初中数学中考复习 专题23 旋转（原卷版）

专题23 旋转

1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。） 如下图所示：

2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360°）。

3.旋转的性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

4.中心对称图形与中心对称

中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

5.中心对称图形的判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

6.中心对称的性质：

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
 

    本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习的兴趣。

1．中心对称和中心对称图形的区别

区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。

如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。

2.坐标系中对称点的特征   

（1）关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）

（2）关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（x，-y）

（3）关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（-x，y） 

3.旋转变换的应用总结

（1）求角度；

（2）求弧度；

（3）求面积；

（4）证明线段相等；

（5）证明角相等；

（6）证明位置关系；

（7）综合应用。

解题关键就是，要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等。

【例题1】（2020•枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（　　）

A．（，3） B．（﹣3，） C．（，2） D．（﹣1，2）

【例题2】（2020•黑龙江龙东）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．

（1）BE与MN的数量关系是　     　．

（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

《旋转》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.(2019黑龙江绥化)下列图形中,属于中心对称图形的是(    )

2.（2019辽宁本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）

A               B                     C                     D

3.（2019山东枣庄）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（　　）

A．4 B．2 C．6 D．2

4．（2020•苏州）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（　　）

A．18° B．20° C．24° D．28°

5.（2020年浙江绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 

B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 

C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 

D．平行四边形→菱形→正方形→矩形

6.（2019•南京）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④

7.（2019•湖北孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（　　）

A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）

8.（2019•山东省聊城市）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）

9.（2019•河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　）

A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）

10.（2020年浙江嘉兴）如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　）

A．2 B． C． D．

二、填空题（每空3分，共30分）

11.（2019•海南省）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转á（0°＜á＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转â（0°＜â＜90°）得到AF，连结EF．若AB＝3，AC＝2，且á+â＝∠B，则EF＝　　．

12.（2019•湖南邵阳）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是　　．

13.(2019山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为______cm.

14.（2019山东淄博）如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角á（0＜á＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则á＝　　度．

15.（2019▪广西池河）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是　　．

16.（2019▪黑龙江哈尔滨）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为　　．

17.（2020年浙江丽水）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．

（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是　  　cm．

（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为　  　cm．

18.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=　   　°．

19.如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为       ．

20.如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，1），（﹣1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为　   　．                                                                                                 

三、解答题（6个小题，共60分）

21．（8分）（2020•达州）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．

（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；

（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．

22．（8分）（2020•福建）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．

（1）求∠BDE的度数；

（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．

①判断DF和PF的数量关系，并证明；

②求证：．

23.（9分）（2019北京市）已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：；

（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．

24.（9分）如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（﹣6，12），B（﹣6，0），C（0，6），D（﹣6，6）．以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°．

（1）画出旋转后的小旗A′C′D′B′；

（2）写出点A′，C′，D′的坐标；

（3）求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．

25.（12分）（2019•广西贵港）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为á，当90°＜á＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．

（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．

①写出旋转角á的度数；

②求证：EA′+EC＝EF；

（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）

26.（14分）（2020年浙江绍兴）如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．

（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．

（2）在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．

①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．

②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．

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