微专题 平面向量基本定理及其应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 平面向量基本定理及其应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共36页。

微专题：平面向量基本定理及其应用
【考点梳理】
1. 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2. 平面向量的正交分解
平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、应用平面向量基本定理应注意平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量. 选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.
4、平面向量基本定理的推论
(1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.
(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

(3)平面向量基本定理的推论：
①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t. 特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点.
②对于平面内任意一点O，P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.


【题型归纳】

题型一：基底的概念及辨析
1．下列各组向量中，不能作为平面的基底的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，点O是正六边形的中心，则下面结论正确的是（       ）

A． B． C． D．向量与能构成一组基底
3．已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与

题型二：用基底表示向量
4．在中，点在边上，，记，，则（       ）
A． B．
C． D．
5．在平面四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，，，，，则（       ）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且．记，，则（       ）

A． B． C． D．

题型三：平面向量基本定理的应用
7．如图，在等腰中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．
8．在中，点D在边AB的延长线上，，则（       ）
A．， B．， C．， D．，
9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（       ）

A．1 B． C． D．






【双基达标】
10．如图，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（       ）

A． B．
C． D．
11．已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（       ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．在中，若点满足，点为的中点，则（       ）
A． B．
C． D．
13．若是平面α内的两个向量，则（       ）
A．α内任一向量(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0
C．若不共线，则空间任一向量 (λ，μ∈R)
D．若不共线，则α内任一向量 (λ，μ∈R)
14．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（       ）
A．1 B．2 C． D．
15．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则（       ）．

A．
B．
C．
D．
16．在中，，是上一点，若，则实数的值为（       ）.
A． B． C． D．
17．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则的最小值为（       ）
A．2 B．1 C． D．
18．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）

A． B．
C． D．
19．如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（       ）

A． B．
C． D．
20．设分别是的三边上的点，且，则与（     ）
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
21．在中，，点在边上，且，设，则当取最大值时，（       ）
A． B．
C． D．
22．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（       ）
A． B． C． D．
23．如图，用向量，，表示向量为（       ）

A． B． C． D．
24．在菱形中，、分别是、的中点，若，，则（       ）
A．0 B． C．4 D．
25．已知等边△的边长为，点，分别为，的中点，若，且，则（       ）
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．已知､､是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（       ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
27．已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（       ）
A． B． C． D．
28．过的中线的中点作直线分别交､于､两点，若，则（       ）

A．4 B． C．3 D．1
29．在长方形ABCD中，E为CD的中点，设，，则等于（       ）
A． B． C． D．
30．.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为（       ）

A． B．
C．2 D．
31．在中，内角所对的边分别为，若则的形状是（       ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
32．如图，在梯形中，且，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且，则的值为（       ）

A．1 B． C． D．
33．在中，，，点是边的中点，则的值为（       ）
A． B．6 C． D．8
34．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（       ）
A． B． C． D．
36．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（       ）

A．与能构成一组基底 B．
C． D．
37．下列说法中正确的是（       ）
A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若，则.
C．若单位向量､的夹角为，则在方向上的投影向量是.
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.
38．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（       ）

A．
B．
C．
D．
三、填空题
39．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________．
40．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为___________
41．如图，在中，为的中点，，若，则______.

42．设向量，若用表示，则________.
43．如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，，则的值为________．

44．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是______．
四、解答题
45．如图，平行四边形中，，为线段的中点，为线段上的点且.

（1）若，求的值；
（2）延长、交于点，在线段上（包含端点），若，求的取值范围.
46．如图，平面四边形中，，对角线相交于．设，且，

(1)用向量表示向量；
(2)若，记，求的解析式．
47．如图所示，中，，，为的中点，为上的一点，且，的延长线与的交点为.


(1)用向量，表示；
(2)用向量，表示，并求出和的值.
48．如图所示，△中，，，.线段相交于点.

(1)用向量与表示及；
(2)若，试求实数的值.
49．如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，.

(1)用向量，表示；
(2)设向量，，求的值.

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据基底的定义分别判断各个选项即可得出答案.
【详解】
解：对于A，因为两向量不共线，所以能作为一组基底；
对于B，因为，所以，所以两向量不能作为一组基底；
对于C，因为两向量不共线，所以能作为一组基底；
对于D，因为两向量不共线，所以能作为一组基底.
故选：B．
2．A
【解析】
【分析】
由正六边形性质及向量加法的线性运算可判断每一个选项.
【详解】
对于A，由正六边形的性质可知，所以，故A正确；
对于B，由正六边形的性质可知，从而可知与不可能共线，故B不正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，由正六边形的性质可知与平行，故向量与不能构成一组基底，故D不正确.
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
根据共线定理判断两个向量是否共线即可.
【详解】
A选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；
B选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；
C选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；
D选项：易知，即与共线，不能作为平面向量基底.
故选：D
4．D
【解析】
【分析】
由平面向量基本定理可知可以用和表示出来，
从而得到，即可得到
【详解】
由题意可知：




所以
即
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
由向量加法法则，把分别表示为，，然后由已知条件得，，两者结合可得结论．
【详解】
由，得，，
又，，
，
所以．
故选：B．
6．D
【解析】
【分析】
由题，，，结合向量加法法则即可求得
【详解】

，
故选：D
7．B
【解析】
【分析】
根据集合图形中线段对应向量的线性关系，可得，又，，可得关于的函数关系式，由二次函数的性质即可求的最小值.
【详解】
在等腰中，已知则，因为分别是边的点，所以，而，左右两边平方得，
又因为，
所以，
所以当时，的最小值为，
即的最小值为.
故选：B.
8．B
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理即可求解.
【详解】
因为点D在边AB的延长线上，，所以，即,
所以.
又，由平面向量基本定理可得：
，.
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可.
【详解】
由题意知，
因为，所以，，.
故选：B.
10．B
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.
【详解】
由题可得：



．
故选：B．
11．A
【解析】
【分析】
根据平面向量共线定理得到，对于①，故两向量共线；对于②，故两向量共线；对于③不存在实数满足，故不共线.
【详解】
对于①，，，故两向量共线；
对于②，，，故两向量共线；
对于③，，
假设存在
，因为，是不共线向量，
故得到无解.
故选：A.
12．A
【解析】
利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.
【详解】

.
故选：A
13．D
【解析】
【分析】
根据空间向量共面定理判断．
【详解】
当与共线时，A项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠0时，＝，故B项不正确；
若与不共线，则与、共面的任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，
故C项不正确，D项正确．
故选：D．
14．B
【解析】
【分析】
利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.
【详解】

因为点是的三等分点，则，
又由点三点共线，则，
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为 ，则有,
解可得或(舍），故，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
15．B
【解析】
【分析】
如图所示，取、为一组基底的基向量，其中且、的夹角为60°，将和化为基向量，利用平面向量的数量积的运算律可得结果.
【详解】
如图所示，建立以、为一组基底的基向量，

其中且、的夹角为60°，
∴，，
∴.
故选：B．
16．D
【解析】
【分析】
根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】
，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
【点睛】
本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
17．D
【解析】
【分析】
选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.
【详解】
记，
因为，
所以.
故选：D

18．B
【解析】
【分析】
根据向量的加法减法运算即可求解.
【详解】
依题意，，
故选：B
19．B
【解析】
【分析】
根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.
【详解】
，，
由，P，M共线，存在，使①，
由N，P，B共线，存在，使得②，
由①② ，故.
故选：B.
20．A
【解析】
【分析】
首先根据平面向量基本定理表示，，，然后三式相加得到答案.
【详解】

同理：，，
所以
,
所以与反向平行.
故选：A
【点睛】
本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理，重点考查向量的表示，属于基础题型.
21．B
【解析】
【分析】
根据，利用两角和与差的正弦公式化简得到，进而求得A，根据点在边上，且，得到，再由余弦定理结合两边平方，得到，令，得到，用导数法求得最大值时a，b，c的关系，再利用正弦定理求解.
【详解】
因为，
所以，即，
因为，
所以，，
因为，
所以，
因为点在边上，且，
所以，
设，
则，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
即，
即，
所以，
令，得，
则，令，解得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，此时，
所以，解得，
在中，由正弦定理得，解得，
即.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到，然后利用余弦定理表示BC，利用平面向量表示AD而得解.
22．B
【解析】
设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.
【详解】
由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
故选：B.

【点睛】
平面向量的基本定理的实质及应用思路：
1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
23．C
【解析】
【分析】
根据图示即可求出．
【详解】
如图所示：，
．
故选：C．
24．B
【解析】
【分析】
以为基底表示有关向量，然后利用数量积的运算和定义求解.
【详解】
设,则.
，
故选：B.

25．C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，把向量用向量和表示，结合可求得的值.
【详解】
由已知条件,图形如下图所示：




,
解得.
故选：.
26．C
【解析】
【分析】
逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】
对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
27．D
【解析】
【分析】
过作，根据平面向量基本定理求得，即可求得与的面积之比.
【详解】
点是所在平面上一点，过作，如下图所示：

由，
故，
所以与的面积之比为，
故选：D．
28．A
【解析】
【分析】
由为的中点得到 ，设，结合，得到，再由，得到，然后利用与不共线求得m，n即可.
【详解】
解：由为的中点可知，，
，
设，
则，
，
，

，
，
与不共线，
，解得，

故选：.
29．C
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用向量加法法则及共线向量，列式求解作答.
【详解】
在长方形ABCD中，E为CD的中点，则，而，，
所以.
故选：C
30．A
【解析】
【分析】
设，由向量的运算法则得到，又由，列出方程组，即可求解.
【详解】
设，
因为，所以，
则，
又因为，所以，解得.
故选：A.
31．B
【解析】
【分析】
利用向量的减法及平面向量基本定理即得.
【详解】
因为，
所以
所以，
所以
故为等边三角形.
故选：B.
32．C
【解析】
【分析】
由向量的线性运算法则化简得到和，结合三点共线和三点共线，得出和，联立方程组，即可求解.
【详解】
根据向量的线性运算法则，可得

，
因为三点共线，可得，即；
又由，
因为三点共线，可得，即，
联立方程组，解得，所以.
故选：C.
33．A
【解析】
【分析】
将作为基底表示出，然后求其数量积即可
【详解】
解：因为在中，点是边的中点，
所以，
因为，，，
所以
故选：A
34．D
【解析】
【分析】
由两定点满足，说明三点构成边长为2的等边三角形，设出两定点的坐标，再设出点的坐标，由平面向量基本定理，把点的坐标用的坐标及表示，把不等式去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求出点所表示区域的面积
【详解】
由两定点满足，而，则，所以，则三点构成边长为2的等边三角形，不妨设，设，
由，得，
所以，解得，
由，得
，或，或，或，
可行域如图中矩形及其内部区域，则区域面积为，
故选：D

35．ABC
【解析】
【分析】
根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．
【详解】
因为是内一点，且
所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时

所以，即
当M与C重合时，最大，此时

所以，即
因为在内且不含边界
所以取开区间，即，
结合选项可知ABC符合，D不符合
故选：ABC
36．BD
【解析】
【分析】
连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，可判断选项A；从而可得，可判断选项B；连结交于点，可判断选项C；先判断出，结合向量的加法和数量积的运算性质可判断选项D .
【详解】
连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，
所以，所以AH与CF是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；
又，所以．所以，B项正确；
由上过程可知，连结交于点,
在直角三角形中，为的中点，则,
又，所以，C项错误；
又正八边形的每一个内角为：，
延长,相交于点，则所以，故，
所以，D项正确．
故选:BD.

37．ABC
【解析】
【分析】
由平面向量基本定理，依次判定即可
【详解】
选项A：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此，一定都是非零向量，故A正确；
选项B：，由在同一基底下向量分解的唯一性，有，故B正确；
选项C：在方向上的投影向量为：，故C正确；
选项D：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D错误
故选：ABC
38．ABC
【解析】
利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．
【详解】
解：∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
，A对；
∵，∴，
∴，
又F为AE的中点，∴，B对；
∴，C对；
∴，D错；
故选：ABC．
【点睛】
本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题．
39．##0.9
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，利用表示出，再设，；用分别表示出求出与，再将其代入，可得，然后利用二次函数的性质即可求的最小值．
【详解】
如图所示，

中，，
∴，
又点点在线段上移动，设，，
∴，
又，∴，
∴，
∴当时，取到最小值，最小值为.
故答案为：．
40．
【解析】
【分析】
由平面向量线性运算可得，结合已知条件以及三点可得，根据的代换由基本不等式即可求最小值，列方程即可求解.
【详解】

因为点是的三等分点，则
，
又由点三点共线，所以，
所以 ，可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，则有，
即，所以，因为，
所以，
故答案为：.
41．
【解析】
【分析】
先用表示，再用表示，即可得到答案.
【详解】

，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查向量的分解、线性运算.
42．
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】
设，则有，
得，所以，
故答案为：
43．
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理分别把向量，用基底{，}表示出，结合得到含有系数，的的基底表示，与直接根据向量的线性运算得到的的基底表示比较，利用向量基本定理中的分解唯一性，即可求出，的关系，进而求得结论．
【详解】
解：因为，，
所以，

又因为，
且，不共线，所以，
两式相加得，
显然,所以，
故答案为：．
44．
【解析】
【分析】
设是中点，用向量表示，平方转化为数量积求中线长，然后由求出取值范围，即可得结论．
【详解】
设是中点，则，
，
又，所以，当且仅当时等号成立．
所以，．
故答案为：．

45．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，，进而可得结果.
（2）设，则，则，，由，即可得出结果.
【详解】
（1）∵∴
∴
由已知
∴，∴，∴
（2）∵，N为的中点，
易证与全等，则，
设，则
∵
∵∴

∴
46．(1)；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）根据平面各对应边的关系，结合向量加减、数乘的几何意义可得，整理即可得到表示的线性表达式.
（2）由向量数量积的定义可得，结合（1）的结论，应用向量数量积的运算律可得，整理即可得关于t的函数.
(1)
∵，，
∴，即，
∴.
(2)
∵，，
∴，
又且，
∴，即，
∴，即，.
47．(1)
(2)，7，6
【解析】
【分析】
（1）由已知得，，为的中点，可得答案；
（2）设，得 ，设，可得，即，由，不共线和平面向量基本定理求得、，可得答案.
(1)
根据题意因为：，所以，
所以，
为的中点，，，所以，.
(2)
因为，，三点共线，设，所以，
即，
，，三点共线，设，
由（1）可知，即，
，不共线，由平面向量基本定理，所以，
所以，，
所以，，
则的值为7，的值为6.
48．(1)，；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）根据向量加法、数乘、相反向量的几何意义，将、用表示即可.
（2）由题图知，，结合已知条件求得，根据平面向量的基本定理可得的值.
(1)
由题设，，.
(2)
设，
所以，且，
所以，则，可得，
所以，故，.
49．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据，结合向量的线性运算，再用，表达即可；
（2）用，表达，结合三点共线即可求得.
(1)
∵为中线上一点，且，

∴
；
(2)
∵，，，
∴，又，，三点共线，
∴，解得，故的值为.