微专题 利用导数解决函数的极值问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 利用导数解决函数的极值问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共34页。

微专题：利用导数解决函数的极值问题
【考点梳理】
1. 函数的极值

(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0. 类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0. 我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f(x)在某一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取得极值的必要条件. 可导函数y＝f(x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件是：
①f′(x0)＝0；
②在x＝x0附近的左侧f′(x0)>0(<0)，右侧f′(x0)<0(>0).
(3)导数求极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.



【题型归纳】
题型一：求已知函数的极值
1．已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值
2．若函数，给出下面结论：①为奇函数，②时有极大值，③在单调递减，④．其中正确的结论个数（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数f(x)的导函数为f′(x)＝－x(x＋2)，则函数f(x)有 (　　)
A. 最小值f(0) B. 最小值f(－2)
C. 极大值f(0) D. 极大值f(－2)


题型二：根据函数的极值、极值点求参数
4．已知函数有极值，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
5．函数在处有极大值，则的值等于（       ）
A．0 B．6 C．3 D．2
6．若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

题型三：函数（导函数）图象与极值、极值点的关系
7．函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（       ）

A．函数在，上单调递增
B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
8．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（       ）

A．函数在上不单调
B．函数在的切线的斜率为0
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值点
9．已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（       ）


A．1 B．2 C．3 D．4




【双基达标】
10．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
11．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
12．已知函数在上是增函数，且在上仅有一个极大值点，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
13．已知函数，则当时，函数一定有（       ）
A．极大值，且极大值为 B．极小值，且极小值为
C．极大值，且极大值为0 D．极小值，且极小值为0
14．已知函数（为自然对数的底数），若的零点为，极值点为，则（       ）
A． B．0 C．1 D．2
15．函数在的极大值点为（       ）
A． B． C． D．
16．已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1
17．已知函数，则“”是“有极值”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．已知函数，则（       ）
A．在上为增函数 B．在上为减函数
C．在上有极大值 D．在上有极小值
19．已知在处取得极值，则的最小值是（       ）
A． B．2 C． D．
20．已知函数有极值，则c的取值范围为（   ）
A． B． C． D．
21．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（       ）

A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
22．已知函数在处取得极值，且，，若的单调递减区间为；则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
23．已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．在，上为减函数
B．在，上为增函数
C．的极小值为，极大值为
D．的极大值为，极小值为
24．设，在上有3个根，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
25．若函数没有极值，则
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．若函数在上无极值，则实数的取值范围（       ）
A． B．
C． D．
27．已知，则
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值
28．已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
29．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
30．函数的极值点的个数是（       ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
31．若函数恰有三个极值点，则的取值范围是
A． B． C． D．
32．已知函数的导函数的图像如下，若在处有极值，则的值为（       ）

A． B． C． D．
33．若函数的极大值点与极小值点分别为a，b，则（       ）
A． B．
C． D．
34．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（       ）

A．在内是增函数 B．在内是增函数
C．在时取得极大值 D．在时取得极小值
二、多选题
35．已知函数，下列结论中正确的是（       ）
A．函数在时，取得极小值-1
B．对于，恒成立
C．若，则
D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1
36．（多选）设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（       ）
A．在单调递增 B．在单调递增
C．在上有极大值 D．在上有极小值
37．已知，下列说法正确的是（       ）
A．在处的切线方程为 B．单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
38．已知函数，下列说法中正确的有（       ）
A．函数的极大值为，极小值为
B．当时，函数的最大值为，最小值为
C．函数的单调减区间为
D．曲线在点处的切线方程为
三、填空题
39．函数在上的极值点为______.
40．写出一个存在极值的奇函数______________.
41．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
42．已知函数的一个极值点为1，则在[-2，2]上的最小值为_____________．
43．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.
44．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
四、解答题
45．已知函数.
（1）当时，求曲线上在点处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.若___________，求实数m的取值范围.
①在区间上是单调减函数；②在上存在减区间；③在区间上存在极小值.
46．在①的一个极值点为0，②若曲线在点处的切线与直线垂直，③为奇函数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．
已知函数，且，求在上的最大值与最小值．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
47．已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．
48．已知函数，从①是函数的一个极值点，②函数的图象在处的切线方程为这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．
（1）求a的值；
（2）求的单调区间．
49．已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：.

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
求导可得解析式，令，可得极值点，利用表格法，可得的单调区间，代入数据，可得的极值，分析即可得答案.
【详解】
由题意得，
令，解得或，
当x变化时，、变化如下
x

-1




+
0
-
0
+


极大值

极小值


所以当时，取得极大值1，故B正确、C、D错误，
当时，取得极小值，故A错误，
故选：B
2．D
【解析】
【分析】
由奇函数的定义即可判断①；求导得出时的单调性，进而得出极值即可判断②；直接由导数得出在上的单调性即可判断③；利用单调性比较函数值大小即可判断④.
【详解】
易得定义域为，对于①，，则为奇函数，①正确；
对于②，当时，，，当时，，单增，
当时，，单减，则时，有极大值，②正确；
对于③，当时，，，单增，③错误；
对于④，由上知，在单调递增，则，又，则，④正确.
则正确的结论有3个.
故选：D.
3．C
【解析】令f′(x)＝－x(x＋2)>0，解得－2 令f′(x)＝－x(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝0；
令f′(x)＝－x(x＋2)<0，解得x>0或x<－2，
即函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(0，＋∞).
所以函数f(x)有极大值f(0). 故选C.
4．D
【解析】
【分析】
先求导，由题设得必有两个不等的实根，再利用判别式求解即可.
【详解】
由题意知，定义域为R，，要使函数有极值，则必有两个不等的实根，
则，解得.
故选：D.
5．A
【解析】
【分析】
求导，根据列方程组求解可得.
【详解】

因为在处有极大值，
所以，解得
所以
故选：A
6．B
【解析】
【分析】
求导，根据题意可得有2个不同的正实数根，从而可得出答案.
【详解】
解：，
因为函数的定义域为，且函数有2个极值点，
则有2个不同的正实数根，
所以且，
即实数的取值范围是.
故选：B．
7．C
【解析】
【分析】
根据导函数的图象判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值
【详解】
由导函数的图象可知，当或时，，
当或时，，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
所以和为极小值点，为极大值点，所以函数有3个极值点，
所以和中的最小的，为函数的最小值，无最大值，
所以ABD正确，C错误，
故选：C
8．D
【解析】
【分析】
根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可
【详解】
对A，在上，故函数在上单调，故A错误；
对B，，故函数在的切线的斜率大于0，故B错误；
对C，左右两边都有，故不是函数的极小值点；
对D，且在左侧，右侧，故是函数的极大值点，故D正确；
故选：D
9．B
【解析】
【分析】
根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可
【详解】
由函数极值的定义和导函数的图象可知，在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点．
其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，
故极大值点有2个．
故选：B
10．C
【解析】
【分析】
根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项．
【详解】
由题意可得，而且当时，，此时，排除B、D；
当时，，此时，，若，，
所以函数的图象可能是C．
故选：C
11．D
【解析】
由在有2个不同的零点，结合二次函数的性质可求．
【详解】
解：因为有两个不同的极值点，
所以在有2个不同的零点，
所以在有2个不同的零点，
所以，
解可得，．
故选：．
12．A
【解析】
【分析】
首先根据函数的单调性列出，求出，再由在处取得极大值，列出，解不等式即可求解.
【详解】
由题，所以有，得，
又因为，所以；
又在处取得极大值，
可得，所以，则，
故选：A.
13．A
【解析】
【分析】
根据导数的性质，结合余弦函数的性质、极值的定义进行求解即可.
【详解】

，
因为，所以，
当时，单调递增，此时，
当时，单调递减，此时，
所以该函数当时，有极大值，没有极小值，
且极大值为，
故选：A
14．C
【解析】
【分析】
令可求得其零点，即的值，再利用导数可求得其极值点，即的值，从而可得答案．
【详解】
解：，
当时，，即，解得；
当时，恒成立，
的零点为．
又当时，为增函数，故在，上无极值点；
当时，，，
当时，，当时，，
时，取到极小值，即的极值点，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．
15．D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的极大值点.
【详解】
，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴函数在的极大值点为．
故选：D
16．B
【解析】
【分析】
通过导函数的图象得到导函数的符号，进而得到原函数的单调性，进而判断出极大值个数.
【详解】
极大值点在导函数的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个.
故选:B.
17．B
【解析】
求导函数，判断导函数的符号，确定有极值时的范围即可.
【详解】
，，．
若，则恒成立，
为增函数，无极值；
若，即，则有两个极值．
所以“”是“有极值”的必要不充分条件．
故选:B
18．A
【解析】
【分析】
求导后，令，需要再次求导，从而求得的正负，来判断原函数的单调性及极值情况.
【详解】
，，令，则，
因此在上，，单减；在上，，单增；
又，因此，即，
故在及上，单增，无极值，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：求导后，需要对导数再次求导，从而求得原函数的单调性及极值情况.
19．D
【解析】
求导，根据极值点得到，，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
，故，
根据题意，即，
经检验在处取得极值.
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
20．A
【解析】
【分析】
求导得，则，由此可求答案．
【详解】
解：由题意得，
若函数有极值，则，
解得，
故选：A．
21．B
【解析】
【分析】
由函数图象，确定的零点并判断的区间符号，进而可得的单调性，即可知极值情况.
【详解】
由图知：当时，有、，
∴，，
又时，而则，即递增；
时，而则，即递减；
时，而则，即递增；
时，而则，即递增；
综上，、上递增；上递减.
∴函数有极大值和极小值.
故选：B
22．D
【解析】
【分析】
求出导函数并根据极值点求得的关系，然后用判别式和根与系数的关系讨论导函数的零点问题，最后求出答案.
【详解】
由可得，由条件可得，故，由可得，故.
对于方程，，当且仅当时取等号，与矛盾，故等号不成立，即，故方程有两个实数根：，，由，得，故，
因为函数的单调递减区间为，容易判断，m=1，于是.
故选：D.
23．D
【解析】
根据图象，可知该函数的正负性，再结合导数的性质对的性质进行判断即可.
【详解】
根据函数的图象可知：
当时，，即，因此当时，函数单调递增；
当时，，即，因此当时，函数单调递减，显然当，函数有极小值，极小值为；
当时，，即，因此当时，函数单调递减；
当时，，即，因此当时，函数单调递增，显然当，函数有极大值，极大值为，
由上可以判断D是正确的.
故选：D
24．A
【解析】
【分析】
由方程分离参数并换元成，利用函数的图象与直线有三个公共点即可得解.
【详解】
由得，而，
令，于是得，
令，
当时，，即在上单调递减，
当时，，于是得在上单调递增，在上单调递减，时，取得极大值，
作出函数在上的图象及直线，如图，

方程在上有3个根，当且仅当函数的图象与直线有三个公共点，
观察图象知，函数的图象与直线有三个公共点，
当且仅当，即，
所以实数的取值范围是.
故选：A
25．A
【解析】
【分析】
先求出导函数，然后采用分类讨论的方法分析是否有极值，注意定义域的限制.
【详解】
，，
当时，.令，得；令，得.在处取极小值.
当时，方程必有一个正数解，
（1）若，此正数解为，此时，在上单调递增，无极值.
（2）若，此正数解为，必有个不同的正数解，存在个极值.
综上，.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数的极值存在情况求解参数，难度一般.利用导函数分析函数的极值时，要注意到：极值点对应的导函数值一定为零，但是导数值为零的值对应的不一定是极值点，因为必须要求在导数值为零处的左右导数值异号.
26．D
【解析】
【分析】
求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.
【详解】
由可得
，
恒成立，为开口向上的抛物线，
若函数在上无极值，
则恒成立，所以，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
27．C
【解析】
【分析】
求出导函数，根据导函数的正负，导函数的零点判断各选项．
【详解】
由题意，当时，，递增，时，，　递减，是函数的极大值，也是最大值，函数无极小值．
故选：C．
28．B
【解析】
【分析】
由题，求导函数，由函数有极大值和极小值，即有两个不同解，由此，，求解即可
【详解】
由题，，函数有极大值和极小值，所以有两个不同解，所以，，解得，
故选：B
29．B
【解析】
【分析】
求得导函数且，根据极值点可得，关于的表达式及的范围，由此可得关于的函数式，构造，则只需恒成立，利用导数研究的最值，即可求的取值范围.
【详解】
由题设，且，由有两个极值点，
∴令，则在上有两个不等的实根，，
∴，，且，得.
又，且，
∴，，即，
∴，
令且，要使题设不等式恒成立，只需恒成立，
∴，即递增，故，
∴.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：先求导函数，根据极值点、韦达定理求，关于的表达式及的范围，再将题设不等式转化为恒成立，最后利用导数研究最值求参数范围.
30．C
【解析】
【分析】
对函数求导并求出导函数的零点，再判断导函数在各零点左右的正负即可得解.
【详解】
对函数求导得：，
由得或，而当和时，都有，当时，，
所以0不是的极值点，是的极小值点，函数只有一个极值点.
故选：C
31．A
【解析】
【分析】
因为二次函数最多有一个极值点，故先分析的部分；时，令，利用参变分离将变形为，构造新函数，判断的单调性，得出结论：最多仅有两解，因此可确定：时有两个极值点，时有一个极值点. 时，利用与有两个交点时(数形结合)，对应求出的范围；时，利用二次函数的对称轴进行分析可求出的另一个范围，两者综合即可.
【详解】
由题可知，当时，令，可化为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当，即时，有两个不同的解；当，令，，解得，综上，.

【点睛】
分析极值点个数的时候，可转化为导函数为零时方程解的个数问题，这里需要注意：并不是导数值为零就一定是极值点，还需要在该点左右两侧导数值符号相异.
32．B
【解析】
根据极值与导数的关系判断．
【详解】
由知，时，，时，，时，，是极值点．虽然有，但在7的两侧，，7不是极值点．
故选：B．
33．C
【解析】
利用导数求函数的极值点，再比较选项.
【详解】
，当，；
当或时，．
故的极大值点与极小值点分别为，，
则，，所以．
故选：C
34．B
【解析】
【分析】
根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.
【详解】
由图可知，在区间上递减；在区间上递增.
所以不是的极值点，是的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B
35．BCD
【解析】
【分析】
利用导数研究在上单调性及最值即可判断A、B的正误；构造，应用导数研究单调性即知C的正误；构造，应用导数并结合分类讨论的方法研究上、恒成立时m的取值范围，即可判断正误.
【详解】
，
∴上，即上递减，则，
∴A错误，B正确；
令，则在上，即递减，
∴时，有，C正确；
，则等价于，等价于，
令，则，，
∴当时，，则递增，故；
当时，，则递减，故；
当时，存在使，
∴此时，上，则递增，；上，则递减，
∴要使在上恒成立，则，得.
综上，时，上恒成立，时上恒成立，
∴若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1，正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：选项D，由题设不等式构造，综合应用分类讨论、导数研究恒成立对应的参数范围，进而判断不等式中参数的最值.
36．AC
【解析】
【分析】
由题意构造函数，利用导数判断的单调性和极值情况.
【详解】
由可得：，，即.
令，则令，解得：；令，解得：；
所以函数在单减，在单增.
在处取得极小值，也是最小值，无极大值.
故选：AC
37．AC
【解析】
对求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用两点式写出切线方程，可判断选项；利用导数分析函数的单调性，极值可判断选项，；将方程的解个数转化为两个函数图象交点个数，数形结合即可判断选项．
【详解】
解：因为，所以函数的定义域为
所以，，，
∴的图象在点处的切线方程为，
即，故A正确；
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，故B错误，
的极大值也是最大值为，故C正确；
方程的解的个数，即为的解的个数，
即为函数与图象交点的个数，
作出函数与图象如图所示：

由图象可知方程只有一个解，故D错误.
故选：AC.
38．ACD
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据计算结果可得答案.
【详解】
因为
所以，
由，得或，由，得，
所以函数在上递增，在上递减，在上递增，故选项正确，
所以当时，取得极大值，
在时，取得极小值，故选项正确，
当时，为单调递增函数，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，故选项不正确，
因为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间，考查了导数的几何意义，属于基础题.
39．
【解析】
【分析】
对已知函数求导，研究其在上的单调性，即可得出极值点．
【详解】
∵，∴当时，；当时，.故极值点为.
故答案为．
【点睛】
本题考查利用导数研究极值，是基础题．
40．（答案不唯一，满足条件即可）
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的奇偶性及极值的定义即可求解.
【详解】
根据题意，函数可以为，
当时，取得极大值, 当时，取得极小值.
又，所以函数是奇函数，
故答案为：（答案不唯一，满足条件即可．
41．
【解析】
【分析】
由导函数求得极大值，利用极大值点在区间上，且的极大值可得参数范围．
【详解】
，
或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
，
在区间上有最大值，则，解得．
故答案为：．
42．-20
【解析】
【分析】
根据，求出，再利用导数判断函数的单调性，从而求出最值.
【详解】
因为，所以，得．
因为，
所以在(-2，-)，(1，2)上单调递增，在（-，1）上单调递减．
因为，，所以在[-2，2]上的最小值为-20．
故答案为：-20
43．或
【解析】
计算，然后转化为有解，可得的范围，最后进行简单检验可得结果.
【详解】
由题可知：，
因为函数在上存在极值点，所以有解
所以，则或
当或时，函数与轴只有一个交点，即
所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去
所以或，即或
故答案为：或
44．
【解析】
【分析】
由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】
解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：

设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为.
【点睛】
本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
45．（1）；
（2）若选①：；若选②： ；若选③：.
【解析】
【分析】
（1）求得和，进而可得切线方程；
（2）若选①，则转化为在区间上恒成立，根据“三个二次”可得结果；
若选②，则转化为在区间上有解，分离变量可得结果；
若选③，求得的极小值点为，解不等式可得结果.
【详解】
（1）当时，，所以，
点为切点，，
函数在点处的切线方程为：，即；
（2）∵，
∴若选①：函数在区间上是单调减函数，则有：
在区间上恒成立，即在上恒成立，
∴，解得；
若选②：函数在上存在减区间，则有在区间上有解，
即得在区间上有解，
此时令，显然在区间上单调递减，
所以，故有；
若选③：函数在区间上存在极小值，则函数的极小值点应落在内.
令，求得，，
此时可得，在，上单调递增；在上单调递减；
所以是函数的极小值点，
即得，
当时，不等式恒成立，
当时，，解之可得，
所以.
46．选择性条件见解析，的最大值为，最小值为0
【解析】
【分析】
若选①，根据导数和函数极值的关系求出的值，再根据导数与函数最值的关系即可求出最值；
若选②，先利用导数的几何意义求出的值，再根据导数与函数最值的关系即可求出最值；
若选③，先根据奇函数的性质求出的值，再根据导数与函数最值的关系即可求出最值；
【详解】
解：选择①，因为．
所以，故，．
，令．得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
因为．
所以的最大值为．
选择②，因为，
所以，故，．
，令，得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
因为．
所以的最大值为．
选择③，因为．
所以，
因为为奇函数，
所以由，可得．
，令，得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
因为．
所以的最大值为．
【点睛】
此题考查导数和函数的最值的关系，以及导数与函数极值，曲线的切线方程，函数的奇偶性，属于中档题
47．（1）     （2）证明见解析            （3）存在     
【解析】
【分析】
（1）求出函数得到函数大单调性，从而得到函数的极大值.
（2）由（1）可得，即，然后可得，，，相加可证明.
(3) 与的图象在 处有公共点,设函数与存在“分界线” ,由令，由求出参数的值，再证明成立即可.
【详解】
（1），则
由，可得 ，，可得
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有极大值
（2）由（1）可知，为的最大值，即
所以，即（当且仅当时等号成立）
令，则，取，则，即
则，，
由上面不等式相加得
即
即
（3）设 ，则
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以
即与的图象在 处有公共点
设函数与存在“分界线”
令
由，即在上恒成立，
即在上恒成立，
成立，而，
所以 ，则
再证明，即恒成立.
设，则
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值，即
所以恒成立.
综上所述，可得且
故函数与存在 “分界线”，此时
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式，考查恒成立求参数，考查转化思想的应用，属于难题.
48．（1）条件性选择见解析，；（2）单调递减区间为和，单调递增区间为．
【解析】
【分析】
（1）选①，求出函数的导函数，根据是函数的一个极值点，得函数在处得到函数值为0，即可得出答案；
选②，根据函数的图象在处的切线方程为，即函数在处得导数值为3，即可的解；
（2）由（1）得，求出函数得导函数，再根据导函数得符号即可得出答案.
【详解】
解：（1）选①．
由题意知，，
依题意得，，
即，经检验符合题意．
选②．
由题意知，，
因为函数的图象在处的切线方程为，
所以，得．
（2）由（1）得，
，
令得，或，
列表：


-1

3


-
0
+
0
-







所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
49．(1)有极小值，无极大值
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，结合函数极值和单调性的关系进行求解即可；
（2）当时，利用零点的存在性定理可得函数存在零点，结合函数极值和导数之间的关系求最值，利用基本不等式法进行证明即可.
(1)
函数的定义域为，当时，
函数的导数为，且
又，故在区间上单调递增，
则当时，当时，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以函数在时有极小值，无极大值
(2)
当时，
故在区间上单调递增，其中
且当上时，，取
则有
故导函数存在零点，且为极小值点，
满足，
故(当且仅当即时取等号)，
即