微专题 双曲线的定义的应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 双曲线的定义的应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共38页。

微专题：双曲线的定义的应用
【考点梳理】
1、双曲线的定义
(1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
(2)在双曲线定义中，当2a＝|F1F2|时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，轨迹不存在.
(3)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
2、①双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而求出双曲线方程；二是在“焦点三角形”中常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系. ②求双曲线的标准方程一般用待定系数法；当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，这样可以简化运算.


【题型归纳】
题型一：利用双曲线定义求方程
1．－＝4表示的曲线方程为（       ）
A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)
C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)
2．已知，点满足方程，且有，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B． C． D．

题型二：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
4．已知，分别为双曲线（）的左、右焦点，，是右支上的两点，且直线经过点．若，以为直径的圆经过点，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
5．已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（       ）
A． B． C． D．
6．双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为（       ）
A． B． C．4 D．



【双基达标】
7．双曲线C：的左，右焦点分别为，，是C上一点，满足，且，则C的离心率为（       ）
A． B．2 C． D．
8．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（       ）
A．2 B． C．4 D．
9．设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（       ）．
A． B． C． D．
10．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（       ）
A． B． C． D．
11．设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（       ）
A．1 B．2 C．4 D．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为θ的直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
13．设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（       ）
A．6 B．12 C． D．
14．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（       ）
A． B． C． D．
15．已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（       ）
A． B． C． D．
16．设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列说法正确的是（       ）
A．若为直角三角形，则的周长是
B．若为直角三角形，则的面积是6
C．若为锐角三角形，则的取值范围是
D．若为钝角三角形，则的取值范围是
17．已知为双曲线的左､右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左､右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（       ）

A． B．
C． D．
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
19．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ）
A． B． C． D．
20．已知分别是椭圆和双曲线的公共的左右焦点，是的离心率，若在第一象限内的交点为，且满足，则的关系是（       ）
A． B． C． D．
21．已知椭圆：与双曲线：（，）具有共同的焦点，，离心率分别为，，且.点是椭圆和双曲线的一个交点，且，则（       ）
A． B． C． D．
22．双曲线的左､右焦点分别是､，过的弦AB与其右支交于A､B两点，，则的周长为（       ）
A． B． C． D．
23．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（，A，B在同一直线上），满足，则该双曲线的离心率的平方为（       ）

A． B． C． D．
24．为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点.若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
25．设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点.若，则点到轴的距离为（       ）
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．已知、是双曲线的左，右焦点，过的直线l与双曲线C交于M，N两点，且，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．3
27．已知双曲线的左右焦点分别为，若在双曲线左支上存在点，满足，且到直线的距离为，则该双曲线的离心率等于（　     ）
A． B． C． D．
28．双曲线，左右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，则四边形的面积是（       ）
A． B． C． D．
29．双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B．
C． D．
30．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（       ）
A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x
31．平面内有两个定点和，动点满足，则动点的轨迹方程是（       ）．
A． B．
C． D．
32．已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
33．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（       ）
A．16 B．18 C．21 D．26
34．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（       ）
A． B． C． D．

二、多选题
35．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（       ）

A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
36．在一张纸上有一圆与点，折叠纸片，使圆上某一点好与点重合，这样的每次折法都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为，则下列说法正确的是（       ）
A．当时，点的轨迹为椭圆
B．当，时，点的轨迹方程为
C．当，时，点的轨迹对应曲线的离心率取值范围为
D．当，时，在的轨迹上任取一点，过作直线的垂线，垂足为，则(为坐标原点)的面积为定值
37．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点双曲线C右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（       ）
A．若，则S＝
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为
38．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的有（       ）
A．若，则双曲线的离心率
B．若是面积为的正三角形，则
C．若为双曲线的右顶点，轴，则
D．若射线与双曲线的一条渐近线交于点Q，则
39．已知双曲线的上､下焦点分别为，，点P在双曲线C的上支上，点，则下列说法正确的有（       ）
A．双曲线C的离心率为
B．的最小值为8
C．周长的最小值为
D．若内切圆的圆心为M，则M点的纵坐标为3
40．已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（       ）
A． B．双曲线的离心率为
C． D．

三、填空题
41．已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于点． 若，则双曲线的渐近线方程为________．
42．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．
43．已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为_____．
44．在正方形中，，点在正方形区域内（含边界），且满足，则的最大值为________.
45．已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
46．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，若双曲线上一点使，则的值为______．

四、解答题
47．如图双曲线的焦点为，过左焦点倾斜角为的直线与交于两点．

(1)求弦长的值；
(2)求的周长．
48．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是右支上一点，若I为的内心，且.
(1)求的方程；
(2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，且轴，在点P处的切线l与直线相交于点M，与直线相交于点N.证明：无论点P怎么变动，总有.
49．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若轨迹C的左，右顶点分别为，，点为轨迹C上异于，的一个动点，直线，分别与直线相交于S，T两点，以ST为直径的圆与x轴交于M，N两点，求四边形SMTN面积的最小值.
50．老李的手机被人偷了，而手机中有企业的重要数据．情急之下，他向A派出所报了案．为了帮助老李找到那部重要的手机；A派出所联系了与其相距米的B派出所．这时，小偷正好用老李的那部手机与人通话．A、B两个派出所的监听仪器听到手机发声的时间差为6秒，且B处的声强是A处声强的4倍（设声速为米/秒，声强与距离的平方成反比），试确定持手机者的位置P（即确定P到AB中点M的距离以及的正切值）
51．已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于，两点，求．
52．已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4，
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上存在一点使得，求的面积．

参考答案
1．C
【分析】根据两点间距离的定义及双曲线定义，可判断双曲线的长轴长与焦距，进而求得b，得双曲线方程；结合方程的意义，即可判断出y的取值范围．
【详解】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.
根据双曲线定义可知，
所以   
由焦点在y轴上，所以
，且到点 的距离比较大
所以
即曲线方程为
故选：C.
2．B
【分析】根据双曲线的定义，得到点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，进而求得双曲线的渐近线方程，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，点且满足，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，
其中，可得，则，
可得双曲线的渐近线方程为，
又因为点满足方程，即，
结合双曲线的几何性质，可得，即的取值范围是.
故选：B.

3．C
【分析】根据题意求出a,b即可求得答案.
【详解】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.
故选：C.
4．A
【分析】由以为直径的圆经过点得，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.
【详解】由题意得，设，则，，，，
在中，由勾股定理得，解得，
则，，
在中，由勾股定理得，化简得，
所以的离心率，
故选：A.
5．C
【分析】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.
【详解】由题意可知，，所以，解得，
所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．

由双曲线的定义，知①，②，
由①②，得，
又，
所以的周长为．
故选：C.
6．B
【分析】设点，根据题意得，进而与双曲线方程联立得，即可得答案.
【详解】设点，由双曲线可知、，
∵，∴，∴，
代入双曲线方程，∴，∴，∴，
∴到轴的距离是．
故选：B．
7．B
【分析】分类讨论的位置，根据双曲线的定义和余弦定理列式可求出结果.
【详解】当在双曲线左支上时，，又，
所以，
所以，即，
整理得，此方程不成立.
当在双曲线右支上时，，又，
所以，
所以，即，
整理得，得，
所以或（舍去），
所以C的离心率为.
故选：B
8．C
【分析】不妨设点在第一象限，根据双曲线的定义得到，再由，得到，进而求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得，则，
因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，
由双曲线的定义可得，
又因为，可得，即，
又由，
可得，解得，
所以的面积为.
故选：C.
9．B
【分析】利用双曲线的定义可得，又，进而即得.
【详解】∵双曲线，
∴，又点P在双曲线C的右支上，，
所以，，即，
又，
∴面积为.
故选：B.
10．A
【解析】设，．根据双曲线的定义和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，从而可得的周长.
【详解】由双曲线可得．
设，．则，，
所以，．
因为是等腰三角形，且，
所以，即，所以，
所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，解得，
的周长
．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.
11．D
【分析】根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出．
【详解】设，.由，的面积为，
可得，∴①
由离心率为，可得，代入①式，可得.
故选：D.
12．D
【分析】设，可得出，，在中，利用余弦定理可得出关于的方程，结合可求得该双曲线的离心率.
【详解】如下图所示，设，由双曲线的定义可得，
则，所以，，


在中，，
整理可得，即，，解得.
故选：D.
13．A
【分析】利用双曲线定义结合已知求出及，再求出焦距即可计算作答.
【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，因此，，
因，由双曲线定义得，解得，，
显然有，即是直角三角形，
所以的面积.
故选：A
14．B
【分析】由双曲线的定义即可求出的周长.
【详解】设，，由题意可得，
由双曲线的定义可得，，
则的周长是.
故选：B.
15．A
【分析】记，，根据双曲线定义结合余弦定理可得，再利用三角形面积公式可推得，即可求得答案.
【详解】记，，，
∵，∴，
在中，由余弦定理得，
配方得，即，
∴，
由任意三角形的面积公式得，
∴，而，，，
故选：A.
16．C
【分析】根据双曲线方程，写出a，b，c，不妨设点P在第一象限，，若为直角三角形，分和两种情况讨论，结合双曲线的性质即可得出正确选项.
【详解】解：因为双曲线，所以，
不妨设点P在第一象限，则，
若为直角三角形，
当时，则，
又，即，
所以，
，
所以，
所以的周长是，的面积是；
当时，设，
代入方程解得（负值舍去），所以，
故，所以，
所以的周长是，的面积是6，
综上所述，若为直角三角形，
则的周长是或8，
的面积是3或6，
故A、B错误；
若为锐角三角形，根据上述，则的取值范围是，故C正确；
若为钝角三角形，根据上述，则的取值范围是，故D错误.
故选：C.

17．C
【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得，，再在中运用余弦定理建立关于a，b，c的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.
【详解】解：由，设，由得，，所以，
，又得，
，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，
故选：C.
18．B
【分析】设，，的方程为：，与双曲线的方程联立可得点的坐标，设，，直线的倾斜角为， 则，运用三角形面积相等，双曲线的定义，可得关于、的方程，由即可得离心率.
【详解】设双曲线的左焦点、右焦点，
设双曲线的一条渐近线方程为：，
可得直线的方程为：，
由可得： ，即，
设，，
可得，
即，整理可得：，
即，
由双曲线的定义可得：，
所以，
设直线的倾斜角为，在中，，
，，所以，
所以，
所以，整理可得：，
解得：或（舍），
所以双曲线的离心率为，
故选：B.
19．C
【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.
【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.
故选：C.
20．A
【分析】先确定，再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义，即可得出结论.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，所以，
所以.
故选：A.
21．C
【分析】设，.根据圆锥曲线定义与勾股定理可得，从而可得，结合，可得结果.
【详解】设，.
在椭圆中，，
所以.
在双曲线中，，
所以，
所以，即，
得，即.
因为，所以，解得.
故选：C
22．C
【分析】利用双曲线的定义和三角形的周长即得．
【详解】由题可得，
则的周长为.
故选：C．
23．D
【分析】设，根据题意可得，由双曲线定义得、，进而求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．
【详解】易知共线，共线，如图，设，
则.因为，所以，
则，则，
又因为，所以，则,
在中，，即，
所以.

故选：D
24．A
【解析】根据，得到三角形为直角三角形，再利用直角三角形内切圆切线长定理，求得半径，再根据内切圆的半径为，建立方程求解.
【详解】如图所示：

因为，所以三角形为直角三角形，
故它的内切圆半径
，
所以
故选：A.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义及直角三角形内切圆问题，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
25．C
【解析】如图，设，，由双曲线定义知，平方得：，在中利用余弦定理可得：，即可得到，再利用等面积法即可求得
【详解】由题意，双曲线中，
如图，设，，由双曲线定义知
两边平方得：
在中，由余弦定理可得：，即
两式相减得：，即
利用等面积法可知：，即
解得
故选：C.

【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：
（1）设，分别为椭圆的左，右焦点，点为椭圆上的一点，且，则椭圆焦点三角形面积
（2）设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点，且，则双曲线焦点三角形面积
26．C
【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得为等边三角形，从而得，然后在中，利用余弦定理化简可得到，从而可求出离心率的值.
【详解】设，则，设，则由双曲线的定义得，
，解得，
所以，， ，，
所以为等边三角形，

所以，则，
在中，由余弦定理得，,
即，化简得，，
所以双曲线的离心率为，
故选：C.
27．D
【分析】利用双曲线的定义以及已知条件，结合勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．
【详解】依题意得，，，
得，
又因为到直线的距离为，
由，
得，
所以．
故答案为：2．
【点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质的应用，是基本知识的考查．
28．C
【分析】由题意，得，根据双曲线方程，可得，从而可表示出，设圆的半径为，利用等面积法计算出，从而代入公式求解面积.
【详解】如图，因为圆，分别为与的内切圆，轴，所以，由题意，，所以，由通径可得，再由双曲线的定义可知，设圆，圆的半径为，由等面积法可得，即，得，所以，故四边形的面积为.
故选：C

【点睛】关于三角形内切圆的半径的计算通常采用等面积法，计算出三角形的周长，底边长与高，再利用面积相等列式计算.
29．B
【分析】由的周长为，结合双曲线的定义和对称性得到，，再由为的中点，得到为等边三角形求解.
【详解】如图所示：

由对称性可知，因为的周长为，
所以，
又，
所以，．
因为为的中点，
所以，
则为等边三角形，
所以，，．
又因为，
所以在中，．
所以，，
即双曲线的渐近线方程为．
故选：B
30．D
【分析】由M是三角形外心可得，根据圆周角与圆心角关系得∠F1PF2＝，根据余弦定理、双曲线的定义得，由三角形面积公式，即可确定的数量关系，写出渐近线方程即可.
【详解】由△PF1F2的外心M，知：，
∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，
在△中，，而，
∴，即，
∴，而，
∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：利用外接圆的性质求∠F1PF2，由余弦定理、双曲线的定义及三角形面积公式求焦点三角形的面积，进而确定双曲线参数的数量关系.
31．D
【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以，为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可.
【详解】解：由可知，点的运动轨迹是以，为焦点的双曲线右支，
，，
，.
所以动点的轨迹方程是.
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线的定义，求双曲线的标准方程，属于基础题.
32．B
【分析】取中点，由及得到三点共线且，再根据双曲线定义及得到的比例关系，进而解出离心率.
【详解】设是的中点，连接，如图，则，由，得
三点共线，.由既是的平分线，又是边上的中线，得.作轴于点，，且，.
故选：B.

33．D
【分析】根据双曲线定义知，，，结合，从而计算出的周长的值.
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：D
34．C
【解析】先根据双曲线方程得到，，，设，，可得，. 由，在根据余弦定理可得:，即可求得答案.
【详解】，所以，，，
在双曲线上，设，，
①
由，在根据余弦定理可得:

故②
由①②可得，
直角的面积
故选：C.
【点睛】思路点睛：
在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.
35．CD
【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.
【详解】对于A：若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：
二者联立解得：.故A错误；
对于B：光由所经过的路程为.

故B错误；
对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.

故C正确.
对于D：设直线PT的方程为.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.
故D正确
故选：CD
36．ACD
【分析】对于：根据题意可得，则点的轨迹是以，为焦点的椭圆，即可判断是否正确；
对于：根据题意可得，则的轨迹为以点，为焦点的双曲线，其中，，进而可得双曲线的方程，即可判断是否正确；
对于：根据题意可得点的轨迹是以，为焦点的双曲线及方程，进而可得离心率，即可判断是否正确．
对于：根据题意可得的轨迹方程为，设，直线的方程，它与的交点的坐标，即可计算是否为定值，即可判断是否正确．
【详解】解：当时，点在圆内，此时有故的轨迹是以为焦点的椭圆，故A正确；
当时，点在圆外，此时有，
故的轨迹是以为焦点的双曲线，其中
故双曲线方程为故错误；
当时时的轨迹是以为焦点的双曲线，
方程为，所以离心率，当时4，故正确；
当时，的轨迹方程为，设则，直线的方程为，它与的交点的坐标为，
所以
所以为定值，故正确.
故选：ACD.
37．ACD
【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式求解，对于B，由焦点三角形的面积公式求出，再由以双曲线的定义和勾股定理列方程组可求得结果，对于C，当为直角三角形时，求出临界值进行判断，对于D，利用相关点法结合重心坐标公式求解
【详解】由，得，则
焦点三角形的面积公式，将代入可知，故A正确．
当S＝4时，，由，可得，故 B错误．
当时，S＝4，当时，，因为为锐角三角形，所以，故C正确．
设，则，由题设知，则，所以，故D正确．
故选：ACD
38．AB
【分析】对选项A，由题意列式得，即可求得；对选项B，利用等边三角形的性质求解得，，即可得；对选项C，可得，即可判断，对选项D，举出反例即可判断.
【详解】由题意，对于选项A，因为，所以的中垂线与双曲线有交点，即有，解得，故选项A正确；对于选项B，因为，解得，所以，所以，故选项B正确；对于选项C，由题意可得显然不等，故选项C错误；
对于选项D，若为右顶点时，则为坐标原点，此时，故选项D错误.
故选：AB.
【点睛】关于双曲线的离心率的求解，一般需要先列关于的等式或者不等式，从而求解出离心率的范围；关于双曲线的焦点三角形的应用，一般需要用到双曲线的定义以及余弦定理列式来求解.
39．BCD
【分析】由双曲线的标准方程得出，然后求出离心率判断A，结合双曲线的性质判断B，然后结合双曲线的定义判断C,D.
【详解】对于A：，∴A错误；
对于B：的最小值为，B正确；
对于C：如图，

的周长（当且仅当Q，P，三点共线时取等号），C正确；
对于D：如图，

设的内切圆分别与，，切于点A，B，D，则，，，∴.又，∴，∴，∴M点的纵坐标为3，D正确.
故选：BCD.
40．ABD
【分析】对于A，先求出点坐标，求出和的坐标，即可计算；对于B，将点坐标代入双曲线的方程，建立与的齐次方程即可求出离心率；对于C，代斜率的坐标计算公式化简可求，对于D，分别化简，，，结合与的数量关系即可判断
【详解】
因为为正三角形，所以
所以，
所以
故A正确
将点坐标代入双曲线方程可得
即
即
即
即
设（），则
解之得：或（舍）
所以，所以
故B正确

故C错误

设的内切圆半径为，则，，


所以，即，故D正确
故选：ABD
41．
【分析】根据向量的线性运算可得，再根据焦点三角形中的关系可得，再根据等腰三角形的性质可列式求得离心率，进而求得渐近线的方程.
【详解】因为，故，即，故，根据双曲线的定义有，故，又直线斜率为，故，所以，根据等腰三角形的性质有，即，解得，故.
故双曲线的渐近线方程为

故答案为：
42．
【分析】根据余弦定理得到，再利用面积公式计算得到答案.
【详解】不妨设点P在双曲线的右支上，则，，
在△F1PF2中，由余弦定理，
，
∴，∴.
故答案为：.
43．
【解析】根据渐近线方程得斜率可得，根据双曲线的定义以及勾股定理可得，可得，，从而可得双曲线的方程．
【详解】设，则由渐近线方程为，，
又，
所以
两式相减，得，而，所以，
所以，所以，，故双曲线的方程为．
故答案为：
【点睛】本题考查了双曲线的定义及性质，考查转化能力与运算能力，属中档题．
44．9
【分析】建立直角坐标系，由题意结合双曲线的定义可得点的轨迹方程为，转化条件得，由求出最大值后即可得解.
【详解】以所在直线为轴，的中垂线为轴，如图建立直角坐标系，

则，，
由得点的轨迹方程为，
所以，
设，则，
因为，所以，所以的最大值为9.
故答案为：9.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算法则及向量模的坐标表示，考查了双曲线定义的应用，属于中档题.
45．
【分析】设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.
【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图，

由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，
联立可得，，
由余弦定理可得：
即，解得，
因为，所以，，可得，
故，
故答案为：
46．3
【分析】在中，设，则或．分别运用余弦定理可求得答案.
【详解】解：由已知得．在中，设，则或．
当时，由余弦定理，得，解得，所以．
当时，由余弦定理，得，无解．
故．
故答案为：3.
47．(1)3
(2)

【分析】（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得，根据根与系数的关系可求得弦长；
（2）根据双曲线的定义可求得三角形的周长.
(1)
解：因为双曲线的焦点为，所以，
设．
联立，整理得：，
.
(2)
解：记的周长为，则．
，又得．
点在右支，故．
同理：点在左支，．


48．(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）根据三角形面积公式及双曲线定义化简可得，求出即可得出方程；
（2）利用导数的几何意义求出切线斜率并化简可得，求出切线及切线与直线的交点，利用两点间距离公式并结合双曲线方程化简可得.
（1）
设的内切圆半径为r，
则，
因为，
所以，
即，可得，
所以，
由双曲线的定义和几何性质，得，
又，解得，
所以的方程为.
（2）
由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为.
由可得
由题意知.
若点P在双曲线右支的上半支上，则
所以，故
因为, 所以,
若点P在双曲线右支的下半支上，则
同理可得
综上，，代入直线l的方程得,
即，
由，可得，
所以直线l的方程为, 即
因为直线的方程为x=2，
所以直线l与直线的交点,
直线l与直线的交点
所以,

，
即得证.
49．(1)；
(2)6.

【分析】(1)，得动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
根据a、b即可求出结果；
(2)可求得、、、，进而面积为，利用基本不等式计算即可.
(1)
由动点P满足，得动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
且，所以，所以，
故动点P的轨迹C方程为：；
(2)
由(1)知，，
所以直线的方程为，即，
与直线的交点S的坐标为，
直线的方程为，即，
与直线的交点T的坐标为，
设以ST为直径的圆的方程为，
令，则，
所以，，
令，则，设，
则，
所以，
又点在双曲线上，所以，故，
又，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以四边形面积的最小值为6.
50．距离为米且.
【分析】由题设分析知：在以为焦点，实轴长为的右支上，即的右支上，再应用余弦定理、向量加法的几何意义及数量积的运算律求P到M的距离，再在△中应用正余弦定理求的正切值.
【详解】以为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，则，
若声强为，监听仪器与手机位置的距离为，则且为常数，
由题设，，则，即到距离为到距离的一半，
又，则，即，
所以在以为焦点，实轴长为的右支上，即的右支上，如下图示：

由上，，又，且，
所以，则，
若，在△中，又，则，
所以.
综上，持手机者的位置P：距离为米且.
51．（1）；（2）．
【分析】（1）先判断出轨迹为双曲线，然后根据焦点坐标和实轴长度求解出双曲线的方程；
（2）写出直线的方程，联立直线方程与双曲线的方程，利用弦长公式求解出.
【详解】解：（1）因为，
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，
所以，所以，
所以的方程为：；
（2）不妨设焦点，则直线：
由消去得：．
设，，则，，
所以．
52．（1）；（2）1．
【分析】（1）由题可知的值即可求出双曲线的标准方程；
（2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.
【详解】（1）设双曲线方程为，
由条件知，，
∴，
∴双曲线的方程为．
（2）由双曲线的定义可知，．
∵，
∴，即
∴，
∴的面积．