的四边形为梯形时，直接写出点的坐标．
28．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值．
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