微专题 集合的含义与表示 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 集合的含义与表示 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共24页。

微专题：集合的含义与表示
【考点梳理】
1. 元素与集合
(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及其记法：
数集
非负整数集(或自然数集)
正整
数集
整数集
有理
数集
实数
集
复数
集
符号
N
N*或(N＋)
Z
Q
R
C



【题型归纳】
题型一：根据集合相等关系进行计算
1．已知集合，若，则的值为（       ）
A．1 B． C． D．1或
2．设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{－1，0，－b}，若P＝Q，则a＋b＝（       ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
3．已知、，若，则的值为（       ）
A． B．0 C． D．或

题型二：根据元素与集合的关系求参数
4．设集合，若，则的值为（       ）．
A．，2 B． C．，，2 D．，2
5．已知集合，且，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的不等式的解集为S．若且，则实数m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

题型三：根据集合中元素的个数求参数
7．若集合则实数的取值集合为（       ）
A． B． C． D．
8．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
9．已知集合．若中有两个元素，则实数m的不同取值个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3

题型四：利用集合元素的互异性求参数
10．已知，，，则的取值范围（       ）
A． B． C． D．
11．若，则a2020+b2020的值为（       ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1
12．已知集合，，若，则（       ）
A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．1或3

题型五：利用集合中元素的性质求集合元素个数
13．以实数为元素所组成的集合最多含有（       ）个元素．
A．0 B．1 C．2 D．3
14．已知集合，，则集合的元素个数为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
15．已知集合中所含元素的个数为（       ）
A．2 B．4 C．6 D．8

【双基达标】
16．集合中的不能取的值的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
17．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（       ）
A． B． C． D．
18．若，则集合A中元素的个数是（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．已知集合P=，，则PQ=（       ）
A． B．
C． D．
20．已知集合，若，则中所有元素之和为（       ）
A．3 B．1 C． D．
21．设集合， ， ，则
A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}
22．有下列四个命题：
①是空集；
②若，则；
③集合有两个元素；
④集合是有限集.
其中正确命题的个数是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
23．设集合，则（       ）
A． B． C． D．
24．已知全集，集合，，则
A． B．
C． D．
25．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
26．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（       ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
27．下列各组对象中能构成集合的是（       ）
A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学
C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品
28．下列各组中的M、P表示同一集合的是
①，；
②，；
③，；
④，.
A．① B．② C．③ D．④
29．已知集合，，则集合中元素个数为（       ）
A． B． C． D．
30．已知集合，则中元素的个数为（       ）
A．9 B．8 C．5 D．4

【高分突破】
一、 单选题
31．下列元素与集合的关系表示不正确的是（       ）
A． B． C． D．
32．已知集合，，则
A． B． C． D．
33．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成集合A，则（       ）
A．2∈A B．3∉A C．－1∈A D．1∈A
34．已知集合，则（       ）
A． B． C． D．
35．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（       ）
A．3 B．2 C．1 D．4
36．已知集合，则集合中元素的个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
37．已知集合，，则A∩B=
A．(–1，+∞) B．(–∞，2)
C．(–1，2) D．
38．集合用列举法表示为（       ）
A． B． C． D．
39．集合，用列举法可以表示为（       ）
A． B．
C． D．
40．已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（       ）
①;②;③;④
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
41．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（       ）
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|-|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D．P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x=0的解构成的集合
42．下列说法中不正确的是（       ）
A．0与表示同一个集合；
B．由1，2，3组成的集合可表示为或；
C．方程的所有解组成的集合可表示为；
D．集合可以用列举法表示．
43．下列与集合表示同一个集合的有（       ）
A． B． C． D． E．
44．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是（       ）
A．数域必含有0，1两个数；
B．整数集是数域；
C．若有理数集，则数集M必为数域；
D．数域必为无限集．
三、填空题
45．已知集合，则实数的取值范围是________．
46．已知集合，若，则______.
47．集合中实数a的取值范围是________
48．用列举法表示集合 _____；
49．已知集合，且，则实数的值为___________.
50．已知集合，，若，则_______．
四、解答题
51．已知集合.
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
52．设全集，集合，.
（1）求及；
（2）求.
53．集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
54．已知集合，，若，求实数，的值.
55．已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.

参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据求得，由此求得.
【详解】
由于，
所以对于集合有或.
若，则，此时符合题意，.
若，则集合不满足互异性，不符合.
所以的值为.
故选：A
2．A
【解析】
【分析】
直接根据集合相等得到，，得到答案.
【详解】
，，，则，，.
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.
【详解】
由 且，则，
∴，于是，解得或,
根据集合中元素的互异性可知应舍去，
因此，,
故．
故选：C.
4．D
【解析】
【分析】
由集合中元素确定性得到：，或，通过检验，排除掉.
【详解】
由集合中元素的确定性知或．
当时，或；当时，．
当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．
综上，或．
故选：D．
5．C
【解析】
【分析】
结合元素与集合的关系得到，解不等式即可求出结果.
【详解】
由题意可得，解得，
故选：C
6．D
【解析】
【分析】
由求出的取值范围，由求出的取值范围求其交集可得答案．
【详解】
由題意，得，即，解得或，
由得，即解得或，于是即，
综上所述，实数m的取值范围为．
故选：D.
7．B
【解析】
【分析】
分，两种情况求解即可
【详解】
当时，不等式等价于，此时不等式无解；
当时，要使原不等式无解，应满足，解得；
综上，的取值范围是．
故选：B．
8．D
【解析】
【分析】
由已知求出集合A，进一步得到m的范围.
【详解】
由题意可知，可得.
故选：D
9．B
【解析】
【分析】
由中有两个元素，得到，由此能求出实数的不同取值个数．
【详解】
解：集合，1，，，，
中有两个元素，
，解得，
实数的不同取值个数为1．
故选：B．
10．C
【解析】
【分析】
由题可得，即求.
【详解】
∵，，，
∴，
∴
∴.
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
根据即可求出a，b的值，然后即可求出a2020+b2020的值.
【详解】
∵，根据集合中元素的性质可得：
∴，解得a=﹣1，b=0，
∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1.
故选：C.
12．C
【解析】
【分析】
由题意可得或，求出的值，检验是否满足元素的互异性即可求解.
【详解】
因为，所以或.
①若，则，满足；
②若，则或，
当时，，满足；
当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意；
综上所述：或，
故选：C.
13．C
【解析】
【分析】
分类讨论三种情况下，化简题目中的四种元素，判断是正数还是负数即可得出各种情况下的元素个数.
【详解】
解：当时，，此时集合中共有2个元素；
当时，，此时集合中共有1个元素；
当时，，，此时集合中共有2个元素；
综上所述，以实数为元素所组成的集合最多含有2个元素.
故选：C.
14．B
【解析】
【分析】
先化简集合B，再根据集合，列举求解.
【详解】
解：由，解得，
所以．
所以，共有7个元素，
故选：B．
15．C
【解析】
【分析】
根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以中含6个元素．
故选：C.
16．B
【解析】
【分析】
根据集合元素的互异性，得到不等式组，可以求出不能取的值，就可以确定不能取值的个数.
【详解】
由题意可知：且且，故集合中的不能取的值的个数是3个，故本题选B.
【点睛】
本题考查了集合元素的互异性，正确求出不等式的解集是解题的关键.
17．D
【解析】
【分析】
对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.
【详解】
解：①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．
故选：D．
18．B
【解析】
【分析】
集合是点集，即可得出集合的元素，从而得解；
【详解】
解：因为，集合中有、两个元素；
故选：B
19．B
【解析】
【分析】
根据集合交集定义求解.
【详解】

故选：B
【点睛】
本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
20．C
【解析】
根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.
【详解】
若，则，矛盾；
若，则，矛盾，故，
解得（舍）或，
故，元素之和为，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍.
21．D
【解析】
【分析】
先求，再求．
【详解】
因为，
所以.
故选D．
【点睛】
集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
22．B
【解析】
【分析】
根据集合的定义，元素与集合的关系判断．
【详解】
①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；
②中当时不成立，不正确；
③中有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；
④中集合是有限集，正确，
故选：B
23．B
【解析】
【分析】
根据交集、补集的定义可求.
【详解】
由题设可得，故，
故选：B.
24．A
【解析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】
，则
故选：A
【点睛】
易于理解集补集的概念、交集概念有误.
25．B
【解析】
【分析】
首先根据补集的运算得到，再根据交集的运算即可得出答案.
【详解】
因为，
所以或.
所以
故选：B.
26．D
【解析】
【分析】
根据集合元素的互异性即可判断.
【详解】
由题可知，集合中的元素是的三边长，
则，所以一定不是等腰三角形．
故选：D．
27．C
【解析】
【分析】
根据集合中元素的确定性，即可得解.
【详解】
选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，
只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，
故选：C.
【点睛】
本题考查了集合中元素的特征，考查了集合中元素的确定性，是概念题，属于基础题.
28．C
【解析】
【分析】
对四组集合逐一分析，可选出答案.
【详解】
对于①，集合表示数集，集合表示点集，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合；
对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合；
对于③，两个集合表示同一集合.
对于④，集合研究对象是函数值，集合研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.
故选：C.
【点睛】
本题考查相同集合的判断，属于基础题.
29．C
【解析】
【分析】
由集合B的描述知、，可求出，即得集合B的元素个数.
【详解】
解：由题意知：，，
，
∴集合中元素个数为3.
故选：C.
30．A
【解析】
【分析】
根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
【详解】




当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，
故选：A.
【点睛】
本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
31．D
【解析】
根据元素与集合的关系直接判断即可.
【详解】
根据元素与集合的关系可得，，，，故D不正确，符合题意.
故选：D.
32．C
【解析】
【分析】
由题意先解出集合A,进而得到结果．
【详解】
解：由集合A得,
所以
故答案选C.
【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
33．C
【解析】
【分析】
先求出集合A，再对照四个选项一一验证.
【详解】
①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；
④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，
∴集合A＝{－1，3}．∴－1∈A.
故选：C
34．D
【解析】
【分析】
先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.
【详解】
因为集合，所以，
故选：D.
35．A
【解析】
【分析】
根据题设条件，可判断出d（A）的值为1或3，然后研究的根的情况，分类讨论出a可能的取值．
【详解】
由题意，，，可得的值为1或3，
若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意
若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，
综上，实数a的所有可能取值构成集合，故．
故选：A．
【点睛】
本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．
36．D
【解析】
【分析】
根据求得集合A，从而判定出集合中元素个数.
【详解】
，所以集合中元素的个数为3.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合的表示法，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.
37．C
【解析】
【分析】
本题借助于数轴，根据交集的定义可得．
【详解】
由题知，，故选C．
【点睛】
本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．
38．A
【解析】
【分析】
根据集合的描述法得到集合的列举法.
【详解】
∵，
∴．
又，
∴．
故选：A
39．C
【解析】
【分析】
直接根据条件列举即可.
【详解】
解：因为，可得；
所以.
故选：C
40．C
【解析】
①②③都可以写成的形式，验证是否是有理数，④计算的平方验证，判断.
【详解】
①当时，可得，这与矛盾，
②
，可得 ，都是有理数，所以正确，
③，
，可得，都是有理数，所以正确，
④
而 ，
，
是无理数，
不是集合中的元素，
只有②③是集合的元素.
故选：C
【点睛】
本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.
41．AD
【解析】
【分析】
根据题意分析即可.
【详解】
由于A，D中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，
而B，C中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.
故选：AD.
42．ACD
【解析】
【分析】
根据集合的定义和表示方法分别进行判断．
【详解】
解： 0表示元素，不是集合，所以A错误．
根据集合元素的无序性可知，由1，2，3组成的集合可表示为，2，或，2，，B正确．
根据集合元素的互异性可知，满足方程的解为，，所以C错误．
满足的元素有无限多个，所以无法用列举法表示，所以D错误．
故选：ACD．
43．AC
【解析】
【分析】
解方程组可得集合中的元素为有序数对，根据集合的表示方法可得答案.
【详解】
由得即，
所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合，
故选：AC.
【点睛】
本题考查同一集合问题，考查集合的表示方法，属于基础题.
44．AD
【解析】
根据数域的定义逐项进行分析即可．
【详解】
数集P有两个元素m，N，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；
因为1∈Z，2∈Z，，所以整数集不是数域，B不正确；
令数集，则，但，所以C不正确；
数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．
故选：AD
45．
【解析】
【分析】
根据题意可得，解不等式即可得答案；
【详解】
，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查集合为空集的概念，属于基础题.
46．2
【解析】
根据题意，可得或，求得验证是否满足互异性即可.
【详解】
依题意或，
解得或；
由集合中元素的互异性可知，当时，集合的两个元素相等，不合题意；
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据元素与集合的关系求参数值，属简单题.
47．且
【解析】
【分析】
由得结论．
【详解】
由题意，且，
故答案为且.
【点睛】
本题考查集合中元素的性质：互异性，属于基础题．
48．
【解析】
【分析】
根据列举出的所有可能取值.
【详解】
依题意，
所以，，
所以，
即
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查列举法，属于基础题.
49．或0.
【解析】
【分析】
根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案.
【详解】
若，则或
当时，，符合元素的互异性；
当时，，不符合元素的互异性，舍去
若，则或
当时，，符合元素的互异性；
当时，，不符合元素的互异性，舍去；
故答案为：或0.
【点睛】
关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题.
50．5
【解析】
【分析】
由集合的性质，即元素的无序性和互异性可得，得.
【详解】
根据集合的元素具有无序性和互异性可得，，所以.
故答案为：5.
【点睛】
（1）集合的充要条件是，且；
（2）集合由三个性质：确定性，互异性和无序性.
51．（1）且；（2）或
【解析】
【分析】
（1）转化为关于的方程有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解；
（2）分，两种情况讨论，当时用判别式控制范围，即得解；
【详解】
（1）由于中有两个元素，
∴关于的方程有两个不等的实数根，
∴，且，即，且.
故实数的取值范围是且
（2）当时，方程为，，集合只有一个元素；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，
若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.
综上可知，实数的取值范围是或
52．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据集合的交并集运算求解即可；
（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.
【详解】
解：（1）因为，，
所以，
（2）因为，所以，
所以.
53．（1）；（2）
【解析】
（1）由，可得，即可列出不等关系，求出的取值范围；
（2）由，且，可列出不等关系，求出的取值范围.
【详解】
（1）由集合，，
因为，所以，则，
即实数的取值范围为.
（2）因为，且，所以，
故实数的取值范围为.
54．或.
【解析】
【分析】
利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a，b的值．
【详解】
解：由已知，得（1）或.（2）
解（1）得或，
解（2）得或，
又由集合中元素的互异性
得或.
【点睛】
本题考查集合相等的的定义，同时要注意集合中元素的互异性.
55．（1）或.；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出以及后可得.
（2）根据集合等式关系可得，故可得各集合中范围的端点的大小关系，从而可求实数的取值范围.
【详解】
（1）由题，或，
或.
（2）由得，则，解得，
由得，则，解得，
∴实数的取值范围为．
【点睛】
本题考查集合的交和补以及在包含的条件下参数的取值范围的求法，注意根据集合的等式关系判断出集合之间的包含关系，本题属于中档题.