初中数学中考复习 专题16二次函数的存在性问题（原卷版）

这是一份初中数学中考复习 专题16二次函数的存在性问题（原卷版），共19页。
决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题16二次函数的存在性问题【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设，当k为何值时，.②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．【变式1-1】如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线与直线交于，两点．（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．（3）点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．【变式1-2】如图，已知抛物线(m＞0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧.（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H，使AH+CH的值最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【考点2】二次函数与直角三角形问题【例2】如图，抛物线的顶点坐标为，图象与轴交于点，与轴交于、两点．求抛物线的解析式；设抛物线对称轴与直线交于点，连接、，求的面积；点为直线上的任意一点，过点作轴的垂线与抛物线交于点，问是否存在点使为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-1】如图，经过轴上两点的抛物线（）交轴于点，设抛物线的顶点为，若以为直径的⊙G经过点，求解下列问题：（1）用含的代数式表示出的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）能否在抛物线上找到一点，使为直角三角形？如能，求出点的坐标，若不能，请说明理由。【变式2-2】已知抛物线与轴只有一个交点，且与轴交于点，如图，设它的顶点为B．（1）求的值；（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线上求点P，使得△是以EF为直角边的直角三角形？【考点3】二次函数与等腰三角形问题【例3】如图，已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【变式3-1】如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-2】如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点.（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作直线轴于点，交直线于点.①当时，求点坐标；② 是否存在点使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.【考点4】二次函数与平行四边形问题【例4】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P．（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过A（0，﹣4），B（，0），C（，0）三点，且．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．【变式4-2】如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.【达标训练】一、单选题1．将抛物线y=﹣2x2﹣1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（  ）A．个单位            B．1个单位 C．个单位            D．个单位2．如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若是以为底的等腰三角形，则的值为（    ）．A．或 B．或C．或 D．或  二、填空题3．如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于，两点．是抛物线上一点，过作轴，垂足为．如果以，，为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是________．4．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．当△PAC为直角三角形时点P的坐标           ．5．如图，已知抛物线 与 轴交于A、C两点，与 轴交于点B，在抛物线的对称轴上找一点Q，使△ABQ成为等腰三角形，则Q点的坐标是____. 6．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+4与y轴交于点C，点D（0，2），点M是抛物线上的动点．若△MCD是以CD为底的等腰三角形，则点M的坐标为_____．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果四边形ABMP是平行四边形，则点M的坐标为______．8．已知抛物线y＝（x﹣2）2，P是抛物线对称轴上的一个点，直线x＝t分别与直线y＝x、抛物线交于点A，B，若△ABP是等腰直角三角形，则t的值为_____．9．将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线的图象是抛物线对称轴上的一个动点,直线平行于y轴,分别与直线、抛物线交于点A、若是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则 ______ .10．如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．若已知点的坐标为．点在抛物线的对称轴上，当为等腰三角形时，点的坐标为________．11．如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点分别是直线与抛物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为__________.  三、解答题12．如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴于D，C两点，已知，．求抛物线的函数表达式并写出抛物线的对称轴；在直线AB下方的抛物线上是否存在一点E，使得的面积最大？如果存在，求出E点坐标；如果不存在，请说明理由．为抛物线上一动点，连接PA，过点P作交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），连接AC、BC，将△ABC绕点C逆时针旋转，使点A落在x轴上，得到△DCE，此时，DE所在直线与抛物线交于第一象限的点F.（1）求抛物线对应的函数关系式.（2）求点A所经过的路线长.（3）抛物线的对称轴上是否存在点P使△PDF是等腰三角形.若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.14．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点B（，0）．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．15．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点，点是抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点.（1）试求该抛物线的表达式；（2）如图（1），若点在第三象限，四边形是平行四边形，求点的坐标；（3）如图（2），过点作轴，垂足为，连接，①求证：是直角三角形；②试问当点横坐标为何值时，使得以点为顶点的三角形与相似？16．如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．17．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和C（0，4）．
 （1）求这条抛物线的解析式；
（2）直线y=x+1与抛物线相交于A、D两点，点P是抛物线上一个动点，点P的横坐标是m，且-1＜m＜3，设△ADP的面积为S，求S的最大值及对应的m值；
（3）点M是直线AD上一动点，直接写出使△ACM为等腰三角形的点M的坐标．18．在平面直角坐标系中有，为原点，，，将此三角形绕点顺时针旋转得到，抛物线过三点．（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）直线与抛物线交于两点，若，求的值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点使得为直角三角形．19．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝2DQ，求点F的坐标．20．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）点M是上述抛物线上一点，如果△ABM和△ABC相似，求点M的坐标；（3）连接AC，求顶点D、E、F、G在△ABC各边上的矩形DEFC面积最大时，写出该矩形在AB边上的顶点的坐标．21．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．23．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．（1）求这个抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．抛物线的图象经过坐标原点，且与轴另交点为.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，直线与抛物线相交于点和点（点在第二象限），求的值（用含的式子表示）；（3）在（2）中，若，设点是点关于原点的对称点，如图.平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.26．已知：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)、B两点（A在B左），y轴交于点C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以B、C、E、P为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．   27．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h的值．28．综合与探究如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点.（1）求抛物线解析式：（2）抛物线对称轴上存在一点，连接、，当值最大时，求点H坐标：（3）若抛物线上存在一点，，当时，求点坐标：（4）若点M是平分线上的一点，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点坐标.29．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是，且经过A（﹣4，0），C（0，2）两点，直线l：y=kx+t（k≠0）经过A，C．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点P作PF⊥AC，垂足为F，当△PEF≌△AED时，求出点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，为原点，的边在轴上，点在轴上，点的坐标为，，，点是边上一点，，过、、三点，抛物线过点、、三点.(1)求抛物线的解析式.(2)若将绕点顺时针旋转，点的对应点会落在抛物线上吗？请说明理由.(3)若点为此抛物线的顶点，平面上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.31．在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）经过点、，与轴的交点为点．（1）求此抛物线的表达式；（2）点为轴上一点，如果直线和直线的夹角为15º，求线段的长度；（3）设点为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△为直角三角形时，求点的坐标．32．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．