初中数学中考复习 专题24 几何初步与平行线【考点精讲】（解析版）

考点1：直线、射线、线段，角的有关概念与计算

1．直线、射线、线段与角

（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.

（2）射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.

（3）线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。线段有两个端点,有长短之分,将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.

（4）两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫做两点之间的距离。

2．1°=60',1'=60″.

3．1周角=2平角=4直角=360°.

4．余角、补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，同角或等角补角相等.

5．对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角相等.

【例1】（2021·浙江台州市）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（   ）

A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短

C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线

【答案】A

【分析】根据线段的性质即可求解．

【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，

故选：A．

【例2】（2021·上海）的余角是__________．

【答案】

【分析】根据余角的定义即可求解．

【详解】70°的余角是90°-70°=20°

故答案为：20°．

（1）互为余角的两个角的和等于90°;

（2）互为补角的两个角的和等于180°.

1．（2021·山东临沂市）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是             只填写序号）．

①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；

②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；

③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；

④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．

【答案】①

【分析】根据直线的性质，圆的性质，特殊四边形的性质分别判断即可．

【详解】解：①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故正确；

②车轮做成圆形，应用了“同圆的半径相等”，故错误；

③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的四边相等”，故错误；

④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形的四个角是直角，可以密铺”，故错误；

故答案为：①．

2．（2021·贵州）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质依次判断．

【详解】

解：∵，∴，故A选项正确；

∵，

∴,

∵,

∴,故B选项正确；

，故C选项正确；

∵，

∴EF=BE，故D选项错误，

故选：D．

3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠BOD：∠BOE＝1：2，则∠AOE的大小为（　　）

A．72° B．98° C．100° D．108°

【分析】根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE，根据邻补角的定义列出方程，解方程求出∠BOD，根据对顶角相等求出∠OAC，结合图形计算，得到答案．

【详解】解：设∠BOD＝x，

∵∠BOD：∠BOE＝1：2，

∴∠BOE＝2x，

∵OE平分∠BOC，

∴∠COE＝∠BOE＝2x，

∴x+2x+2x＝180°，

解得，x＝36°，即∠BOD＝36°，∠COE＝72°，

∴∠OAC＝∠BOD＝36°，

∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝108°，

故选：D．

考点2：角平分线与垂直平分线

1．角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上. 

2．线段垂直平分线

（1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.

（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 

【例3】（2021·山东临沂市）如图，在中，，平分，则的度数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD，再根据角平分线的定义得到∠ABC=∠BCD，再利用三角形外角的性质计算即可．

【详解】

解：∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠BCD，

∵CB平分∠DCE，

∴∠BCE=∠BCD，

∴∠BCE=∠ABC，

∵∠AEC=∠BCE+∠ABC=40°，

∴∠ABC=20°，

故选B．

【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，

若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（　　）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，然后根据三角形的周长推出△BCF的周长＝AC+BC，即可得解．

【详解】解：∵DF为AB的垂直平分线，

∴AF＝BF，

∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，

∵AB＝AC，AB+BC＝6，

∴AC+BC＝6，

∴△BCF的周长为6．

故选：D．

（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上;

（2）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.

1．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．

【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，

∴∠BAC+∠ABC＝90°，

又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，

∴∠BAD+∠ABE（∠BAC+∠ABC）＝45°，

∴∠APB＝135°，故①正确．

∴∠BPD＝45°，

又∵PF⊥AD，

∴∠FPB＝90°+45°＝135°，

∴∠APB＝∠FPB，

又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，

∴△ABP≌△FBP，

∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．

在△APH和△FPD中，

∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，

∴△APH≌△FPD，

∴PH＝PD，故③正确．

∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，

∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，

∴点P到BC、AC的距离相等，

∴点P在∠ACB的平分线上，

∴CP平分∠ACB，故④正确．

故选：D．

2．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．

（1）求证：BD＝CE；

（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．

【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．

【解答】（1）证明：连接BP、CP，

∵点P在BC的垂直平分线上，

∴BP＝CP，

∵AP是∠DAC的平分线，

∴DP＝EP，

在Rt△BDP和Rt△CEP中，，

∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），

∴BD＝CE；

（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，

∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），

∴AD＝AE，

∵AB＝6cm，AC＝10cm，

∴6+AD＝10﹣AE，

即6+AD＝10﹣AD，

解得AD＝2cm．

考点3：平行线的性质与判定

1．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质:

① 两条直线平行，同位角相等；② 两条直线平行，内错角相等；③ 两条直线平行，同旁内角互补. 

3．平行线的判定:

① 同位角相等，两条直线平行；② 内错角相等，两条直线平行；③ 同旁内角互补，两条直线平行. 

【例5】（2021·山东泰安市）如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．

【详解】

首先根据三角尺的直角被直线m平分，

∴∠6=∠7=45°；

A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；

B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；

C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；

D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．

故选：D．

【例6】（2021·湖北）如图，，，重足为，，则等于（    ）

A．40° B．45° C．50° D．60°

【答案】C

【分析】根据三角形内角和求出∠ABC=50°，再利用平行线的性质求出即可．

【详解】

解：∵，

∴∠ACB=90°，

∵，

∴∠ABC=90°-=50°，

∵

∴，

故选：C．

（1）同位角相等，两直线平行;

（2）内错角相等，两直线平行;

（3）同旁内角互补，两直线平行.

1．（2021·四川资阳市）如图，已知直线，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．

【详解】

解：如图，

∵，

∴∠4=∠1=40°，

∵，

∴；

故选B．

2．（2021·山东聊城市）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（    ）

A．95° B．105° C．110° D．115°

【答案】B

【分析】

由平行的性质可知，再结合即可求解．

【详解】

解：

故答案是：B．

3．（2021·安徽、）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．

【详解】

由图可得

∵，

∴

∴

故选：C．