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初中数学中考复习 专题17（吉林省长春市专用）（解析版）-2021年31个地区中考数学精品模拟试卷
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这是一份初中数学中考复习 专题17（吉林省长春市专用）（解析版）-2021年31个地区中考数学精品模拟试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年吉林省长春市中考数学精品模拟试卷
（满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
，，，，
∵，
∴绝对值最小的数是.
2．2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（ ）
A．4×1012元 B．4×1010元 C．4×1011元 D．40×109元
【答案】C
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
4000亿＝400000000000＝4×1011，
3．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图图形即可．
从正面看所得到的图形为选项中的图形．
【点拨】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
4．不等式组的解集是（ ）
A．x≥2 B．﹣1＜x≤2 C．x≤2 D．﹣1＜x≤1
【答案】A
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大确定不等式组的解集．
解不等式x+3＞2，得：x＞﹣1，
解不等式1﹣2x≤﹣3，得：x≥2，
∴不等式组的解集为：x≥2
5. 如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（ ）
A． 15° B． 25° C． 35° D． 55°
【答案】C
【解析】首先过点C作CE∥a，可得CE∥a∥b，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．过点C作CE∥a，
∵a∥b，
∴CE∥a∥b，
∴∠BCE=∠α，∠ACE=∠β=55°，
∵∠C=90°，
∴∠α=∠BCE=∠ABC﹣∠ACE=35°．
6．等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可．
①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k＝0，解得k＝4，
此时，两腰的和=x1+x2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；
②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝3；
综上，k的值为3或4.
7．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【解析】由三角形中位线定理可求AB＝10，由菱形的性质即可求解．
∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=12AB＝5，
∴AB＝10，
∵四边形ABD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40
8．如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．
∵AB∥x轴，
∴A，B两点纵坐标相同．
设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．
∵S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，
∴k1﹣k2=8．
二、填空（6各小题，每小题3分，共18分）
9．已知a为整数，且＜a＜，则a等于 ．
【答案】2
【解析】直接利用，接近的整数是2，进而得出答案．
∵，a为整数，且＜a＜，
∴a＝2．
故答案为：2．
10．已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为 ．
【答案】49．
【解析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．
∵a＝7﹣3b，
∴a+3b＝7，
∴a2+6ab+9b2＝（a+3b）2＝72＝49
11．将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
【答案】y=12x+2．
【解析】直接根据一次函数互相垂直时系数之积为﹣1，进而得出答案．
在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），
将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），
旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：y=12x+b，
将点（﹣4，0）代入得，12×(-4)+b＝0，
解得b＝2，
∴旋转后对应的函数解析式为：y=12x+2
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为________。
【答案】1
【解析】如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】BD＝CD．
【解析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
AB=AC∠ABD=∠ACDBD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
14．二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 ．
【答案】（32，﹣9）或（32，6）．
【分析】把点A（6，0）代入y＝ax2﹣3ax+3得，0＝36a﹣18a+3，得到y=-16x2+12x+3，求得B（0，3），抛物线的对称轴为x=-122×(-16)=32，设点M的坐标为：（32，m），当∠ABM＝90°，过B作BD⊥对称轴于D，当∠M′AB＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】把点A（6，0）代入y＝ax2﹣3ax+3得，0＝36a﹣18a+3，
解得：a=-16，
∴y=-16x2+12x+3，
∴B（0，3），抛物线的对称轴为x=-122×(-16)=32，
设点M的坐标为：（32，m），
当∠ABM＝90°，
过B作BD⊥对称轴于D，
则∠1＝∠2＝∠3，
∴tan∠2＝tan∠1=63=2，
∴DMBD=2，
∴DM＝3，∴M（32，6），
当∠M′AB＝90°，∴tan∠3=M'NAN=tan∠1=63=2，
∴M′N＝9，∴M′（32，﹣9），
综上所述，点M的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】2a2+4a,6
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值．
原式=
=
=
=2a(a+2)
=2a2+4a.
∵，
∴a2+2a=3.
∴原式=2（a2+2a）=6.
16．（6分）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数﹣1，2，5，8．
（1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为 ；
（2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率．
【答案】见解析。
【解析】（1）4张卡片，共4种结果，其中是“偶数”的有2种，因此抽到偶数的概率为24=12，
故答案为：12；
（2） 用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有16种可能出现的结果，其中“两数差的绝对值大于3”的有6种，
∴P（差的绝对值大于3）=616=38．
17．（8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：△BAE≌△CDE；
（2）求∠AEB的度数．
【答案】见解析。
【解析】（1）利用等边三角形的性质得到∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，利用正方形的性质得到AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，所以∠EAB＝∠EDC＝150°，然后根据“SAS”判定△BAE≌△CDE；
（2）先证明AB＝AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABE的度数．
（1）证明：∵△ADE为等边三角形，
∴∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴∠EAB＝∠EDC＝150°，
在△BAE和△CDE中
AB=DC∠EAB=∠EDCAE=DE，
∴△BAE≌△CDE（SAS）；
（2）∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠EAB＝150°，
∴∠ABE=12（180°﹣150°）＝15°．
18．（6分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】见解析。
【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．
【解析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
19．（8分）在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为的切线；
（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）①OA垂直平分CE，理由见解析；②
【解析】（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵OA平分交BC于点O，
∴OG=OC，
∴点G在上，
即AB与相切；
（2）①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与相切于点E，AC与相切于点C，
∴AE=AC，
∵OE=OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵，
则FC=2OF，在△OCF中，
，
解得：OF=，则CF=，
由①得：OA⊥CE，
则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，
∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴，即，
解得：AC=6，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴，设BO=x，BE=y，
则，
可得：，
解得：，即BO=5，BE=4，
∴tanB==.
【点睛】本题考查了圆的综合，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用，有一定难度，解题要合理选择相似三角形得出结论.
20．（6分）某校举行了“防溺水”知识竞赛，八年级两个班选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手成绩(均为整数)绘制了统计表和折线统计图(如图所示)．
(1)统计表中,a=________, b =________；
(2)若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛,其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额 在成绩为98分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．
【答案】（1）96，96；（2）
【解析】（1）由图可知：
八（1）班学生成绩分别为：100、92、98、96、88、96、89、98、96、92，
∴八（1）班的众数为：96，即a=96，
八（2）班学生成绩分别为：89、98、93、98、95、97、91、90、98、99，
从小到大排列为：89、90、91、93、95、97、98、98、98、99，
八（2）班的中位数为：（95+97）÷2=96，即b=96；
故答案为：96；96；
（2）设八（1）班98分的学生分别为A，B，八（2）班98分的学生分别为D、C、E，
可知共有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）10种情况，
其中满足另外两个决赛名额落在不同班级的情况有（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），共6种，
∴另外两个决赛名额落在不同班级的概率为.
21．（9分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【答案】（1）购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；（2）方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根
【解析】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：，
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，
根据题意，得：，
解得：m≤22，
又m﹥20，且m为整数，
∴m=21或22，
∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根．
22．（8分）[问题]小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集．
他经历了如下思考过程：
[回顾]
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝交于A （1，3）和B（﹣3，﹣1），则不等式ax+b＞的解集是 ．
[探究]将不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0按条件进行转化：
当x＝0时，原不等式不成立；
当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞；
当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜．
（2）构造函数，画出图象：
设y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象；
双曲线y4＝如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y＝x2+3x﹣1．（不用列表）
（3）确定两个函数图象公共点的横坐标：
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3＝y4的所有x的值为 ．
[解决]
（4）借助图象，写出解集：
结合“探究”中的讨论，观察两个函数的图象可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为 ．
【答案】见解析。
【解析】（1）如图1中，观察图形可知：不等式ax+b＞的解集为x＞1或﹣3＜x＜0．
故答案为：x＞1或﹣3＜x＜0．
（2）函数y3＝x2+3x﹣1的图形如图所示：
（3）观察图象可知，两个函数图象的公共点的横坐标为﹣3，﹣1，1．
经过检验可知：点（﹣3，﹣1），点（﹣1，﹣3），点（1，3）是两个函数的交点坐标，
满足y3＝y4的所有x的值为﹣3或﹣1或1．
故答案为﹣3或﹣1或1．
（4）观察图象，当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞的解集为x＞1，
当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜的解集为x＜﹣3或﹣1＜x＜0，
∴不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
故答案为x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
23．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．
图1 图2
【答案】见解析。
【解析】（1）QB＝8－2t，PD＝．
（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．
图3
过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．
在Rt△APE中，，所以．
当PQ//AB时，，即．解得．
所以点Q的运动速度为．
（3）以C为原点建立直角坐标系．
如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．
如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．
直线EF的解析式是y＝－2x＋6．
如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．
图4 图5 图6
24．（11分）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
图1 备用图
【答案】见解析。
【解析】（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．
由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4, 5a)．
由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．
（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．
设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．
由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝
＝＝＝，
得△ACE的面积的最大值为．解方程，得．
（3）已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：
①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．
由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．
当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4, 21a)．
由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1, 26a)．
由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．
整理，得7a2＝1．所以．此时P．
②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．
由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．
由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P(1, 8a)．
由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．
整理，得4a2＝1．所以．此时P．
图1 图2 图3
2021年吉林省长春市中考数学精品模拟试卷
（满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
，，，，
∵，
∴绝对值最小的数是.
2．2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（ ）
A．4×1012元 B．4×1010元 C．4×1011元 D．40×109元
【答案】C
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
4000亿＝400000000000＝4×1011，
3．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图图形即可．
从正面看所得到的图形为选项中的图形．
【点拨】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
4．不等式组的解集是（ ）
A．x≥2 B．﹣1＜x≤2 C．x≤2 D．﹣1＜x≤1
【答案】A
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大确定不等式组的解集．
解不等式x+3＞2，得：x＞﹣1，
解不等式1﹣2x≤﹣3，得：x≥2，
∴不等式组的解集为：x≥2
5. 如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（ ）
A． 15° B． 25° C． 35° D． 55°
【答案】C
【解析】首先过点C作CE∥a，可得CE∥a∥b，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．过点C作CE∥a，
∵a∥b，
∴CE∥a∥b，
∴∠BCE=∠α，∠ACE=∠β=55°，
∵∠C=90°，
∴∠α=∠BCE=∠ABC﹣∠ACE=35°．
6．等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可．
①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k＝0，解得k＝4，
此时，两腰的和=x1+x2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；
②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝3；
综上，k的值为3或4.
7．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【解析】由三角形中位线定理可求AB＝10，由菱形的性质即可求解．
∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=12AB＝5，
∴AB＝10，
∵四边形ABD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40
8．如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．
∵AB∥x轴，
∴A，B两点纵坐标相同．
设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．
∵S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，
∴k1﹣k2=8．
二、填空（6各小题，每小题3分，共18分）
9．已知a为整数，且＜a＜，则a等于 ．
【答案】2
【解析】直接利用，接近的整数是2，进而得出答案．
∵，a为整数，且＜a＜，
∴a＝2．
故答案为：2．
10．已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为 ．
【答案】49．
【解析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．
∵a＝7﹣3b，
∴a+3b＝7，
∴a2+6ab+9b2＝（a+3b）2＝72＝49
11．将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
【答案】y=12x+2．
【解析】直接根据一次函数互相垂直时系数之积为﹣1，进而得出答案．
在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），
将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），
旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：y=12x+b，
将点（﹣4，0）代入得，12×(-4)+b＝0，
解得b＝2，
∴旋转后对应的函数解析式为：y=12x+2
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为________。
【答案】1
【解析】如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】BD＝CD．
【解析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
AB=AC∠ABD=∠ACDBD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
14．二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 ．
【答案】（32，﹣9）或（32，6）．
【分析】把点A（6，0）代入y＝ax2﹣3ax+3得，0＝36a﹣18a+3，得到y=-16x2+12x+3，求得B（0，3），抛物线的对称轴为x=-122×(-16)=32，设点M的坐标为：（32，m），当∠ABM＝90°，过B作BD⊥对称轴于D，当∠M′AB＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】把点A（6，0）代入y＝ax2﹣3ax+3得，0＝36a﹣18a+3，
解得：a=-16，
∴y=-16x2+12x+3，
∴B（0，3），抛物线的对称轴为x=-122×(-16)=32，
设点M的坐标为：（32，m），
当∠ABM＝90°，
过B作BD⊥对称轴于D，
则∠1＝∠2＝∠3，
∴tan∠2＝tan∠1=63=2，
∴DMBD=2，
∴DM＝3，∴M（32，6），
当∠M′AB＝90°，∴tan∠3=M'NAN=tan∠1=63=2，
∴M′N＝9，∴M′（32，﹣9），
综上所述，点M的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】2a2+4a,6
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值．
原式=
=
=
=2a(a+2)
=2a2+4a.
∵，
∴a2+2a=3.
∴原式=2（a2+2a）=6.
16．（6分）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数﹣1，2，5，8．
（1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为 ；
（2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率．
【答案】见解析。
【解析】（1）4张卡片，共4种结果，其中是“偶数”的有2种，因此抽到偶数的概率为24=12，
故答案为：12；
（2） 用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有16种可能出现的结果，其中“两数差的绝对值大于3”的有6种，
∴P（差的绝对值大于3）=616=38．
17．（8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：△BAE≌△CDE；
（2）求∠AEB的度数．
【答案】见解析。
【解析】（1）利用等边三角形的性质得到∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，利用正方形的性质得到AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，所以∠EAB＝∠EDC＝150°，然后根据“SAS”判定△BAE≌△CDE；
（2）先证明AB＝AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABE的度数．
（1）证明：∵△ADE为等边三角形，
∴∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴∠EAB＝∠EDC＝150°，
在△BAE和△CDE中
AB=DC∠EAB=∠EDCAE=DE，
∴△BAE≌△CDE（SAS）；
（2）∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠EAB＝150°，
∴∠ABE=12（180°﹣150°）＝15°．
18．（6分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】见解析。
【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．
【解析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
19．（8分）在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为的切线；
（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）①OA垂直平分CE，理由见解析；②
【解析】（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵OA平分交BC于点O，
∴OG=OC，
∴点G在上，
即AB与相切；
（2）①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与相切于点E，AC与相切于点C，
∴AE=AC，
∵OE=OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵，
则FC=2OF，在△OCF中，
，
解得：OF=，则CF=，
由①得：OA⊥CE，
则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，
∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴，即，
解得：AC=6，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴，设BO=x，BE=y，
则，
可得：，
解得：，即BO=5，BE=4，
∴tanB==.
【点睛】本题考查了圆的综合，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用，有一定难度，解题要合理选择相似三角形得出结论.
20．（6分）某校举行了“防溺水”知识竞赛，八年级两个班选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手成绩(均为整数)绘制了统计表和折线统计图(如图所示)．
(1)统计表中,a=________, b =________；
(2)若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛,其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额 在成绩为98分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．
【答案】（1）96，96；（2）
【解析】（1）由图可知：
八（1）班学生成绩分别为：100、92、98、96、88、96、89、98、96、92，
∴八（1）班的众数为：96，即a=96，
八（2）班学生成绩分别为：89、98、93、98、95、97、91、90、98、99，
从小到大排列为：89、90、91、93、95、97、98、98、98、99，
八（2）班的中位数为：（95+97）÷2=96，即b=96；
故答案为：96；96；
（2）设八（1）班98分的学生分别为A，B，八（2）班98分的学生分别为D、C、E，
可知共有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）10种情况，
其中满足另外两个决赛名额落在不同班级的情况有（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），共6种，
∴另外两个决赛名额落在不同班级的概率为.
21．（9分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【答案】（1）购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；（2）方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根
【解析】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：，
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，
根据题意，得：，
解得：m≤22，
又m﹥20，且m为整数，
∴m=21或22，
∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根．
22．（8分）[问题]小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集．
他经历了如下思考过程：
[回顾]
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝交于A （1，3）和B（﹣3，﹣1），则不等式ax+b＞的解集是 ．
[探究]将不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0按条件进行转化：
当x＝0时，原不等式不成立；
当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞；
当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜．
（2）构造函数，画出图象：
设y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象；
双曲线y4＝如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y＝x2+3x﹣1．（不用列表）
（3）确定两个函数图象公共点的横坐标：
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3＝y4的所有x的值为 ．
[解决]
（4）借助图象，写出解集：
结合“探究”中的讨论，观察两个函数的图象可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为 ．
【答案】见解析。
【解析】（1）如图1中，观察图形可知：不等式ax+b＞的解集为x＞1或﹣3＜x＜0．
故答案为：x＞1或﹣3＜x＜0．
（2）函数y3＝x2+3x﹣1的图形如图所示：
（3）观察图象可知，两个函数图象的公共点的横坐标为﹣3，﹣1，1．
经过检验可知：点（﹣3，﹣1），点（﹣1，﹣3），点（1，3）是两个函数的交点坐标，
满足y3＝y4的所有x的值为﹣3或﹣1或1．
故答案为﹣3或﹣1或1．
（4）观察图象，当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞的解集为x＞1，
当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜的解集为x＜﹣3或﹣1＜x＜0，
∴不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
故答案为x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
23．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．
图1 图2
【答案】见解析。
【解析】（1）QB＝8－2t，PD＝．
（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．
图3
过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．
在Rt△APE中，，所以．
当PQ//AB时，，即．解得．
所以点Q的运动速度为．
（3）以C为原点建立直角坐标系．
如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．
如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．
直线EF的解析式是y＝－2x＋6．
如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．
图4 图5 图6
24．（11分）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
图1 备用图
【答案】见解析。
【解析】（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．
由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4, 5a)．
由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．
（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．
设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．
由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝
＝＝＝，
得△ACE的面积的最大值为．解方程，得．
（3）已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：
①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．
由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．
当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4, 21a)．
由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1, 26a)．
由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．
整理，得7a2＝1．所以．此时P．
②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．
由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．
由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P(1, 8a)．
由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．
整理，得4a2＝1．所以．此时P．
图1 图2 图3
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