微专题 求双曲线的方程 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 求双曲线的方程 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共32页。

微专题：求双曲线的方程
【考点梳理】
双曲线的标准方程和简单几何性质

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形


焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c

a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2
简单几何性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
(－a，0)，(a，0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，且e∈(1，＋∞)



【题型归纳】
题型一： 判断方程是否表示双曲线
1．设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（       ）
A． B．
C． D．
2．“”是“为双曲线”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．“，”是“方程表示双曲线”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

题型二： 根据方程表示双曲线求参数的范围
4．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
5．已知方程，则E表示的曲线形状是（       ）
A．若，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为，则
6．已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（       ）．
A． B． C． D．或5

题型三： 求双曲线的标准方程
7．、是双曲线的两个焦点，抛物线的准线过双曲线的焦点，准线与渐近线交于点，，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
9．已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．


【双基达标】
10．已知双曲线C：（，）的实轴长为8，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．

11．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（       ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点. 若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为 (　　)
A. －y2＝1 B. x2－＝1
C. －＝1 D. －＝1
13．已知双曲线的一个焦点关于其中一条渐近线的对称点为，若点P恰在C上，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
14．已知函数，下列条件，能使得（m，n）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（       ）
A．成等差数列 B．成等比数列
C．成等差数列 D．成等比数列
15．已知方程的图像是双曲线，那么的取值范围是（     ）
A． B． C．或 D．
16．景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为20厘米，则瓶口直径为（       ）

A．20 B．30 C．40 D．50
17．已知，则“”是“方程表示双曲线”的（   ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
18．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左､右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，则（       ）

A． B． C． D．
19．若，则是方程表示双曲线的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（       ）

A． B． C． D．
21．如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（       ）

（参考数据：，，）
A． B． C． D．
22．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（       ）
A． B．
C． D．
23．已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（       ）
A． B．2 C． D．
24．过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点，若以的右焦点为圆心，以为半径的圆经过､两点(为坐标原点)，则双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
25．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（       ）
A．（﹣1，1） B．（0，+∞）
C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
27．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的方程为（       ）
A． B． C． D．
28．已知双曲线（m≠0）的一个焦点为F（3，0），则其渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
29．焦距为10，且的双曲线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．或
30．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（       ）
A． B． C． D．
31．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为
A． B． C． D．
32．若直线：经过双曲线：的一个焦点，且与双曲线有且仅有一个公共点，则双曲线的方程为（       ）
A． B． C． D．
33．已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
34．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
35．已知，方程不可能表示（        ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．两条直线
36．已知双曲线的虚轴长为，离心率为，则其方程是（       ）
A． B． C． D．
37．已知双曲线以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则E的实轴长为（　　）
A． B．
C． D．

二、多选题
38．以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（       ）
A．设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线
B．过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆
C．若曲线为双曲线，则或
D．过点作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线有2条
39．若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（       ）
A．的渐近线上的点到距离的最小值为4 B．的离心率为
C．上的点到距离的最小值为2 D．过的最短的弦长为
40．（多选）已知方程表示曲线，则（       ）
A．当时，曲线一定是椭圆
B．当或时，曲线一定是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
41．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，若点满足 (为坐标原点)，下列说法正确的有（       ）
A．双曲线的虚轴长为
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．三角形的面积为
42．已知双曲线C：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（       ）
A．双曲线C的方程为
B．点A到双曲线C的渐近线的距离为
C．若，则
D．若，则的外接圆半径为
43．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是
A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则

三、填空题
44．已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为_____．
45．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．
46．若双曲线C的方程为，则k的取值范围是___________.
47．若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是___________.
48．已知焦点､，双曲线上的一点P到､的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为___________.
49．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是___________.

四、解答题
50．若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.
51．已知双曲线的离心率为为2，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设点分别为双曲线的右顶点､左焦点，点为上位于第二象限的动点，是否存在常数，使得？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由.
52．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.
53．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过、两点．
54．年月日，四川汶川发生里氏级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路、送到矩形灾民区中去，若，，，，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路送药较近，而另一侧的点沿道路送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.

55．已知双曲线，满足______（从下列条件中选择其中两个补充在横线上并作答）．
①离心率为2；②渐近线为；③过点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若直线l过点，且与双曲线右支交于A、B两点，求直线l的倾斜角的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在以AB为直径的圆经过坐标原点O？若存在，请求出此时的直线l，若不存在，请说明理由．

参考答案
1．B
【分析】求出方程表示双曲线的必要不充分条件的范围可得答案.
【详解】由，方程表示双曲线，
则，所以，
根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.
故选：B.
2．C
【分析】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.
【详解】因为方程表示双曲线，所以，
又当时，方程表示双曲线，
因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.
故选：C
3．A
【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】由，可知方程表示焦点在轴上的双曲线；
反之，若表示双曲线，则，即，或，．
所以“，”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：A．
4．A
【分析】根据双曲线的定义可知与同号，从而可求出m的取值范围
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，解得，
故选：A
5．B
【分析】根据曲线表示椭圆，求得m的范围，判断A; 根据曲线表示双曲线，求得m的范围，判断B；由B的分析求双曲线的焦距，可判断C;根据E的离心率为，分类讨论求得m的值，判断D.
【详解】由题意得，当时，，
即，要表示椭圆，需满足 ，解得且，
故A错误；
若E表示双曲线，则不能为0，
故化为，
则，即或，故B正确；
由B的分析知，时， ，此时c不确定，
故焦距不是定值，C错误；
若E的离心率为，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，且，
当时，，此时 ，
则，解得 ，
当时，，此时 ，
则，解得 ，故D错误，
故选：B
6．C
【分析】根据题意可得，解之即可得解.
【详解】解：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
则，解得．
故选：C.
7．C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，
则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，
可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，又由,,
解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
8．A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
9．C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
10．D
【分析】根据实轴长求得，再结合渐近线方程求得，即可求解
【详解】因为实轴长为8，所以，可得渐近线方程为，所以，
所以双曲线的标准方程为，
故选：D．

11．B
【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
12．A
【解析】由图可知a＝，且一条渐近线的倾斜角为30°，所以＝，解得b＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1. 故选A.
13．A
【分析】可根据已知条件，利用P，关于渐近线对称，先求解出的值，然后利用双曲线的定义分别根据、与、之间的关系，借助，从而求解出双曲线方程.
【详解】

如图，设双曲线C的两个焦点分别为，由已知P，关于渐近线对称，
所以，故.因为，所以.
又到渐近线距离为，所以.故，由双曲线定义知：，所以.
又，所以.所以双曲线的方程为.
故选：A.
14．C
【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，根据函数解析式化简，再根据双曲线的方程特点判断.
【详解】对A，若成等差数列，则，即，整理可得，则当时，的轨迹为圆，时，的轨迹不存在，故A错误；
对B，若成等比数列，则，即，整理可得，方程不能表示双曲线，故B错误；
对C，若成等差数列，则，即，整理可得，当且时，方程化为，此时表示实轴和虚轴相等的双曲线，故C正确；
对D，若成等比数列，则，即，整理可得，
当，且时，由得，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D错误.
故选：C.
15．C
【分析】根据双曲线标准方程的形式确定，求得的取值范围
【详解】因为方程的图像是双曲线，
所以，解得：或，
故选：C
16．A
【分析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.
【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为
由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，
因为离心率为，即，可得，
所以，
所以双曲线的方程为：，
因为颈部高为20厘米，根据对称性可知颈部最右点纵坐标为，
将代入双曲线可得，解得：，
所以瓶口直径为，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，利用待定系数法求出双曲线的方程，再由的值求得的值，瓶口直径为.
17．B
【解析】求出表示双曲线对应的的范围，根据集合包含关系即可求出.
【详解】∵若表示双曲线，
则，即或，
Ü或，
∴“”是“表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：B.
18．D
【分析】依题意以双曲线的对称中心为坐标原点建系，设双曲线的方程为，根据已知求得，点纵坐标代入计算即可求得横坐标得出结果.
【详解】以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，
因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为，
依题意可得，则，即双曲线的方程为.
因为，所以的纵坐标为18.由，得，故.
故选：D.

19．B
【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线和异号，进而求得的范围即可判断是什么条件．
【详解】解：因为方程表示双曲线，所以，解得，
因为Ü，
所以是方程表示双曲线的必要不充分条件，
故选：B
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义是解决本题的关键，属于基础题．
20．D
【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式及离心率公式求出a，b即可作答.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，设双曲线下焦点为，
则有，依题意，，离心率，解得，
所以该双曲线的标准方程为.
故选：D
21．A
【分析】根据题意，设双曲线的标准方程为，进而结合题意得，设，则，再待定系数，结合已知数据计算即可.
【详解】解：根据题意，设双曲线的标准方程为，
因为，，，，
所以，设，
则点在双曲线上，
所以，，
因为，，
所以，，
所以，解得，
所以.
故双曲线的方程近似为.
故选：A
22．C
【分析】求出直线的方程，并设出双曲线的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作答.
【详解】直线的方程为：，即，
设双曲线的方程为：，由消去y并整理得：，
，因弦的中点为，
于是得，即，而，解得，满足，
所以双曲线的方程为，即.
故选：C
23．D
【分析】根据题意求出为M的坐标代入双曲线求出，利用点到直线距离公式可求双曲线的焦点到渐近线的距离.
【详解】根据题意，设，因为，且，
所以，代入到抛物线中，得，
所以，将代入到双曲线中，得，即，
设双曲线的焦点，渐近线为，即，
所以双曲线的焦点到渐近线的距离为，
故选：D.
24．B
【解析】，故，不妨设渐近线方程为，则，根据，计算得到答案.
【详解】连接，，故，不妨设渐近线方程为，则.
故，解得，故双曲线方程为
故选：B

25．C
【分析】先求出实半轴的长、虚半轴的长，再得到双曲线的标准方程.
【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，，
所以设双曲线的方程为，半焦距为；
又因为是双曲线上一点且，
所以，即，则；
所以双曲线的标准方程为.
故选：C.
26．A
【分析】根据双曲线的标准方程特点可得，即可得到答案.
【详解】∵方程表示双曲线
∴
∴
故选：A．
27．C
【分析】根据题意，由求解.
【详解】解：由题意得：，
解得 ，
所以曲线的方程为，
故选：C
28．A
【分析】根据双曲线的焦点求出的值，进而可以求出结果.
【详解】由双曲线方程可知，
且，，则，得，
所以双曲线的方程为，
则渐近线方程为.
故选：A.
29．D
【分析】根据双曲线的性质即可求解.
【详解】由题意知2c＝10，c＝5，又，c2＝b2＋a2，
∴a2＝9，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为或．
故选：D．
30．D
【分析】设双曲线的方程为，再代点解方程即得解.
【详解】解：由得，
所以椭圆的焦点为.
设双曲线的方程为，
因为双曲线过点，
所以.
所以双曲线的方程为.
故选：D
31．B
【解析】根据椭圆的标准方程求出，利用双曲线的离心率建立方程求出，，即可求出双曲线的渐近线方程．
【详解】解：椭圆的标准方程为，
椭圆中的，，则，

双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，
双曲线中，
双曲线的离心率为，
，则．
在双曲线中，
则双曲线的方程为，
故选：．
【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据椭圆和双曲线的关系建立方程求出，，是解决本题的关键，属于基础题．
32．D
【分析】根据直线过双曲线的一个焦点，令求出c，再根据直线与一条渐近线平行，得到求解可得答案.
【详解】令得，所以直线与轴的交点为，
所以双曲线的右焦点为，则，
即①，
直线与双曲线有且仅有一个公共点，直线又过双曲线的焦点，
所以直线与双曲线的一条渐近线平行，
即②，
由①②得
解得，
所以双曲线的方程为
故选：D.
33．C
【分析】由双曲线与椭圆共焦点可得双曲线的，双曲线离心率，得，，即可求出双曲线的方程.
【详解】双曲线与椭圆有公共焦点
由椭圆可得

双曲线离心率，

双曲线的方程为：
故选：C
【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线焦点以及双曲线离心率的表示方法，属于基础题.
34．D
【分析】根据题意得出的符号，进而得到的象限.
【详解】由题意，，所以在第四象限.
故选：D.
35．C
【解析】对是否为0和正负情况进行分类讨论，判断方程表示的曲线，即得结果.
【详解】若时，方程为，不成立，无轨迹；
若有且只有一个为0，则不妨设时，方程为，时表示两条直线，时方程无解，无轨迹；
若均不为0，当时，方程表示圆，当时，方程表示椭圆，
当时，方程表示双曲线.
综上可知，ABD正确，C错误.
故选：C.
36．C
【分析】根据题意，得到，结合，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，双曲线的虚轴长为，离心率为，
可得，即，
因为，解得：.
所以曲线的方程为.
故选：C.
37．A
【分析】由正方形边长可得c，将D点坐标代入双曲线方程，结合求解可得.
【详解】由图知，，
易知，代入双曲线方程得，又，
联立求解得或（舍去）
所以
所以双曲线E的实轴长为.
故选：A

38．ABD
【分析】根据双曲线的定义，可判定A不正确；根据圆的定义，可判定B不正确；根据双曲线的标准方程的形式，可判定C正确；根据直线与抛物线的位置关系的判定，可判定D不正确．
【详解】对于A中，根据双曲线的定义，只有，动点的轨迹才为双曲线，故A不正确；
对于B中，因为，所以点为弦的中点，故，则动点的轨迹为以线段为直径的圆，故B不正确；
对于C中，若曲线为双曲线，则，解得或，显然C正确；
对于D中，过点作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线有3条，分别为直线，故D不正确．
故选：ABD．
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记双曲线的定义和标准方程的形式，以及掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法是解答的关键，属于基础题.
39．AC
【解析】根据题意，求出，结合的关系式求出，利用双曲线的几何性质进行逐项分析，判断即可.
【详解】由题意知，，即，因为，所以，解得，所以右焦点为为，双曲线的渐近线方程为，
对于选项A：由点向双曲线的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为的渐近线上的点到距离的最小值，由点到直线的距离公式可得，，
故选项A正确；
对于选项B：因为，所以双曲线的离心率为，故选项B错误；
对于选项C：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故选项C正确；
对于选项D：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故选项D错误.
故选：AC
【点睛】本题考查双曲线的几何性质；考查运算求解能力；熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键；属于中档题.
40．BD
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的标准方程，一一判断即可.
【详解】对于A，当时，曲线是圆，故A错误；
对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；
对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．
故选BD．
41．BD
【解析】根据题中条件，得到双曲线的半焦距为，由双曲线方程可得，其渐近线方程为，设，则，根据，以及点在圆上，求出的坐标，得出，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为双曲线的焦点在圆上，
所以双曲线的半焦距为，
由可得其渐近线方程为，
因为圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，不妨设，则，
又，，所以，即，
整理得，又点在圆上，所以，
由解得，即，
又点在渐近线上，所以，
由解得，因此双曲线的方程为；
所以其虚轴长为，故A错；
离心率为，故B正确；
其渐近线方程为，故C错；
三角形的面积为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及，求出交点坐标，得出之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.
42．ABD
【分析】由离心率为，右顶点为求出双曲线方程，再利用点到直线的距离，双曲线的定义及性质依次判断4个选项即可.
【详解】由离心率为，右顶点为可得，，故双曲线C的方程为，A正确；
双曲线的渐近线为，故点A到双曲线C的渐近线的距离为，B正确；
由双曲线的定义，，则或10，C错误；
，则，的外接圆半径为，D正确.
故选：ABD.
43．AD
【分析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.
【详解】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，方程即为，它表示圆，
综上，选AD.
【点睛】一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程.
44．
【解析】根据渐近线方程得斜率可得，根据双曲线的定义以及勾股定理可得，可得，，从而可得双曲线的方程．
【详解】设，则由渐近线方程为，，
又，
所以
两式相减，得，而，所以，
所以，所以，，故双曲线的方程为．
故答案为：
【点睛】本题考查了双曲线的定义及性质，考查转化能力与运算能力，属中档题．
45．
【分析】由已知双曲线可得焦点坐标，设所求双曲线方程为，，根据、求得和的值即可求解.
【详解】由双曲线可得焦点坐标为，
设所求双曲线的方程为，，
由题意可得：，解得，
所以双曲线的标准方程为：，
故答案为：.
46．
【分析】由双曲线方程的特征列出不等式，求出k的取值范围.
【详解】由题意得：，则有或，解得：.
故答案为：
47．
【分析】分双曲线焦点在轴或上，分别设出双曲线方程，联立方程组求解即可.
【详解】由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上,则可设，则
且，联立解得,则双曲线的标准方程为；
②若双曲线的焦点在y轴上，则可设，则，且，此时无解，综上，双曲线的方程为.
故答案为：
48．
【分析】根据双曲线的定义，结合焦点坐标，即可求得，从而解得其标准方程.
【详解】因为双曲线的焦点为､，故可设其方程为，且，
根据双曲线的定义，由题可得：，即，故，
则所求所曲线方程为：.
故答案为：.
49．
【分析】利用双曲线方程的特点，可得，解不等式，即可求出实数的取值范围.
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，即或，
解得或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
50．（1）；（2）.
【分析】（1）求得直线与轴的交点，可得，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得渐近线方程，解方程可得，进而得到双曲线的方程；
（2）设直线，代入，设，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式及两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的垂直平分线方程，令，可得直线在轴上的截距，由不等式的性质可得范围.
【详解】（1）直线过x轴上一点，
由题意可得，即，
双曲线的渐近线方程为，
由两直线平行的条件可得，解得，
即有双曲线的方程为.
（2）设直线，
代入，可得，
设，则，
中点为，
可得的垂直平分线方程为，
令，可得，
由，解得，
又，解得，
综上可得，，即有的范围是，
可得直线与轴上的截距的取值范围为.
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
51．(1)
(2)存在，

【分析】（1）结合离心率和双曲线关系式，再将点代入双曲线方程可直接求解；
（2）设，先讨论直线的斜率不存在时，和大小，求得，再由一般情况结合斜率表示出，猜想，化简即可求证.
（1）
离心率，∴，，所以双曲线的方程，
把点代入双曲线方程得，解得，
故双曲线的方程为；
（2）
设，，其中，
由（1）知，
①当直线的斜率不存在时，，，
∴，此时；
②当直线的斜率存在时，
由于双曲线渐近线方程为，所以，
由得，
又，，
∴，
∴，
又，所以，
综上，存在常数，满足.
52．(1)
(2)或

【分析】（1）求出点的坐标，结合可求得的值，进一步可求得双曲线的标准方程；
（2）设、，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出线段的中点的坐标，分析可知，可得出，再结合以及可求得实数的取值范围.
（1）解：，，双曲线的渐近线方程为，以为直径的圆过点，所以，，不妨取点在上，设点，，，因为，则，可得，则点,，则，，则，所以，双曲线的标准方程为.
（2）解：由题意可知，设、，线段中点，联立得，依题意，即①，由韦达定理可得，，则，，，，，所以，②，又③，由①②③得：或.
53．（1）；（2）.
【分析】（1）可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求得的值，即可得出双曲线的标准方程；
（2）设双曲线的方程为，将点、的坐标代入双曲线方程，求出、的值，即可求得双曲线的标准方程.
【详解】（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，
因此，双曲线的标准方程为；
（2）设双曲线的方程为，
将点、的坐标代入双曲线方程可得，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
54．以、为焦点的双曲线的右支的一部分，(，).
【解析】可由双曲线的定义判断界线是双曲线的一部分，建立坐标系即可求出方程.
【详解】矩形灾民区中的点可分为三类，第一类沿道路送药较近，
第二类沿道路送药较近，第三类沿道路和送药一样远近，
依题意，界线是第三类点的轨迹，
设为界线上的任一点，则，，
∴界线是以、为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，

设所求双曲线方程的标准形式为(，)，
∵，，∴，
，故双曲线的标准方程为，
注意到点的坐标为，故的最大值为，此时，
故界线的曲线方程为(，).
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线方程的求解，解题的关键是得出，能根据双曲线定义判断界线是双曲线的一部分.
55．(1)选①③或②③，；
(2)；
(3)不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据所选条件求出双曲线参数a、b，即可得双曲线C的标准方程；
（2）令直线l为，联立双曲线，根据交点的个数及分布有且，即可求k的范围.
（3）由题设，假设条件成立则，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示列方程判断是否存在这样k使以AB为直径的圆经过坐标原点O.
(1)
选①③：且，可得 ，则双曲线为；
选②③：且，可得 ，则双曲线为；
选①②：无法确定双曲线C的方程.
(2)
由题设，令直线l为，联立双曲线可得：，
要使直线与双曲线右支交于两点，则且，
所以，可得.
(3)
由（2）知：，且，
要使为直径的圆过原点，则 ，
显然不成立，故不存在以AB为直径的圆经过坐标原点O.