微专题 求平面向量的模 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 求平面向量的模 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共24页。
微专题：求平面向量的模
【考点梳理】
求向量模的常用方法是利用公式|a|2＝a2，即|a|＝，将模的运算转化为向量的数量积.

【典例分析】
典例1．已知 为单位向量， 且 ， 则 （       ）
A．1 B． C．2 D．
典例2．已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（       ）
A．5 B．6 C． D．
典例3．已知两个单位向量，满足，则的值为（       ）
A． B． C． D．
典例4．已知，，，则（       ）
A．2 B． C． D．
典例5．已知，为两个互相垂直的单位向量，满足，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
典例6．已知，，且，则的值为（       ）
A． B． C． D．



【双基达标】
7．已知向量， ，若则（       ）
A． B．5 C． D．
8．已知，为单位向量，，记是与方向相同的单位向量，则在方向上的投影向量为（       ）
A． B． C． D．
9．设向量，则下列结论中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
10．已知向量，则下列说法不正确的是（       ）
A．若，则的值为 B．若，则的值为2
C．的最小值为1 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是
11．若单位向量满足，则等于（       ）
A． B． C． D．
12．已知向量，则（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．已知，则等于（       ）
A． B．97 C． D．61
14．已知向量，，满足，，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
15．已知，且，则（       ）
A．1 B．3 C． D．5
16．已知向量，，，则与的夹角为（       ）
A． B． C． D．
17．已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（       ）
A． B． C． D．3
18．已知不共线向量，，，，，则（       ）
A． B． C． D．
19．两个非零向量、互相垂直的充要条件是（       ）．
A． B．
C． D．
20．在平面直角坐标系中，设，向量，则的最小值为（       ）
A．1 B．2 C． D．

【高分突破】
一、 单选题
21．向量、满足,，与的夹角为，则（       ）
A．1 B． C． D．2
22．已知向量的夹角是，，则的值是（       ）
A． B． C． D．
23．已知单位向量，满足，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
24．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（       ）
A．3 B．4 C．9 D．16
25．已知向量，，若，则实数的值为（       ）
A． B． C． D．
26．若平面向量与的夹角为120°， ， ，则（       ）
A． B． C．2 D．3
27．已知非零向量，满足，则“”是“”的（       ）条件
A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
二、多选题
28．已知为坐标原点，点，，，，则（       ）
A． B．
C． D．
29．已知向量，，则（       ）
A． B．
C． D．与的夹角为
30．设向量，，则（       ）
A． B．
C． D．与的夹角为
31．设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（       ）
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则不唯一确定
三、填空题
32．已知、满足：，，，则_________.
33．设为单位向量，且，则______________.
34．已知，，是空间单位向量， ，若空间向量满足，（，），，则的最大值是________．
35．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是______．
36．如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，则线段OC长度的最大值是__________．

37．已知平面向量，满足，，则的最小值是___________.
四、解答题
38．在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，．
（1）求，及，；
（2）设，求．
39．如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.

(1)求证：；
(2)设，，，，求的值；
(3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.
40．已知，为不共线的向量，.
(1)求的最小值及相应的t值；
(2)求存在两个正数，且，使的充要条件.
41．已知平面内两个不共线的向量，.
（1）求；
（2）求与的夹角.
42．如图所示，矩形的顶点分别在轴，轴正半轴（含坐标原点）滑动，其中.

（1）若，求；
（2）求的最大值.

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用已知条件求出向量数量积为0，推出，然后求解向量的模即可.
【详解】
为单位向量， 且 ，
可得，
所以，则
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
直接利用向量模的公式计算得解.
【详解】
解：由题得
.
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
先由题给条件求得，再利用向量的数量积去求的值
【详解】
由题意得，即，，

则.
故选：A.
4．C
【解析】
【分析】
先由，得可求出，从而求出的坐标，进而可求得
【详解】
因为，，，
所以，得，
所以，
所以，
故选：C
5．A
【解析】
【分析】
由题意可设，，由可得，再由向量长度的坐标表示结合三角函数的性质求解即可
【详解】
因为，为两个互相垂直的单位向量，
故可设，，
则，
由得：，
即，
即在圆上，
所以（为参数）
所以，
所以，
当时， ，
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
利用向量模长的坐标运算可直接构造方程求得结果.
【详解】
，，解得：.
故选：C.
7．B
【解析】
【分析】
由向量的数量积可得，再利用向量的坐标运算即得.
【详解】
由向量，，
∴，所以，
∴，∴，即.
故选：B
8．C
【解析】
【分析】
利用向量投影的定义求解.
【详解】
由题设可得，即，则，
设与的夹角为，则.
又，故,
因为是与方向相同的单位向量，所以在方向上的投影向量为.
故选: C
9．C
【解析】
【分析】
A.根据模长公式进行计算；B.根据数量积公式进行计算；C.计算数量积并判断结果是否为；D.验证平行对应的坐标关系并判断.
【详解】
A.因为，所以，故错误；
B.，故错误；
C.因为，所以，故正确；
D.因为，所以不成立，故错误；
故选：C.
10．D
【解析】
【分析】
根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.
【详解】
A选项，若，则，A选项说法正确.
B选项，若，两边平方并化简得，即，B选项说法正确.
C选项，，当时，有最小值为，C选项说法正确.
D选项，若与的夹角为钝角，则，D选项说法不正确.
故选：D
11．C
【解析】
【分析】
先由已知条件求出，再由即可求出答案.
【详解】
解：因为为单位向量，
所以，所以,
所以，
故选：C.
12．D
【解析】
【分析】
先求得，然后求得.
【详解】
因为，所以.
故选：D
13．C
【解析】
【分析】
根据向量的平方等于向量模的平方利用平方法即可求出的值.
【详解】
因为，
所以.
故选：C.
14．B
【解析】
【分析】
首先求向量的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值.
【详解】
由条件可知，
则
，当时，.
故选：B
15．D
【解析】
【分析】
利用向量的垂直，求出，然后求解向量的模．
【详解】
解：，，且，可得，解得，
所以，则．
故选：．
16．D
【解析】
【分析】
根据，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，结合向量夹角范围可得结果.
【详解】
，，
，解得：，
又，，即与的夹角为.
故选：D.
17．A
【解析】
【分析】
根据向量数量积的定义及运算性质即得．
【详解】
∵，，且与的夹角为，
∴，
∴，
∴．
故选：A.
18．A
【解析】
先由已知等式求出，再利用向量模的求法即可求得.
【详解】
，，即，
.
故选：A
【点睛】
本题考查向量模的求法，属于基础题.
19．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合和垂直时，以及向量的数量积公式，一一判断即可.
【详解】
对于选项A，若和垂直，则，故A错误；
对于选项B，由，得，即，无法得到和垂直，故B错误；
对于选项C，由，得，即，因此和垂直，故C正确；
对于选项D，由，得，即和的夹角为，不满足题意，故D错误.
故选：C.
20．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算求得向量，再根据，将用表示，再根据平面向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：，
则，
由，得，则，
所以，
则，
当时，.
故选：D.
21．C
【解析】
【分析】
因为，与的夹角为，由，根据，可得，即可求得答案.
【详解】
，与的夹角为



可得：



故
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了求向量的模长，解题关键是掌握向量的数量积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
22．A
【解析】
【分析】
先求出，再求出，即得解.
【详解】
向量的夹角是，，∴.
∴，
.
∴.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
23．B
【解析】
【分析】
由已知得，进而两边平方得，故或（舍），故，进而得答案.
【详解】
由，得，两边平方，得，
即，整理得，
所以或
因为，所以，所以，
所以.
故选:B.
【点睛】
本题考查向量模的运算，考查方程思想与运算求解能力，是中档题.解题的关键在于根据已知将问题转化为关于的方程，进而得，最后结合向量模与二次函数性质求最值即可.
24．A
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围，再根据平方后的式子，即可求得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，即，则．
因为点P是圆O内部一点，所以，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是3,
故选：A.
25．B
【解析】
【分析】
计算出和的坐标，利用向量的模长公式可得出关于实数的等式，进而可求得结果.
【详解】
已知向量，，则，，
由可得，解得.
故选：B.
26．B
【解析】
直接化简，求出答案.
【详解】
化简，
或（舍去）.
故选：B.
27．A
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.
【详解】
，
，∴等价于，
故选：A.
28．AC
【解析】
【分析】
A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
29．ACD
【解析】
由，的坐标，根据向量模、夹角的坐标表示及向量垂直、平行的判定即可判断各选项的正误.
【详解】
∵，，
∴，，
∴，故A正确；
∵，
∴与不平行，故B错误；
又，C正确；
∵，又，
∴与的夹角为， D正确.
故选：ACD
30．CD
【解析】
【分析】
根据给定条件对各选项逐一推理计算并判断作答.
【详解】
因向量，，则，，A不正确；
，而，即与不共线，B不正确；
而，则，，C正确；
，又，于是得，即与的夹角为，D正确.
故选：CD
31．BD
【解析】
【分析】
根据向量的数量积表示出，进而转化为二次函数求最值问题，再根据选项可求得答案.
【详解】
解：因为
令，
则当时，取得最小值1，
即有，
可见当确定时，唯一确定下来；但确定时，的值在可能有两个．
故选：BD．
32．
【解析】
将两边平方展开可得的值，再计算的值，进而可得的值.
【详解】
，
因为，，
所以，
所以，
可得，
故答案为：.
33．
【解析】
【分析】
整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.
【详解】
因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
34．
【解析】
【分析】
由，及模长公式，求得，从而求得，将问题化为求得结果.
【详解】
由题知，

则
则
，当且仅当时，等号成立.
故答案为：
35．
【解析】
【分析】
设是中点，用向量表示，平方转化为数量积求中线长，然后由求出取值范围，即可得结论．
【详解】
设是中点，则，
，
又，所以，当且仅当时等号成立．
所以，．
故答案为：．

36．
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设，则，即可表示出点坐标，从而得到，再根据向量模的坐标计算、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：如图以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，则，，则，
过点、分别作轴、轴，交轴于点、，显然与全等，所以，，
从而得到，即，
所以

所以当，即时

故答案为：
37．3
【解析】
【分析】
由得，结合模长求解过程，得到，根据二次函数的性质，结合基本不等关系，求得最小值.
【详解】
，则，
，易知当时，最小为，
此时，，同向.
故答案为：3
【点睛】
关键点点睛：由题干条件，求得，最后把模长表达出来后，利用基本不等关系求解，最后要考虑等号成立条件，满足则可以取得最小值.
38．（1），；，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）因为，再根据复数的几何意义可知向量的坐标，再表示的坐标，再根据向量模的计算公式计算；
（2）分别求向量和的坐标，再根据夹角公式计算.
【详解】
解：（1）因为
所以所对应的复数
所以，
因为
所以所对应的复数
所以，
（2）由题
因为，
所以，
，
所以
【点睛】
本题考查复数，向量，以及坐标的关系，向量数量积的坐标表示，重点考查定义，公式，属于基础题型，本题的关键是理解向量坐标和复数的几何意义的关系.
39．(1)见详解
(2)3
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；
（2）根据题意，用和表示， 结合，，三点共线，即可求解；
（3）根据题意，结合（1）（2）用和分别表示出和，进而可以表示出，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解.
(1)
证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.
(2)
因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.
(3)
设，，，，由（1）（2）可知，，即.
因，，
所以
，
又因是边长为的等边三角形，
所以，
令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.
因此，
又因，所以，所以.
40．(1)当时，最小值为；(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据向量的模与数量积的关系求，结合二次函数的性质求其最小值，(2)由(1) 与的夹角为锐角，又等价于有两正解，由此可得使成立的充要条件.
【详解】
（1）
，其中为向量，的夹角.
故当时，有最小值.
（2）由（1）及知，，即与的夹角为锐角.
在此前提下，存在、，且，使的充要条件是有两正解.
，
即亦即，.
故所求充要条件为与的夹角为锐角，且
.
41．（1）2；（2）.
【解析】
（1）根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值；
（2）可求出的值，进而可求出的值，从而可求出与的夹角．
【详解】
解：（1），
，
；
（2），
，且，
与的夹角为．
【点睛】
对向量数量积定义进行变行是求解向量长度，向量夹角的常用方法，同时要注意夹角的范围．
42．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由条件得：，从而求得；
（2）设，则，；
算出，求出最大值.
【详解】
解：（1）若，
则可得：，
，
（2）如图，

过点作，垂足为，
过点作，垂足为，
设，则；
∴点，；
则


，
，
，
当，即时，取最大值．
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算，向量的模的运算，三角函数的应用.解决此题第（2）问，关键在于选择合适的变量，用三角函数表示出，属于中档题.