微专题 求函数的解析式 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 求函数的解析式 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共27页。

微专题：求函数的解析式
【考点梳理】
函数解析式的求法：①待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法；②换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；③配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；④消去法(即函数方程法)：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).

【题型归纳】
题型一：已知函数类型求解析式
1．已知函数为一次函数，且，则（       ）
A． B． C． D．
2．已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（       ）
A．3 B．8 C．9 D．16
3．已知二次函数满足，则（　　）
A．1 B．7 C．8 D．16

题型二：已知f（g（x））求解析式
4．已知是上的单调函数，若，则的值域为（       ）
A． B． C． D．
5．已知，则有（       ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，且，则（       ）
A．7 B．5 C．3 D．4

题型三：求抽象函数的解析式
7．已知，则 （       ）
A． B． C． D．
8．已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（       ）
A．3 B．1 C．0 D．
9．已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（       ）
A． B． C． D．

题型四：函数方程组法求解析式
10．已知函数满足，且，，则a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
11．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（       ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝－4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
12．已知，则（       ）
A． B． C． D．

题型五：求解析式中的参数值
13．已知，且，则m等于（       ）
A． B．2 C． D．3
14．已知函数，，若，则（       ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
15．若，且，则 （       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【双基达标】
16．已知函数，若＝10，则实数a的值为（     ）
A．5 B．9 C．10 D．11
17．已知函数，则的解析式为（       ）
A． B．
C． D．
18．已知，若，则（       ）
A． B． C． D．
19．判断下面结论正确的个数是（       ）
①函数的单调递减区间是；
②对于函数，，若，且，则函数在D上是增函数；
③函数是R上的增函数；
④已知，则
A．3 B．2 C．1 D．0
20．已知函数的定义域为，且，则（       ）
A． B． C． D．
21．若，则（       ）
A．
B．
C．
D．
22．已知，则的解析式为（       ）
A． B． C． D．
23．已知函数，则的最小值是（       ）
A． B．2 C．1 D．0
24．为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：，分别与该曲线相切于，，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为（       ）．

A．
B．
C．
D．
25．已知，则等于（       ）
A． B． C． D．
26．已知，则的解析式为（       ）
A． B．
C． D．
27．设函数为单调函数，且时，均有，则（       ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
28．已知函数，则 （       ）
A． B．
C． D．
29．已知函数，则等于（       ）
A． B．1 C．2 D．3
30．若，则的解析式为（       ）
A． B．
C． D．

【高分突破】
一、 单选题
31．若函数，则等于（     ）
A． B． C． D．
32．若函数的图象经过点，则曲线在点处的切线的斜率（       ）
A．e B． C． D．
33．若，则有（       ）
A． B．
C． D．
34．若函数，则函数的最小值为（       ）
A． B． C． D．
35．已知，则（       ）
A．6 B．3 C．11 D．10
36．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于. 经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间(单位：分钟)的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（       ）(参考数据)
A．10分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟
37．一次函数g(x)满足g[g(x)]=9x+8，则g(x)的解析式是（       ）
A．g(x)=9x+8
B．g(x)=3x-2
C．g(x)= -3x-4或g(x)=3x+2
D．g(x)=3x+8
38．设函数为一次函数，且，则（       ）
A．3或1 B．1 C．1或 D．或1
39．已知，则的值为（　　）
A．15 B．7 C．31 D．17
40．若函数，且，则实数的值为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
41．知函数满足，则关于函数正确的说法是（       ）
A．的定义域为 B．值域为，且
C．在单调递减 D．不等式的解集为
42．已知满足，则（       ）
A． B．
C． D．
43．已知函数，则下列选项中正确的是（       ）
A．函数的最大值M与最小值N的比值为
B．函数的最大值M与最小值N的比值为2
C．函数的定义域为[]
D．函数的定义域为
44．已知，存在实数满足，则（       ）
A． B．可能大于0 C． D．
三、填空题
45．已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数___________.
46．海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记录表．
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深值
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0

试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间的函数关系，则这个函数关系式是________．
47．已知函数满足，则的值为__________．
48．定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.
49．已知，对于任意实数、，恒成立，则的解析式为_________.
50．若，则______．
四、解答题
51．已知且.
(1)求的解析式；
(2)解关于x的不等式：.
52．（1）已知，求在，上的值域；
（2）已知是一次函数，且满足，求的值域及单调区间．
53．已知二次函数的最小值为，．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）若，试求的最小值．
54．已知函数的图象过点与点.
（1）求，的值；
（2）若，且，满足条件的的值.
55．已知二次函数满足，．
（1）求的解析式．
（2）求在上的最大值．

参考答案
1．A
【解析】
【分析】
先求出函数的解析式，再把1代入即可求解.
【详解】
设，则，解得，
，．
故选：A
2．C
【解析】
【分析】
根据题意设，则，然后由列方程组求出的值，从而可得的解析式，进而可求出
【详解】
根据题意设，则，
因为，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：C
3．B
【解析】
【分析】
采用待定系数法先求解出的解析式，然后即可计算出的值.
【详解】
设，
因为，
所以，
化简可得：，
所以，所以，所以，
所以，所以，
故选：B.
4．B
【解析】
【分析】
令，所以，所以，又因为，求出，则可求出，再代入求出，即可求出的值域.
【详解】
令，所以，

则令，所以，
又因为，
所以，所以，
解得：，所以
所以，
因为，
所以的值域为：.
故选：B.
5．B
【解析】
【分析】
利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.
【详解】
设，，则，
，，
所以函数的解析式为，．
故选：B.
6．A
【解析】
【分析】
利用凑配法求函数的解析式，代入即可求解.
【详解】
,
.
,解得．
故选：A.
7．D
【解析】
【分析】
根据，利用整体思想求出的解析式，求得，从而即求出．
【详解】
解：因为，
所以，
，
所以.
故选：D．
8．A
【解析】
【分析】
设，则，即可由得，解出，从而得到，进而求出的值．
【详解】
根据题意，函数在定义域上单调，且时均有，
则为常数，设，则，
则有，解可得，则，故；
故选：A.
9．C
【解析】
【分析】
令，代入知，由此可求得的值，得到解析式，由此求得结果.
【详解】
在上是单调函数，可令，，
，解得：，，
.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数值的求解问题，解题关键是能够利用换元法，结合函数为单调函数构造方程求得参数值，从而得到函数的解析式.
10．D
【解析】
【分析】
用代换中的，得，运算求得，再由函数的单调性和对数函数的单调性可得答案.
【详解】
解：由①，得②，
由，得，即．
因为在上单调递增，所以，所以，解得．
故选：D.
11．B
【解析】
【分析】
用代替原方程中的，构造方程，解方程组的方法求解.
【详解】
用代替原方程中的得：
f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，
∴
消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，
.
故选：B
12．A
【解析】
【分析】
以代，得到一个等式，运用解方程组法进行求解即可.
【详解】
解：由，得
，解得.
故选：A.
13．D
【解析】
令解得，代入得，解之可得选项.
【详解】
因为，所以令解得，所以，
解得，
故选：D.
14．B
【解析】
【分析】
先求，代入可得.
【详解】
因为，，所以，
，所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的表示方法，多层对应关系处理时一般是从内到外进行，侧重考查数学运算的核心素养.
15．B
【解析】
【分析】
根据函数的表达式即可得到的值.
【详解】
由，得，即.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的解析式，根据条件直接求出即可，属于基础题.
16．B
【解析】
【分析】
先求出的解析式，代入即可求解.
【详解】
由，令，则.
因为，所以a=9.
故选：B
17．B
【解析】
【分析】
利用换元法求函数解析式.
【详解】
令,则，所以
即 .
故选：B
【点睛】
本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.
18．C
【解析】
【分析】
设，求出，再由求出.
【详解】
设，因为
所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
19．B
【解析】
【分析】
对于①，举例判断，对于②，由增函数的定义判断即可，对于③，举例判断，对于④，利用配凑法求解即可
【详解】
对于①，当时，，而当时，，所以函数的单调递减区间不是，所以①错误，
对于②，由可得，所以与同号，所以函数在D上是增函数，所以②正确，
对于③，当和时，，所以不是R上的增函数，所以③错误，
对于④，因为，所以，所以④正确，
故选：B
20．D
【解析】
【分析】
令为，则，然后与联立可求出
【详解】
令为，则，
与联立可解得，．
故选：D．
21．A
【解析】
【分析】
利用换元法求得解析式，即可得出所求.
【详解】
令，则，，即，
则.
故选：A.
22．C
【解析】
【分析】
利用配凑法求函数的表达式.
【详解】
，
；
故选：．
23．B
【解析】
【分析】
利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可.
【详解】
令，则，且，
所以，
所以，
当时，.
故选：B
24．C
【解析】
先设函数解析式，再求导，根据导数几何意义列方程，解得结果.
【详解】
由题意得三次函数过两点，，所以可设

又，所以

故选：C
【点睛】
本题考查求函数解析式、导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
25．B
【解析】
【分析】
直接代入化简求解即可.
【详解】
解：因为，
所以．
故选：B
【点睛】
此题考查由已知函数的解析式求复合函数的解析式，属于基础题.
26．B
【解析】
【分析】
利用换元法，即可求得的解析式
【详解】
令，则，
所以，
所以.
故选：B
27．D
【解析】
【分析】
由函数为单调函数且，知为常数，然后利用待定系数法求出函数的解析式，再求（1）的值．
【详解】
解：函数为单调函数，且，
为常数，不妨设，
则，原式化为（a），
即，解得或（舍去），
故，（1），
故选：D．
28．D
【解析】
【分析】
令可得，求得后代入解析式中即可求得结果.
【详解】
设，则且
，

故选：D
29．A
【解析】
【分析】
令，求得得值，代入，即可得出答案.
【详解】
解：令，则，
所以.
故选：A.
30．C
【解析】
【分析】
令，利用换元法即可求得解析式，注意换元的等价性即可.
【详解】
f（1）＝x+，
设t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，
∴f（t）＝（t﹣1）2+﹣1＝t2﹣t，t≥1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）．
故选：.
【点睛】
本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.
31．A
【解析】
【分析】
换元法求出函数的解析式，代入计算即可求出结果.
【详解】
令，得，所以，
从而.
故选：A.
32．D
【解析】
【分析】
先根据条件求出的值，然后由导数的几何意义可得答案.
【详解】
函数的图象经过点,所以，解得，
即函数，又，
得曲线在点处切线的斜率.
故选：D
33．C
【解析】
【分析】
依题意可得，再换元即可得解；
【详解】
解：由，有.
故选：C
34．D
【解析】
【分析】
先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值
【详解】
因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为.
故选：D
35．C
【解析】
利用拼凑法求出解析式，即可得出所求.
【详解】
，
，
.
故选：C.
36．B
【解析】
【分析】
根据已知条件求得的值，由此列不等式，解不等式求得的取值范围，从而确定正确答案.
【详解】
由题意知，当时，，所以所以，解得，所以.故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.
故选：B
37．C
【解析】
【分析】
利用待定系数法可求出结果.
【详解】
因为g(x)是一次函数，
所以设g(x)=kx+b(k≠0)，
所以g[g(x)]=k(kx+b)+b，
又因为g[g(x)]=9x+8，所以
解得或
所以g(x)=3x+2或g(x)= -3x – 4.
故选：C
38．B
【解析】
利用待定系数法设一次函数，代入等式求解，求出函数解析式.
【详解】
设一次函数，
则，
，
，
解得或，
或，
或.
故选：B.
【点睛】
此题考查利用待定系数法求函数解析式，涉及多项式相等对应项系数相等建立方程组，准确计算即可求解.
39．C
【解析】
利用换元法求得，代入即可得解.
【详解】
令，则，所以即，
所以.
故选：C．
40．C
【解析】
【分析】
利用换元法求出函数的解析式，即可求解.
【详解】
令，则，，
，，所以.
故选：C.
41．BCD
【解析】
求出解析式，根据函数解析式逐一判断即可.
【详解】
由于，故（且），
所以的定义域为且，故A不正确；
作出其图象，由图象知：由于，故值域为，且；
在单调递减；的解集为.
故选：BCD
42．AC
【解析】
由，可得，解方程组求出，结合选项逐一判断即可．
【详解】
，
化简得
两式相加得，解得
故，A正确，B错误；
又，则，C正确，D错误；
故选：AC
43．AD
【解析】
求出函数的定义域，利用换元法得出函数解析式，由复合型二次函数的性质求出函数的最值，结合选项得出答案．
【详解】
由题意，因为，所以可得，即，可令，所以，，则，其定义域为，则，则，所以[，2]，所以函数的最大值M与最小值N的比值为，
故选：AD
44．AD
【解析】
【分析】
若，将代入上支函数，可得=，结合题意，可得的范围，同理若，将代入下支函数，又可解得范围，根据范围，再分别讨论，，将m代入不同方程，即可得答案.
【详解】
由，可得．
若，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴方程无解；
若，，
故只需解即可，
当时，由，解得；
当时，由，解得．
综上所述，当时，，满足．
故选：AD.
【点睛】
本题考查复合函数求解析式、函数与方程的综合应用及分段函数的应用，难点在于根据题意得到不同的的表达式，再进行求解，综合性较强，考查分析理解，求值计算的能力，分类讨论的思想，属中档题.
45．答案不唯一
【解析】
【分析】
由变形到可考虑对数函数，然后根据单调性以及“”可考虑构造对数型函数.
【详解】
由题意可知，可变化为的形式，由此可想到对数函数，
又因为在上是减函数且，
所以满足条件的一个函数可取，
故答案为：(答案不唯一).
46．
【解析】
【分析】
设与之间的函数关系式为，根据表中数列可得周期和函数的最值，从而可求出，再利用最大值可求，故可求解析式.
【详解】
设与之间的函数关系式为，
则由表中数据可得，且，
故且，所以
因为当时，，所以，
解得，故，其中.
故答案为：.
47．
【解析】
【分析】
在中令，求出x的值，代入，即可得出答案.
【详解】
解：在中，令，则，
则.
故答案为：.
48．
【解析】
【分析】
根据题意求解出函数的解析式，进而求解出函数值.
【详解】
根据题意，对，有
又是定义在R上的单调增函数
R上存在常数a使得

，，解得





故答案为：.
49．
【解析】
【分析】
令可得出的表达式，由此可求得函数的解析式.
【详解】
令，则有，再令，则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用赋值法与换元法求解函数的解析式，考查计算能力，属于基础题.
50．
【解析】
【分析】
将用代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果.
【详解】
由①，
将用代替得②，
由①②得.
故答案为：.
51．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件联立方程组求出，进而求出函数的解析式；
（2）根据已知条件求出，进而得出不等式，利用换元法及一元二次不等
式得出的范围，再根据指数与对数互化解指数不等式即可.
(1)
由，得
，解得.
所以的解析式为.
(2)
由（2）知，，所以，
由，得，即，
令，则，解得或
所以，即，解得.
所以不等式的解集为.
52．（1），；（2）值域为：，，；单调增区间为：和．
【解析】
【分析】
（1）根据函数的定义，求解出函数的解析式，再求其在[0，1]上的值域；
（2）依次求出的解析式，进而写出 的值域和单调区间.
【详解】
（1）令，可得，
，
即有:，根据指数函数的性质可得： 在，上为单调增函数，
由得:，，
所以在[0，1]上的值域为，
（2）设，由得：
，
，，解得，，
，
在和上都为单调增函数
从而求得的值域为：
所以值域为，，；单调增区间为和无单调减区间.
53．（1）；（2）；（3）见解析．
【解析】
【分析】
（1）由题意结合二次函数的图象与性质，利用待定系数法即可得解；
（2）由二次函数的图象与性质转化条件为，即可得解；
（3）讨论区间与函数图象对称轴的关系，结合单调性即可得解.
【详解】
解：（1）由已知函数是二次函数，且，
∴函数图象的对称轴为，
又最小值为-1，设，又，∴．
∴；
（2）由（1）知函数图象的对称轴为，要使在区间上不单调，
则，所以；
（3）由（1）知，图象的对称轴为，开口朝上，
若，则在上是增函数，；
若，即，则在上是减函数，；
若，即，则；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，．
54．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由给定条件列出关于，的方程组，解之即得；
(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.
【详解】
（1）由题意可得，解得，，
（2）由（1）可得，而，且，
于是有，设，，
从而得，解得，即，解得，
所以满足条件的.
55．（1）；（2）3．
【解析】
【分析】
（1）设，，代入求解，化简求解系数．
（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．
【详解】
（1）设，，则
，
∴由题，恒成立
∴，，得，，，
∴.       
（2）由（1）可得，
所以在单调递减，在单调递增，且，
∴.