微专题 其他几类重要不等式的解法 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

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微专题：其他几类重要不等式的解法
【考点梳理】
1、指对数不等式
解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法
(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.
①当时,
;　
②当时,
;　
(2)对指互化法：
如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.
对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.




2．简单分式不等式
（1）；（2）
（3）；（4）
3.绝对值不等式
绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.
③平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法.
④通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.
4.高次不等式
高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
解法：穿根法
①将f(x)最高次项系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
5.无理不等式的解法
无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.
无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或．



【题型归纳】
题型一： 分式不等式
1．已知集合，，则如图中阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．
2．设集合，则（       ）
A． B． C． D．
3．设集合，则（       ）
A． B． C． D．

题型二： 高次不等式
4．已知 ，“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．不等式的解集为（       ）
A．或 B．或
C．或 D．或
6．已知集合，，则（       ）
A． B．或
C．或 D．或
题型三： 根式不等式
7．已知集合，集合，，则等于（       ）．
A．R B． C． D．
8．已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
9．设，，，则（       ）
A． B．
C． D．

题型四： 指数不等式
10．若集合，，则（       ）
A． B． C． D．
11．已知集合，集合，则（       ）
A． B． C． D．
12．已知集合，则（       ）
A． B． C． D．

题型五： 对数不等式
13．已知集合，则（       ）
A． B． C． D．
14．已知集合，则的元素个数为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．已知集合，则（       ）
A． B． C． D．







【双基达标】
16．设集合，，那么“”是“”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
18．设集合，，则“”是“”的（       ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
19．已知命题，命题，则是成立的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
20．若集合，，则等于（       ）
A． B． C． D．
21．已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
22．已知全集，集合，，则（       ）
A． B． C． D．
23．已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
24．使不等式成立的一个充分不必要条件是（       ）
A．且 B．
C． D．
25．不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．或
26．已知集合，集合，则（       ）
A． B． C． D．
27．不等式成立的一个充分条件是（       ）
A． B． C． D．
28．设，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
29．若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
30．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
31．已知集合的一个必要条件是，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
32．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
33．不等式的解集为（       ）
A．或
B．
C．
D．
34．给出下列四个命题:
①函数的图象过定点;
②已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，则实数或;
③若，则的取值范围是:
④对于函数，其定义域内任意，都满足
其中所有正确命题的个数是（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个
35．某同学进行3分投篮训练，若该同学投中的概率为，他连续投篮n次至少得到3分的概率大于0.9，那么n的最小值是（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
36．已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
37．不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
38．设集合，则（       ）
A． B．
C． D．
39．已知全集为，集合，，则（       ）
A． B．
C．或 D．或
40．已知集合，集合，（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
41．集合也可以写成（       ）
A． B．
C．或 D．
42．下列选项中，与“”互为充要条件的是（       ）
A． B． C． D．
43．下列说法错误的有（       ）
A．不等式的解集是 B．“”是“”的充分条件
C．，，其否定为， D．“，”是“”的充分条件
44．已知集合，集合，集合，则（       ）
A． B．
C．Ü D．Ü
三、填空题
45．已知若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为___________.
46．关于x 的不等式 的解集是___________ .
47．不等式的解集为___________.
48．在平面直角坐标系内，若点在第二象限内，则实数的取值范围是______．
49．不等式的解集为______________．
50．若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
四、解答题
51．已知全集，非空集合，．
（1）当时，求；
（2）命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围．
52．已知不等式的解集为.
（1）求，的值；
（2）求不等式的解集.
53．集合.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求的范围.
54．根据下列条件，求实数x的取值范围：
（1）有意义
（2）有意义
55．解下列不等式：
（1）；
（2）：

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
解不等式，求出，求对数函数定义域得到，从而求出阴影部分表示的集合.
【详解】
，解得：或，所以，
由对数函数真数大于0可得：，解得：，所以，
则，
则阴影部分表示的集合为
故选：D
2．B
【解析】
【分析】
求函数的定义域化简集合A，再利用补集、交集的定义计算作答.
【详解】
依题意，，解得，即，
所以.
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
先解分式不等式求得集合，再由交集的概念求解即可.
【详解】
由题意得，，则.
故选：B.
4．D
【解析】
【分析】
分别解不等式和，求得它们的解集，看二者的关系，根据其逻辑推理关系，可得答案.
【详解】
解不等式，即
得 ；
解不等式，即 或 ，
解得 ，
由于推不出，
也推不出，
故“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D
5．D
【解析】
【分析】
先将不等式化简为，再分类讨论和 两种情况，即可求得答案.
【详解】
不等式即，
当即时，即，
故此时；
当即时，即或 ，
故此时，
故不等式的解集为或，
故选：D
6．D
【解析】
【分析】
先化简集合A，再去求即可解决.
【详解】
由，
得或，解之得或
则或
又
则或或
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
解不等式化简集合A，求出函数的值域化简集合B，再利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】
解不等式得：，即，，，即，
于是得，所以.
故选：C
8．C
【解析】
【分析】
先解不等式求出集合B，再根据交集的定义求解即可．
【详解】
因为，
所以.
故选：C.
9．B
【解析】
【分析】
解不等式求得集合、，由此求得.
【详解】
，由于在上递增，所以，
即，，
，所以，
所以.
故选：B
10．B
【解析】
【分析】
根据集合的定义，先对集合进行化简，再利用交运算即可求解.
【详解】
由题意知，，所以．
故选:B．
11．C
【解析】
【分析】
先化简集合M、N，再利用交集定义去求
【详解】
，
或
则或
故选：C
12．D
【解析】
【分析】
首先解指数不等式与一元二次不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：由，即，解得，由，即，解得
所以，，
所以.
故选：D.
13．B
【解析】
【分析】
利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合，结合集合的补集及交集的定义即可求解.
【详解】
由，得，所以.
由，得，所以，
所以，
故选：B.
14．A
【解析】
【分析】
解对数不等式求集合B，再应用集合的交运算写出的元素，即知元素的个数.
【详解】
由题设，
所以，共有3个元素.
故选：A
15．D
【解析】
【分析】
解不等式后由交集的概念判断
【详解】
由得，由得，
故，
故选：D
16．D
【解析】
【分析】
解不等式确定集合中的元素，根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
，“”不能够推出“”，
反过来“”不能够推出“”，
即“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
本题考查充分条件与必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．
17．B
【解析】
【分析】
先把分式不等式转化为整式不等式，结合二次不等式的求解方法可得解集.
【详解】
不等式等价于，解之得.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查分式不等式的解法，分式不等式一般转化为整式不等式进行求解，转化时需要注意等价性，不要忽视了分母不为零，侧重考查数学的核心素养.
18．B
【解析】
【分析】
解不等式求集合A、B，利用集合的包含关系即可判断“”是“”的充分、必要关系.
【详解】
由，则，得，即，
由，得，即，
∴，即“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
19．B
【解析】
【分析】
根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．
【详解】
由可得，或﹔由可得，.所以是成立的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，掌握绝对值不等式，对数不等式的解法是解题关键．命题对应集合，命题对应集合，是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件．
20．D
【解析】
【分析】
解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义直接求解作答.
【详解】
不等式化为：，解得：，则，
不等式，即，整理得：，解得，则，
所以.
故选：D
21．D
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合，然后根据并集的定义即可求解.
【详解】
解：因为集合，，
所以，
故选：D.
22．D
【解析】
【分析】
先化简集合，再去求即可解决.
【详解】
由，可得，即，
则
由，可得或，
则或
则，
故
故选：D
23．B
【解析】
【分析】
先求出集合A，B，再求两集合的交集即可
【详解】
解：由得，
因为恒成立，所以，即.
由函数有意义，得，即.
所以.
故选：B
24．D
【解析】
【分析】
求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.
【详解】
因为，故不等式的解集为且，
故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，
显然，满足题意的只有.
故选：D.
25．C
【解析】
由等价于，进而可求出不等式的解集.
【详解】
由题意，等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】
本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.
26．D
【解析】
【分析】
先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出的结果.
【详解】
因为，所以，
所以，所以
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零），然后再去求解集.
27．C
【解析】
【分析】
首先解不等式得到或，再根据充分条件定理求解即可.
【详解】
或，
因为或，
所以不等式成立的一个充分条件是.
故选：C
28．B
【解析】
【分析】
求出的解集，进而判断出“”是“”的什么条件.
【详解】
由，解得：或，
所以“”不是“”的充分条件；若，则，此时，
所以“”是“”的必要条件，所以 “”是“”的必要不充分条件.
故选：B
29．D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a的取值范围.
【详解】
由，可得：；
由，则，可得；
∵成立的一个充分不必要条件是，
∴，可得.
故选：D.
30．C
【解析】
【分析】
求出、中的不等式，根据是的充分不必要条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
解不等式，即，解得，
解不等式，即，解得，
由于是的充分不必要条件，则Ü，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.
31．C
【解析】
【分析】
先求出集合，根据集合的一个必要条件是，即选一个由成立能推出的选项即选项对应的集合包含A，由此可得答案.
【详解】
解不等式，即 ，得 ，
故，
所以的一个必要条件是，
则对于A, ，不一定是的子集，A错误；
对于B，，不是的子集，B错误；
对于C，，是的子集，C正确；
对于D, ,不一定是的子集，比如时，D错误；
故选：C
32．A
【解析】
【分析】
首先求出绝对值不等式和对数不等式的解集，得出集合，进而可求出.
【详解】
由，得或，所以，
由，得，所以，
所以.
故选：A.
33．A
【解析】
【分析】
根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】
解：恒成立，
故原不等式等价于且，
即
解得：或，
故原不等式的解集为：或.
故选：A.
34．B
【解析】
【分析】
由指数函数的图象的特点解方程可判断①；由奇函数的定义，解方程可判断②；由对数不等式的解法可判断③；由对数函数的运算性质可判断④．
【详解】
解：①函数，则，故①错误；
②因为当时， ，且，所以由函数f（x）是定义在R上的奇函数得，故②错误；
③若，可得，故③正确；
④对于函数
当且仅当取得等号，其定义域内任意都满足，故④正确．
故选：B．
【点睛】
本题关键在于正确运用函数的单调性、奇偶性和对称性，以及函数图象等基本性质.
35．B
【解析】
先计算一次都不中的概率，再求至少中一次的概率，列关系求解即可.
【详解】
由题意可知，该同学连投n次，一次都不中的概率为：，
故n次投篮至少得到3分即至少中一次的概率为，得，∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查了n次独立重复实验至少有一次发生的概率和指数不等式，属于基础题.
36．C
【解析】
【分析】
排除法可得.
【详解】
取，易知，所以，故排除ABD.
故选：C
37．D
【解析】
【分析】
不等式等价于，即，且，由此求得不等式的解集．
【详解】
不等式等价于，即，且，解得，
故不等式的解集为，
故选：D．
38．D
【解析】
【分析】
先将集合分别化简，再求其交集.
【详解】
因为，从而.
故选：D.
39．C
【解析】
【分析】
先求出集合A，B和，再求出即可
【详解】
由，得，所以，
由，得，则，得，
所以，所以或，
所以或，
故选：C
40．D
【解析】
【分析】
首先解分式不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】
解：因为，等价于，解得，所以，因为，所以，所以；
故选：D
41．ABD
【解析】
【分析】
先将题中集合化为最简形式，再将选项中各集合化简并与题中集合比较即可.
【详解】
对于集合，解不等式，即，解得，所以.
对于A选项，，故A正确；
对于B选项，解不等式，即，得，即，故B正确；
对于C选项，与集合比较显然错误，故C错误；
对于D选项，等价于，故D正确.
故选：ABD
42．BC
【解析】
【分析】
先求出的范围，再逐项求出对应的范围，从而可得正确的选项.
【详解】
的解为，
对于A，因为为的真子集，故A不符合；
对于B，因为等价于，其范围也是，故B符合；
对于C，即为，其解为，故C符合；
对于D，即，其解为，
为的真子集，故D不符合，
故选：BC.
43．BC
【解析】
【分析】
解分式不等式可知A正确；根据推出关系可知B错误；
由含量词命题否定的形式知C错误；由推出关系知D正确.
【详解】
对于A，由得：，即，
解得：，即不等式的解集为，A正确；
对于B，，，“”是“”的必要不充分条件，B错误；
对于C，由含全称量词命题的否定知原命题的否定为：，，C错误；
对于D，当，时，成立，即充分性成立，D正确.
故选：BC.
44．BCD
【解析】
【分析】
先求出集A，B，D，再逐个分析判断即可
【详解】
由，得，所以，
由，得且，得或，所以或，
由，得，所以，
对于A，，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，因为或，所以，所以Ü，所以C正确，
对于D，因为，所以，因为或，所以Ü，所以D正确，
故选：BCD
45．.
【解析】
【分析】
不等式可以转化为，先考虑时，当时，考虑和两种情况对根式不等式进行讨论，最后求出答案.
【详解】
由题意，.
当时，，；
当时，
（1）若，则，设，于是，所以.
（2）若，首先，而函数在上单调递减，则，而函数在上单调递减，则，则，设，于是，
所以.
综上：.
46．
【解析】
【分析】
不等式可化简为，计算即可.
【详解】
不等式整理的5x+1>4x-2，解得x>-3，又因为2x-1≥0，所以，
所以不等式的解集为,
故答案为：
47．
【解析】
【分析】
将分式不等式移项通分分解因式化为，然后转化为整式不等式组，进而利用数轴标根法求解.
【详解】
等价于，即，即，又等价于，
利用数轴标根法解得或,
所以原不等式的解集为，
故答案为：
48．
【解析】
【分析】
由第二象限点的特点列出不等式组，化简后求出解集，可得实数的取值范围．
【详解】
∵点在第二象限内，
∴，则，解得，
∴实数的取值范围是，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了各个象限内点的特征，分式不等式的化简及求解，考查转化思想，属于中档题．
49．或
【解析】
【分析】
由题可得，进而即得.
【详解】
由，得，
所以或，
故不等式得解集为或．
故答案为：或．
50．
【解析】
【分析】
由不等式的解集为可得参数a的值，则不等式也具体化了，按分式不等式解之即可.
【详解】
由不等式的解集为，
可知方程有两根，故，
则不等式即等价于，
不等式的解集为，
则不等式的解集为，
故答案为：.
51．（1）；（2）．
【解析】
（1）先解分式不等式和二次不等式得集合,再求补集和交集即可；
（2）先判断得，再根据必要条件得到集合的包含关系，列不等式求解即可.
【详解】
（1）∵时，，
，
全集，∴或．∴．
（2）∵命题：，命题：，是的必要条件，∴．
∵，∴，
∵，，
∴，解得或，故实数的取值范围．
【点睛】
本题主要考查了集合的运算及求参问题，涉及必要条件的转化，属于基础题.
52．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题可知，是方程的两根，代入即可计算出的值；
（2）根据分式不等式的求法即可求出.
【详解】
（1）∵不等式的解集为，
∴，是方程的两根，
∴，
解得：或（舍去），

（2）由（1）知不等式即为，
∴，
解得：，
∴不等式的解集为.
【点睛】
本题考查根据一元二次不等式的解集求解参数值、分式不等式的求解问题；关键是明确一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系.
53．（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出集合A，B，再求两集合的交集即可；
（2）求出集合A的补集，由是的充分不必要条件，可得，从而得，解不等式组可得答案
【详解】
（1）由得即，解得或，
所以或；
当时，，由得，即，
所以，
所以或.
（2）∵或，∴，
由，得，∴
是的充分不必要条件
∴，
∴，解得，
∴的范围为
54．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）解不等式即得解；
（2）解不等式组即得解.
【详解】
（1）根据对数的定义，真数大于0，
则有所以或，所以实数x的取值范围为.
故对数有意义时，实数x的取值范围为.
（2）根据对数的定义，真数大于0，底数大于0并且不等于1，
则有或
故对数有意义时，实数x的取值范围为.
55．(1)； (2).
【解析】
【分析】
(1)先求对应二次方程的根，不等式的解集在两根之外；
(2)把不等式移项通分，然后分式化整式，转化为二次不等式来解.
【详解】
(1)因为的两根为，，
所以原不等式的解集为.
(2)由，得，即，
所以，所以 ，所以原不等式的解集为.