微专题 函数对称性的应用 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 函数对称性的应用 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共35页。

微专题：函数对称性的应用
【考点梳理】
1.抽象函数图象的对称性
函数图象的对称性主要有两种，一种是轴对称，另一种是中心对称. 函数图象的对称性主要包括函数图象自身的对称性(自对称)及不同函数图象之间的对称性(互对称).
(1)一个函数的自对称
①轴对称：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. 特别地，当a＝0时，f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数为偶函数. 推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
②中心对称：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 特别地，当a＝0时，f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点对称，函数为奇函数. 推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数y＝f(x)的图象关于点对称.
(2)两个函数的互对称
①轴对称：函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称. 推广：两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.
②中心对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a，0)成中心对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称. 推广：两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称.
2. 对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a (2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a (3)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.

【题型归纳】
题型一：由对称性求函数的解析式
1．设函数，若，则下列不等式正确的是（       ）
A． B．
C． D．
2．下列函数与的图象关于原点对称的函数是（       ）
A． B．
C． D．
3．下列函数与关于对称的是（       ）
A． B．
C． D．


题型二：由函数对称性求函数值或参数

4．已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（       ）
A． B．12 C． D．
5．已知函数的图像关于点对称，则（       ）
A． B． C．1 D．3
6．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（       ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3


题型三：函数对称性的应用

7．已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，则（       ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．已知函数的图象与的图象关于轴对称，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
9．定义在R上的函数满足；且当时，．则方程所有的根之和为（       ）
A．8 B．10 C．12 D．14






【双基达标】
10．已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，满足，则（       ）
A． B． C． D．
12．设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（       ）
A． B．16 C． D．17
13．已知函数满足，且在上单调递增，当时，，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
14．关于函数有下述四个结论：
①的图象关于直线对称       ②在区间单调递减
③的极大值为0                           ④有3个零点
其中所有正确结论的编号为（       ）
A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④
15．已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（       ）
A． B． C．1 D．2
16．已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法不正确的是（       ）
A．的周期 B．的最大值为4 C． D．为偶函数
17．若图象上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
18．已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（       ）
A．8 B．7 C．6 D．5
19．定义在R上的奇函数满足：函数的图象关于y轴对称，当时，，则下列选项正确的是（       ）
A．的图象关于y轴对称 B．的最小正周期为2
C．当时， D．在上是减函数
20．已知函数有唯一的零点，则的值为（       ）
A． B． C． D．
21．函数的图象关于（       ）
A．点对称 B．直线对称
C．点对称 D．直线对称
22．已知函数，其中，则（       ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．曲线是轴对称图形 D．曲线是中心对称图形
23．函数f(x)的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于x轴对称，则f(x)=（　　）
A．-ex-1 B．-ex+1 C．-e-x-1 D．-e-x+1
24．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
25．设且，函数，若，则下列判断正确的是（　　）
A．的最大值为-a B．的最小值为-a
C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
27．函数的图象关于（　　）
A．y轴对称 B．直线对称
C．直线对称 D．坐标原点对称
28．已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则（       ）
A． B． C． D．
29．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
30．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（       ）
A． B． C． D．
31．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（       ）
A． B．
C． D．
32．已知函数，其中为函数的导数，则（       ）
A． B． C． D．
33．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，则满足的的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
34．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（       ）
A． B．在处取得极大值
C．当时， D．的图象关于点中心对称
36．已知函数，则下列结论中正确的是（       ）
A．函数的定义域是
B．函数是偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数的图象关于直线对称
37．已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（       ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有3个零点
38．已知函数的图象关于对称，且对，当时，成立，若对任意的恒成立，则的可能取值为（       ）
A． B． C． D．
三、填空题
39．已知函数，.下列四个命题：
①，使为偶函数；
②若，则的图象关于直线对称；
③若，则在区间上是增函数；
④若，则函数有两个零点.
其中所有真命题的序号是___________.
40．已知函数，给出以下命题：
①若函数不存在单调递减区间，则实数的取值范围是；
②过点且与曲线相切的直线有三条；
③的图象关于点成中心对称；
④方程的所有实根的和为16.
其中真命题的序号是___________.
41．已知函数的图象关于对称，且，则______.
42．已知函数，，记与图像的交点横，纵坐标之和分别为与，则的值为________.
43．已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是______________.
44．已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图像关于直线对称，，则_______.
四、解答题
45．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
46．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且是偶函数，，求不等式的解集.
47．根据人教2019版必修一P87页的13题介绍： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
题：设函数，且， (其中是常数)， 函数．
(1)求的值，   并证明是中心对称函数;
(2)是否存在点，使得过点的直线若能与函数围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
48．已知函数，函数的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象．
（1）写出的解析式：
（2）若，时，总有成立，求实数m的取值范围．
49．已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数，令，求数列的前2020项和．

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
可由确定函数解析式，求出函数的单调区间，每个选项中，可赋值其中一个，进而根据单调性比较另外两个大小即可确定每个选项正误.
【详解】
由题，
化简整理得，于是
所以，进而，
据此，在上单调递增，在上单调递减，
因为，即．
对于A，由，又，所以，
即，故A错误；对于B，

，
因为，所以，而，
所以，故B错误；对于C，

，而，
所以，所以，故C正确；
对于D，由，因为，
所以，所以，故D错误.
故选：C．
【点睛】
（1）赋值法是解决一些抽象函数问题常见的方法之一；
（2）根据单调性比较大小是解决抽象函数及复杂函数比大小或解不等式的重要方法.
2．C
【解析】
【分析】
令与关于原点对称，根据即可求对称函数解析式.
【详解】
令，与关于原点对称，则，
所以.
故选：C
3．C
【解析】
【分析】
根据和关于对称求出解析式.
【详解】
关于对称的是，即.
故选：C
4．D
【解析】
【分析】
根据题意，结合对数的运算法则，得到，代入即可求解.
【详解】
由题意，函数为上的奇函数，且，即，
且当时，，
又由.
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
根据对称性可得，由此可构造方程求得结果.
【详解】
图象关于点对称，，
又，
，
，解得：，.
故选：C.
6．B
【解析】
【分析】
根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将.
【详解】
因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以．
故选:B．
7．D
【解析】
【分析】
先判断的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性计算即可.
【详解】
因为，定义域为，
且，
所以为奇函数关于对称，
则关于对称.
又，即
所以的图象关于对称.
不妨设关于对称的坐标为，
则，，
，，
则，，，，，，
即.
故选:D.
8．B
【解析】
【分析】
由与 关于x轴对称得到的解析式，又由的单调性得到不等式，从而解出范围.
【详解】
已知函数的图象与 的图象关于x轴对称，
所以，
又 是上的增函数，
所以，解得.
故选：B.
9．D
【解析】
【分析】
根据题意判断出函数的奇偶性以及对称性和周期，进而作出其大致图象，将的根的问题转化为的图象的交点问题，结合图象的对称性即求得答案.
【详解】
由定义在R上的函数满足可知为奇函数，
由可知函数关于直线对称，
又，则，即，
所以，即4为函数的周期，
又，且，故，
即函数的额图像关于点对称，
由此可作出函数的部分图象如图示：

方程即，
因此方程所有的根及转化为函数的图象的交点问题，
作出函数的图象，如图示，可以看到两图象的交点关于点对称，
其中在点的两侧对称的交点各有三个，
故方程所有的根之和为 ，
故选：D
10．D
【解析】
【分析】
首先判断出的对称性，求得的解集，从而求得的解集.
【详解】
因为为定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称，
且，又，所以．
依题意可得，当或时，．
所以等价于或，
解得或．
故选：D
11．D
【解析】
【分析】
由二次函数的对称性求出，即可求出.
【详解】
因为函数满足，所以对称轴为，即.
所以.
故选：D
12．B
【解析】
【分析】
作出函数的大致图象，可知，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解.
【详解】
作出函数的大致图象，如图所示：

当时，对称轴为，所以，
若关于的方程有四个实根，，，，则，
由，得或，则，
又，所以，
所以，所以，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
13．A
【解析】
【分析】
由，可得函数图象关于点中心对称，又函数在上单调递增，可得函数在上单调递增，从而有在上恒成立，分离参数转化为最值问题即可求解.
【详解】
解：因为函数满足，所以函数图象关于点中心对称，
又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
因为时，，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即，
易知在上单调递增，所以，
所以，
所以m的取值范围为，
故选：A.
14．D
【解析】
【分析】
根据给定函数，计算判断①；探讨在上单调性判断②；探讨在和上单调性判断③；求出的零点判断④作答.
【详解】
函数的定义域为，
对于①，，则，
，的图象关于直线对称，①正确；
对于②，当时，，在单调递增，②不正确；
对于③，当时，，在单调递减，
当时，，在上单调递增，在上单调递减，
又在单调递增，因此在处取极大值，③正确；
对于④，由得：，即或，解得或，
于是得有3个零点，④正确，
所以所有正确结论的编号为①③④.
故选：D
【点睛】
结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
15．C
【解析】
【分析】
首先利用方程组法求函数的解析式，由解析式判断的对称性，利用导数分析的单调性及极值点，根据函数有唯一的零点知极小值，即可求正实数值.
【详解】
由题设，，可得：，
由，易知：关于对称.
当时，，则，
所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大，
所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：奇偶性求函数解析式，导数分析函数的单调性、极值，根据零点的个数及对称性、单调性求参数值.
16．C
【解析】
【分析】
根据函数的关系式，判断函数的周期性、对称性、奇偶性，利用函数的性质求解函数值.
【详解】
解：函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
对有，函数的图象关于中心对称，
，即，
又，即，，
，即，，
的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；
当时，，，
当时，，，即，当时，，
又函数的图象关于直线对称，在一个周期上，，
在上的最大值为4，选项B正确；
，选项C错误.
故选：C.
17．A
【解析】
【分析】
首先转化“友情点对”为把时的函数图像沿着原点对称对称过去，和时函数图像的交点，即的图像和的交点，所以只要有两解即可，求导画图即可得解.
【详解】
根据题意，若要求“友情点对”，可把时的函数图像关于原点对称，
研究对称过去的图像和时的图像有两交点即可，
关于原点对称的解析式为，
考查的图像和的交点，
可得，，令
，
所以，，为减函数，
，，为增函数，，
其图象为，
故若要有两解，只要即可，
故选：A
【点睛】
本题考查了新定义问题，考查了转化思想，考查了利用导数研究函数的图像，同时考查了函数对称问题，属于较难题.
本题关键点有：
（1）正确理解“友情点对”；
（2）正确的转化，转化为函数方程问题；
（3）掌握利用导数研究单调性.
18．A
【解析】
【分析】
令，由已知可得函数与的图象在区间上关于直线对称，利用对称性即可求解.
【详解】
解：因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，
所以函数是周期为2的函数，
又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：

由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，
故选：A.
19．C
【解析】
【分析】
根据函数图象变换规则求出函数的对称性可判断A错误；由所给等式利用函数的奇偶性可推出，则函数的周期为4，B错误；当时，，由求出当时函数的解析式可判断C正确；同理求出在上的函数解析式即可判断单调性.
【详解】
函数的图象关于y轴对称，所以的图象关于对称，故A错误；
，进而得.
又是奇函数，，
进而得，所以周期为4，故B错误；
当时，，所以当时，，
，所以，故C正确；
当时，，所以当时，，
，所以在上是增函数，故D错误.
故选：C
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，涉及函数的周期性与对称性、根据函数的性质求分段函数的解析式，属于中档题.
20．B
【解析】
【分析】
分析出函数的图象关于直线对称，可得出，由此可解得实数的值.
【详解】
，
所以，，
所以，函数的图象关于直线对称，
若，则函数的零点必成对出现，即函数的零点个数为偶数，不合乎题意.
由于函数有唯一零点，则，解得.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题利用函数有唯一零点求参数值，解题的关键在于分析出函数的单调性，通过分析出函数的零点成对出现而得出，从而求解，在解题时要注意对函数的基本性质进行分析，从而找到问题的突破点.
21．C
【解析】
【分析】
计算得出，即可得出结论.
【详解】
，，
，所以，，
因此，函数的图象关于点对称.
故选：C.
22．C
【解析】
【分析】
由解析式易得且定义域为且即可判断C；对求导，并讨论、研究在上的符号判断A、B；根据是否为定值判断D.
【详解】
由题设，，定义域为且，
所以关于对称，C正确；
又，
当时，不妨假设，则，显然，此时在上有递减区间，A错误；
当时，在上，即在上递增，B错误；
由，不可能为定值，故D错误.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：利用导数结合分类讨论研究函数的区间单调性，根据、是否成立判断对称性(为常数).
23．A
【解析】
【分析】
先求出与y=ex的图象关于x轴对称的图象所对函数解析式，再右移一个单位即可得解.
【详解】
与y=ex的图象关于x轴对称的图象所对函数解析式为y=-ex，将所得图象右移一个单位后的图象所对函数解析式为y=-ex-1，
而按上述变换所得图象对应的函数是f(x)，
所以f(x)=-ex-1.
故选：A
24．D
【解析】
【分析】
分析可知函数的图象关于直线对称，可得出函数的单调性，分析的符号变化，由可得或，解之即可.
【详解】
因为函数为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称，
因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，
因为，则，
所以，由可得，由可得或，
解不等式，可得或，解得或，
故不等式的解集为.
故选：D.
25．D
【解析】
【分析】
根据给定条件，用a表示b，c，再结合二次函数的性质求解作答.
【详解】
依题意，，
因，则是奇函数，于是得，即，
因此，，而，当时，的最小值为-a，当时，的最大值为-a，A，B都不正确；
，，，
即，，因此，C不正确，D正确.
故选：D
26．D
【解析】
【分析】
根据得到函数关于直线对称，对任意均有成立得函数在上单调递减.再利用函数的单调性解不等式求得答案.
【详解】
因为函数满足，所以函数关于直线对称，
因为对任意均有成立，所以函数在上单调递减.
由对称性可知在上单调递增.
因为，即，
所以，即，解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数对称性和单调性的应用，解题的关键是得出关于直线对称，在上单调递减.
27．D
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性，根据奇偶性判断函数的对称性.
【详解】
函数的定义域为，
因为，所以函数是奇函数，
则的图象关于原点对称.
故选：D
【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断，奇函数图象的对称性，属于基础题.
28．C
【解析】
【分析】
由条件得，两个函数均关于点(0,3)对称，从而求得交点的横坐标和及纵坐标和.
【详解】
由可知的图象关于点对称，
又因为的图象也关于点对称，
所以两个函数的图象的交点关于点对称，
即，，
所以，
故选：．
29．C
【解析】
【分析】
根据已知条件可得在上单调递增，，，从而可根据函数的单调性比较大小
【详解】
由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知
，.
由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，
所以，
所以.
故选：C
30．B
【解析】
【分析】
先通过已知分析得到函数的单调性，等价于或再结合函数的图象解不等式得解.
【详解】

因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称．
由在上单调递减，得在上单调递增，且，
所以当或时，，当时，．
函数的图象如图所示，
等价于或
即或
解得或，
故选：B．
【点睛】
结论点睛：由函数的奇偶性延伸到其图象的对称性问题的常见结论：（1）若函数为奇函数（或偶函数），则函数的图象关于点中心对称（或关于直线对称）；（2）若函数为奇函数（或偶函数），则函数的图象关于点中心对称（或关于直线对称）．
31．A
【解析】
【分析】
根据反比例函数、对数函数、正切函数和幂函数图象可得结论.
【详解】
对于A，图象关于、坐标原点分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B，为偶函数，其图象关于轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C，关于点成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D，为奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
32．B
【解析】
将函数解析式变形为，求得，进而可求得所求代数式的值.
【详解】
，
所以，，
，函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，
因此，.
故选：B.
【点睛】
结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：
（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；
（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.
在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.
33．A
【解析】
【分析】
根据题意可得在上单调递增，又函数的图象关于直线对称，可
得函数在上单调递减，从而根据函数不等式列出不等式，求解取值范围.
【详解】
解：当时，恒成立
∴恒成立
即函数在上单调递增，
又∵函数的图象关于直线对称
∴函数在上单调递减，
若要满足，则需；
解得.
故选：A.
【点睛】
此题考查由函数的单调性和对称性解不等式，考查转化思想，属于基础题
34．C
【解析】
【分析】
由对称性先求出的解析式，再由平移得出的解析式，再由正弦函数的性质得出其值域.
【详解】
设为的图像上一点，则点关于直线对称的点为
由题意点在函数的图象上，则
所以，则
当时，，则
所以
故选：C
35．ABD
【解析】
【分析】
A由导数的几何意义即可求参数a；B利用导数研究函数的单调性，进而确定是否存在极大值；C根据B判断区间内的端点值、极值，进而确定区间值域；D令，则，即可确定对称中心.
【详解】
A：，由题意，得，正确；
B：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；
C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；
D：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；
故选：ABD.
36．BD
【解析】
【分析】
求出函数定义域为，A选项错误；利用定义证明函数是偶函数，B选项正确；函数在区间上是增函数，故C选项错误；可以证明f (x)的图象关于直线对称，故D选项正确.
【详解】
解：函数，
由可得，故函数定义域为，A选项错误；
的定义域为，设所以
即是偶函数，B选项正确；
，
当时，是减函数，外层也是减函数，所以函数在区间上是增函数，故C选项错误；
由，可得f (x)的图象关于直线对称，故D选项正确.
故选：BD
37．AB
【解析】
【分析】
由，赋值，可得，故A正确；进而可得是对称中心，故B正确；作出函数图象，可得CD不正确.
【详解】
在中，令，得，又函数是R上的奇函数，所以，，故是一个周期为4的奇函数，因是的对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，故A、B正确；
作出函数的部分图象如图所示，易知函数在上不具单调性，故C不正确；

函数在上有7个零点，故D不正确.
故选：AB
【点睛】
本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.
38．BC
【解析】
由已知得函数是偶函数，在上是单调增函数，将问题转化为对任意的恒成立，由基本不等式可求得范围得选项．
【详解】
因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线（即轴）对称，所以函数是偶函数.
又时，成立，所以函数在上是单调增函数.
且对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，
当时，恒成立，当时，，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，因此，
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.
39．①③
【解析】
【分析】
根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可.
【详解】
若为偶函数，则，
则对恒成立，则，
故①正确；
，，若，即，
则或，
若取，则关于对称，②错误；
若，函数的判别式，
即，，
由二次函数性质，知在区间上是增函数，③正确；
取，满足，则或，
解得或，即有4个零点，④错误；
故答案为：①③
【点睛】
关键点点睛：对函数的综合性质考察比较综合，除解出参数关系或值外，判断正误也可以通过取一些特殊值快速的找到答案.
40．②③
【解析】
【分析】
求出函数导数，由题意可知无解，根据二次函数的性质可得的范围，即可判断①是否正确；
设出切点，根据斜率可得，再将代入，解方程求得切点的横坐标，即可判断②是否正确；
由于，所以的图象关点成中心对称，所以③是真命题；
由对称性可知，函数与的图象都关于点成中心对称，作出函数与函数的图象，再由图象观察它们共有4个交点，根据对称性，即可求出它们的横坐标值和，即可判断④是否正确．
【详解】
因为，所以.若函数不存在单调递减区间，则有，解得，所以①是假命题.
设过点的直线与曲线相切于点，则有.又点在曲线上，所以，代入上式，得，解得或或，所以过点且与曲线相切的直线有三条，所以②是真命题.
，则，所以的图象关点成中心对称，所以③是真命题.
又函数的导数为，
令解得或，所以递增区间为和；
令可得，所以递减区间为．
即时取得极大值，时取得极小值，又函数的图象也关于点成中心对称，
作出函数与函数的图象，如图：

结合图象可知，函数的图象与的图象有4个交点，则方程有4个实数根，故所有实数根的和为，所以④是假命题.
故答案为：②③.
41．-1
【解析】
【分析】
首先根据的中心对称性质和已知条件求出，然后再根据求出，进而求解.
【详解】
因为关于对称，所以，
故，即，解得，，
所以，
又因为，
所以，解得，，
所以.
故答案为：.
42．.
【解析】
【分析】
先分析两个函数的单调性和对称性，判断出两个函数图像的交点个数，再根据对称性计算可得结果.
【详解】
在和上都单调递减，且关于点成中心对称，
在上单调递增，

，
所以的图像也关于点成中心对称，
所以与图像有两个交点且关于点对称，
设这两个交点为、，
则，，
所以，，
所以.
故答案为：.
43．
【解析】
根据偶函数及绝对值函数性质直接求解即可.
【详解】
由已知是定义在上的偶函数，
故，即，或，且函数图象关于轴对称，
又，故，
因为关于直线对称，
故，，
故答案为：.
44．3
【解析】
【分析】
先由函数的图像关于直线对称，得到函数是偶函数，则有；
又令代入，求得函数的周期为，利用函数周期化简即可求值.
【详解】
因为函数的图像关于直线对称，所以函数的图像关于直线对称，即函数是偶函数，则有；
因为对任意，都有，
令，得，
所以对任意，都有，即函数的周期为，
则，
故答案为：.
45．（1）；（2）在区间上为增函数；（3）.
【解析】
（1）根据题意可知，若函数关于点中心对称，则，
然后利用得出与，代入上式求解；
（2）因为函数及函数在上递增，所以函数在上递增；
（3）根据题意可知，若对任意，总存在，使得，则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集，然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域，根据集合间的包含关求解参数的取值范围．
【详解】
解：（1）设函数图象的对称中心为，则．
即，
整理得，
于是，解得．
所以的对称中心为；
（2）函数在上为增函数；
（3）由已知，值域为值域的子集．
由（2）知在上单增，所以的值域为．
于是原问题转化为在上的值域．
①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单增，所以在上单增，又，，所以．
因为，所以，解得．
②当，即时，在单减，单增，
又过对称中心，所以在单增，单减；
此时．
欲使，
只需且
解不等式得，又，此时．
③当，即时，在单减，在上亦单减，
由对称性，知在上单减，于是．
因为，所以,解得．
综上，实数的取值范围为．
【点睛】
本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点：
（1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解；
（2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数的单调性及最值是关键．
46．.
【解析】
【分析】
构造函数，由导数判断单调性后解不等式
【详解】
设，∵，
∴，∴在上单调递增.
∵是偶函数，∴的图象关于直线x＝1对称，
∴，∵等价于，∴，
∵在上单调递增，∴.
故不等式的解集为.
47．(1)，证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据代入求出的值，即可得到函数的解析式，假设存在点使函数为奇函数，即 对恒成立，即可求出、的值，从而求出函数的对称中心，即可得证；
（2）设，即可得到，从而得到，即可得到的对称中心是，从而得解；
(1)
∵函数，且，
，∴，所以；
依题假设存在点使函数为奇函数，
则 对恒成立，
，
，
，
，       
，
，对恒成立，
，，
∴对于存在，使函数为奇函数，
∴是以为对称中心的中心对称函数.
(2)
解：设，
所以即，即关于对称，
又，
的对称中心是，
依题意，使得过点的直线若能与函数围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等，则直线必过的对称中心，所以所求为；
48．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）设是函数图象上的任意一点，则P关于原点的对称点Q的坐标在函数的图象上得，再是函数图象上的点，可得答案；
（2）求时，利用换元法求出的最小值可得答案．
【详解】
（1）由题意，设是函数图象上的任意一点，
则P关于原点的对称点Q的坐标为，
因为已知点Q在函数的图象上，
所以，而，
所以，所以，
而是函数图象上的点，
所以．
（2）当时，
，
下面求当时，的最小值，
令，则，
因为，即，解得，
所以，
又，所以，
所以，
所以时，的最小值为0，
因为当时，总有成立，
所以，即所求m的取值范围为．
49．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，然后利用可求出数列的通项公式；
（2）由题意可得，然后利用倒序相加法可求得结果
【详解】
（1）∵点均在函数的图象上，
∴．
当时，；
当时，，适合上式，∴．
（2）∵，∴．
又由（1）知，∴．
∴，①
又，②
①+②，，
∴．