初中数学中考复习 专题17 勾股定理（原卷版）

专题17  勾股定理

知识点1：勾股定理

1.直角三角形的性质（重点记住并理解的知识）：

(1)直角三角形的两个锐角互余；

(2)直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；

(3)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

2.勾股定理：

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

3.勾股定理的作用

（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

（2）用于解决带有平方关系的证明问题；

（3）与勾股定理有关的面积计算；

（4）勾股定理在实际生活中的应用．

知识点2：勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

3.勾股定理的逆定理的综合应用

综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．

4．互逆命题的概念

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

A.命题：判断一件事情的语句，叫做命题。

命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

B.命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题）和假命题（错误的命题）。所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

C.公理:人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

D.定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

E.证明:判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

5.直角三角形的判定方法

（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。

（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理是直角三角形具备的重要性质。本章要求学生在理解勾股定理的前提下，学会利用这个定理解决实际问题。可以通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受。

一、学会建构思维导图是理解知识的重要表现

二、理解勾股数

能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数

 (1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数．两者缺一不可．

(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形．

【例题1】（2020•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4

【例题2】（2020•苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　　．

《勾股定理》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（　　）

A．斜边长为5     B．三角形的周长为25

C．斜边长为25     D．三角形的面积为20

2.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　）

A．42   B．32 C．42或32    D．37或33

3．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（　　）

A．4cm  B． cm   C．6cm  D． cm

4．如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c

5．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（　　）

A．或 B．或 C．    D．

6．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（　　）

A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍

7．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(    )

A．10　   B．8     C．6或10  　　D．8或10

8.△ABC中，a、b、c是三角形的三条边，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（　　）

A．锐角三角形  B．直角三角形   C．钝角三角形  D．等腰三角形

9.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（    ）

A．8，15，17 B．4，5，6 

C．5，8，10  D．8，39，40

10.（1）7,24,25；（2）8,15,19；（3）0.6,0.8,1.0；(4)3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)．上面各组数中，勾股数有（    ）组．

A. 2        B.3           C.4          D.5

二、填空题（每空3分，共15分）

11.在Rt△ABC中，∠C=90°，b=6，c=10，则a=　　．

12.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=　　．

13．直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的高是　  　．

14．（2020•安顺）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为　   　．

15.如图，在△ABC中，D为BC边上的点，已知：AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则DC=_____.

三、解答题（6个小题，共75分）

16.（10分）如图，AD⊥AB，BD⊥BC，AB=3，AD=4，CD=13，求BC的大小？

17.（10分）如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再转向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？

18.（15分）四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

19.（15分）如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数），则△ABC是直角三角形吗？

20.（15分）在△ABC中，AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC的周长为多少.

21.（10分）如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试说明这个三角形是直角三角形．