微专题 数列求和—分组求和 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 数列求和—分组求和 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共30页。

微专题：数学求和—分组求和
【考点梳理】
分组求和法就是对一类既不是(或不明显是)等差数列，也不是(或不明显是)等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，最后将其合并的方法.


【典例剖析】
典例1．已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．


典例2．在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.


典例3．在数列中，，
(1)设，求证：；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.


典例4．已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．



【双基达标】
5．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，，成等比数列，数列满足，.
(1)求数列和通项公式；
(2)求的值；
(3)证明
6．已知数列，，，是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列和的通项公式.
（2）记，求数列的前项和.
（3）.
7．设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
8．在正项数列中，，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
9．已知为等差数列，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数都不在下表的同一列．

第一列
第二列
第三列
第一行



第二行
4
6
9
第三行
12
8
7

请从①，②，③的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列存在；并在此存在的数列中，试解答下列两个问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前n项和；
（3）设数列的前n项和为，若不等式对任意的正整数n都成立，求实数的最小值．
10．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足，{bn}是公差不为0的等差数列，b1＝1，b4是b2与b8的等比中项．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)对任意的正整数n，设，求数列{cn}的前2n项和T2n．
11．已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
（3）设，，求数列的前项和.
12．为了保障幼儿园儿童的人身安全，甲、乙两省计划若干时间内两省共新购1000辆校车．其中，甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每个月的新购量比上一个月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，以后每个月比上一个月多新购辆．
（1）求经过个月，两省新购校车的总数；
（2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求的最小值．
13．已知数列的前项和满足.
（1）求；
（2）已知__________，求数列的前项和.
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答.
条件：①
②
③
注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分.
14．已知正项数列，其前项和为．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和．
15．已知数列的通项公式为，数列的首项为.
(1)若是公差为3的等差数列，求证：也是等差数列；
(2)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和.

【高分突破】
16．已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记的前项和为，求.
17．已知数列的前项和为，数列满足，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：.
18．已知数列是递增的等比数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
19．设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N*.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn.
20．已知数列中，，.若数列的前项的和为，令.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
21．已知数列{}的前n项和满足：．
(1)求数列{}的前3项；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前n项和．
22．已知各项都为正数的数列满足， .
(1)若，求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
23．已知数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和.
24．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．
问题：已知数列是首项为1的等比数列，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）记______，求数列的前项和．
25．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为．
26．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足
(1)求数列和的通项公式；
(2)令求数列的前n项和；
27．已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_____.（从①②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
28．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．

参考答案
1．(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据与关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解；
(2)利用分组求和法与等比数列的求和公式直接求解.
【详解】
解：(1)当n＝1时，，
∵，∴．可得，当时，，，
两式相减，得，即，
故数列是首项为1，公比为的等比数列，则；
(2)由(1)知，，
故．
2．(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，可得，根据等比数列的定义和累加法求解即可.
（2）利用分组求和和裂项相消求.
（1）由，可得又，，所以.所以首项为，公比为的等比数列.所以.所以.又满足上式，所以
（2）由（1）得，所以
3．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）依题意将转化为，将代入即可得到，结论成立；
（2）根据第（1）问，运用累加法得到，进而求出；
（3）根据第（1）、（2）问知，，，则，运用分组转化求和以及错位相减求和，得出数列的前项和.
（1）由条件可知：，，，，；
（2）由第（1）问可知，，当时，，当时，，当时，，当时，，以上各式相加，得，，，，即；
（3）由第（1）、（2）问知，，，则，设数列的通项公式，前项和为，则，，两式相减，得，，数列的前项和.
4．（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
5．(1)，；
(2)－5000；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)设等差数列的公差为，根据题意列出关于和d的方程组即可求出；构造数列为等比数列，即可求出；
(2)分奇数项和偶数项求和即可；
(3)先求出，再求和即可.
(1)
设等差数列的公差为，
由题意得，
解得，
故数列的通项公式.
∵，∴，
即，又，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
∴.
(2)
当，时，，
当，时，，
∴

.
(3)
，
∴，
当时，，
∴.
6．（1），；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
(1)由递推公式探讨出数列任意相邻两项的关系得，由等差数列的已知求出其首项和公差得；
(2)由(1)求出数列的通项公式，再分组求和得解；
(3)对和式从首项起依次每两项一组并项求和，再利用错位相减法求解即得.
【详解】
（1）因，时，，
则有，即，而时，，即，
∴是首项，公比为3的等比数列，从而；
设等差数列的公差d，而，依题意，
，，，所以；
（2）由(1)知，
当n为偶数时，

当n为奇数时，

∴
（3）

所以是数列的前n项和，
设的前项和为，
，
，


即，
∴.
【点睛】
思路点睛：给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
7．（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意得，解得，
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以，数列的通项公式为.
(ii)


.
【点睛】
本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
8．（1），，（2）
【解析】
（1）在已知等式两边同时除以，即可证得是等比数列（必须求出），然后可求得，解方程可得；
（2）由（1）求出，其前项和用分组求和法，一部分由等差数列前项和公式可得，另外一部分用错位相减法求和．
【详解】
（1）∵，
∴，
∴.
又，∴是首项为2，公比为2的等比数列，
从而.
∵，∴，又，解得.
（2），
设数列的前项和为，
则，
，
则，
即，
即，
故.
【点睛】
本题考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，考查分组求和、错位相减法求和．数列求和除等差数列和等比数列的求和公式外还有一些特殊数列的特殊方法：
1．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
4．分组转化法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．
5．并项求和法
一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
9．（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的要求得出，然后可得通项公式；
（2）用分类讨论、并项求和法求和；
（3）用错位相减法求得和，不等式变形后引入新数列，确定出新数列的最大项即得结论．
【详解】
（1）由题意分别为：、、，，时，均不合题意，
只有时，满足题意，
从而，．
（2）由（1），
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以；
（3）
，，
相减得，
所以．
不等式为，即，
记，显然对，，
，
又，时函数是增函数，
时，，时，，
所以，从第3项开始递减，是的最大项．
所以．即．
10．(1)，bn＝n
(2)T2n
【解析】
【分析】
（1）根据求得；求得的公差，由此求得.
（2）利用分组求和法求得.
(1)
在中，令n＝1得3a1﹣2a1＝2，∴a1＝2，
当时，3an﹣1﹣2Sn﹣1＝2，
∴3an﹣3an﹣1＝2Sn﹣2Sn﹣1＝2an，即an＝3an﹣1，
∴，
∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴，
设{bn}的公差为d，由题意可得，即（1+3d）2＝（1+d）（1+7d），
整理得d2﹣d＝0，
解得d＝1或0（舍去），
∴．
(2)
由题意可得，
∴T2n＝（3+5+…+2n+1）+2（31+33+35+…+32n﹣1）

＝n（n+2）
．
11．（1）；；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）假设公差和公比，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得，由等差和等比通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得，利用错位相减法可求得结果；
（3）由（1）可得，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列公比为，
，解得：，
；；
（2）由（1）得：，
，
，
两式作差得：，
.
（3）由（1）得：，
则.
【点睛】
方法点睛：当数列通项公式满足等差等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前项和，具体步骤如下：
①列出的形式；
②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比，得到；
③上下两式作差得到，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分；
④整理所得式子求得.
12．（1） ；（2） 278．
【解析】
【分析】
（1）设，分别为甲省、乙省在第个月新购校车的数量．由题意，得是首项为10，公比为等比数列，是首项为40，公差为的等差数列，再等差数列、等比数列的求和公式进行分组求和可得答案；
（2）由（1）得，建立不等式，解之可得答案.
【详解】
解：（1）设，分别为甲省、乙省在第个月新购校车的数量．
依题意，知是首项为10，公比为等比数列，是首项为40，公差为的等差数列，
所以的前项和，
的前项和，
所以经过个月，两省新购校车的总数为


．
所以；
（2）若计划在3个月内完成新购目标，则．
所以，
解得．又，故所求的最小值为278．
13．（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据求解即可；
(2)选①利用错位相减法求和即可；选②利用裂项相消法求和即可；选③对分奇偶讨论，然后利用并项求和法求和即可.
【详解】
（1）∵在数列中，.
当时，，
当时，，
又也满足，
∴
（2）选择条件①，
∴①
②
①-②得




故.
选择条件②由（1）知：，
∴

∴


选择条件③
，
∴当为偶数时，



当为奇数时，



综上所述：.
14．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）Sn前后两项作差消去，求得an的前后两项关系，从而求得an的通项公式；
（2）由（1）求得bn，对n分奇数，偶数两种情况讨论，分组求和求得数列前n项和.
【详解】
解：（1）由已知，①
所以有，②
②-①，得，即，∴，
所以数列是公比为的等比数列．
又，∴．所以
（2）由（1）得，
当n为奇数时，


当n为偶数时，


综上所述，
【点睛】
方法点睛：（1）通过an+1=Sn+1-Sn得到an前后两项的关系，从而求得通项公式；
（2）对于含有(-1)n的问题可以讨论n的奇偶性，即可去掉该项，然后按照分组求和的方法求得数列前n项和.
15．(1)证明见解析.
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据数列的定义和通项公式可求得答案；
（2）由等比数列的通项公式求得，再由可解得，根据分组求和法，以及等比数列的求和公式可求得答案.
(1)
解：因为数列的首项为，是公差为3的等差数列，所以，
所以，
所以，所以数列是以6为公差的等差数列；
(2)
解：因为是公比为2的等比数列，又数列的首项为，，所以，
所以，
又因为，所以，所以，解得，
所以


，
所以数列的前项和为.
16．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式得到，即可求出、，从而得到通项公式；
（2）由（1）可得，即可得到，利用并项求和法计算可得；
(1)
解：设等差数列的公差为，所以，
所以，
所以，解得，
则.
(2)
解：因为且，所以，
所以，
所以.
17．（1），；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据的前项和即可求出通项公式，进而可判断是以3为首项，4为公比的等比数列，即可求出的通项公式；
（2）可得，求和然后放缩利用等比数列求和公式即可证明.
【详解】
（1）数列的前项和为，
∴.
当时，符合，故，
∴，
∴，∴，∵
∴是以3为首项，4为公比的等比数列，
∴，∴.
（2）证明：∵，∴，
，


.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出方程求出公比可得；
（2）根据错位相减法及分组求和即可得解.
(1)
设数列的公比为，，则.
由得，由得，
所以，解得或（舍去），
所以.
所以数列的通项公式为.
(2)
由条件知，设，
则，
将以上两式相减得，
所以.
设，
则.
19．(1)证明见解析
(2)Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－
【解析】
【分析】
（1）根据an＝Sn－Sn－1得到，即，得到证明.
（2）计算Sn＝n·2n－n，根据错位相加法结合分组求和法计算得到答案.
(1)
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以(n－1)(Sn－Sn－1)＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，
即(n－1)Sn＝2nSn－1＋n(n－1)，则，所以，
又＋1＝2，故数列是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)
知，所以Sn＝n·2n－n，
故Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n).
设M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，
则2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，
所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
所以M＝(n－1)×2n＋1＋2，
所以Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－.
20．(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）先分析数列的规律，利用分组求和法求得，由此求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
(1)
由得，.
将此式除以得，
又因为
所以是以为首项，公比为的等比数列；
是以为首项，公比为的等比数列.
因此.
.
(2)
由（1）知，
①，
②，
①②得：

，
所以，.
21．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】
【分析】
（1）根据，令n＝1，2，3即可求出前三项；
（2）利用与的关系得到{}的递推公式，从而可以证明，其中k为常数；
（3）根据(2)求出，从而求出，根据通项公式的特征，分n为奇数和偶数两种情况进行求和，求和时采用分组求和法与错位相减法.
(1)
当时，有：；
当时，有：；
当时，有：；
综上可知；
(2)
由已知得：时，，
化简得：
上式可化为：
故数列{}是以为首项，公比为2的等比数列.
(3)
由（2）知，∴，
∴
当n为偶数时，
=
令，
①
②
则①②得


，
∴，=，
所以.
当n为奇数时，，
，
所以.
综上，.
22．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义,利用以及,即可得到,即可证明.（2）根据分组求和和等比数列求和公式即可求解.
（1）因为 所以， 因为所以      所以 所以    所以是首项和公比均为的等比数列.
（2）由（1）易得：   因为所以 所以
23．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用求解；
（2）由（1）得然后代入求解
【详解】
解：（1）当时，；
当时，，经验证满足上式；
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知，其中，
故的前10项和为


.
24．（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）设数列的公比为，由已知条件可得，解方程求出，从而可求出数列的通项公式；
（2）若选择条件①，由（1）可得，然后利用裂项相消求和法求；若选择条件②，由（1）可得，然后分和两种情况求；若选择条件③，由（1）可得，然后利用分组求和法求
【详解】
解：（1）设数列的公比为，
因为是和的等差中项，
所以，
又因为，所以，即，
所以或（舍去），所以；
（2）选择条件①，由（1）知，则，
所以

所以．
选择条件②，由（1）知，
当时，，，
当时，，
所以
，
所以
选择条件③，由（1）知，则，
所以，

所以．
25．（1）；（2）.
【解析】
（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可；
（2）分组，利用等差等比的求和公式求和.
【详解】
解（1）设正项等比数列的公比为，
由题意可得，解得．
数列的通项公式为；
（2）.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题.
26．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；
（2）分组求和即可.
(1)
设的公差为,
由已知,有解得，
所以的通项公式为, 的通项公式为.
(2)
，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.
27．（1）选择①②、①③、②③条件组合,； （2）
【解析】
【分析】
（1）先将①②③条件简化，再根据选择①②、①③、②③条件组合运算即可；
（2），利用分组求和法计算即可.
【详解】
（1）①由，得，即；
②由，，成等比数列，得，，即﹔
③由，得，即；
选择①②、①③、②③条件组合，均得、，即﹔
（2）由（I）得，
则
，
即
【点晴】
本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题，涉及到基本量的计算，分组求和法求数列的和，考查学生的数学运算能力，属于容易题.
28．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；
（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解．
(1)
解：设等差数列公差为d，首项为a1，
由题意，有，解得，
所以；
(2)
解：，所以