微专题 双曲线的渐近线 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 双曲线的渐近线 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共33页。

微专题：双曲线的渐近线
【考点梳理】
1、双曲线的标准方程和简单几何性质

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形


焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c

a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2
简单几何性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
(－a，0)，(a，0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，且e∈(1，＋∞)
2、已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.
3、双曲线焦点到渐近线的距离为b

【题型归纳】
题型一：已知方程求双曲线的渐近线
1．若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
3．双曲线的渐近线方程是（          ）
A． B．
C． D．

题型二：根据双曲线的渐近线求标准方程
4．已知双曲线C：（，）的实轴长为8，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（       ）
A． B． C． D．
6．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（       ）

A． B． C． D．

题型三：求共渐近线的双曲线的标准方程
7．与双曲线共渐近线且一个焦点为的双曲线方程为（       ）
A． B． C． D．
8．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（       ）
A． B． C． D．
9．与双曲线渐近线相同且经过点的双曲线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．


【双基达标】
10．已知双曲线：（，）的上、下顶点分别为，，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
11．如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（       ）

A． B． C． D．
12．点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ）
A． B． C． D．
13．若点在双曲线的一条渐近线上，则它的离心率为（　　）
A． B． C． D．
14．已知双曲线的离心率为，则点到双曲线C的渐近线的距离为（       ）
A．2 B． C． D．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
16．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率e为（       ）
A． B． C． D．2
17．已知左、右焦点分别为，的双曲线：上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B．
C． D．
18．已知双曲线的左､右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
19．已知为双曲线的左､右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左､右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（       ）

A． B．
C． D．
20．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
21．已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
22．双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（       ）
A． B． C． D．
23．双曲线的渐近线方程是（       ）．
A． B． C． D．
24．渐近线方程为的双曲线的离心率是
A． B．1
C． D．2
25．双曲线的顶点到渐近线的距离为（       ）
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
27．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．3
28．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
29．设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（       ）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
30．已知双曲线的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为，则双曲线C的渐近线方程为（       ）
A． B．
C． D．
31．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（       ）
A． B． C．2 D．
32．已知为双曲线的左､右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率的值为（       ）
A． B． C．2 D．3
33．已知双曲线（m≠0）的一个焦点为F（3，0），则其渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
34．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（       ）
A． B． C． D．
35．如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（       ）

A． B．
C． D．
36．已知双曲线：的左、右焦点为、，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且，则的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
37．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆经过点，则点的横坐标为（       ）
A． B． C． D．

二、多选题
38．已知双曲线，（       ）
A．
B．若的顶点坐标为，则
C．的焦点坐标为
D．若，则的渐近线方程为
39．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（       ）
A．为的一个焦点
B．双曲线的离心率为
C．过点作直线与交于两点，则满足的直线有且只有两条
D．设为上三点且关于原点对称，则斜率存在时其乘积为
40．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（       ）
A．与共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为、则
D．互为共轭的双曲线的个焦点在同一圆上
41．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是（       ）
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
42．已知双曲线C：，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则有（          ）
A．渐近线方程为 B．
C． D．渐近线方程为
43．已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（       ）
A．的实轴长为6
B．的渐近线为
C．的最小值为
D．的最小值为

三、填空题
44．已知双曲线，，为C的两条渐近线，过C的右焦点F作的垂线，垂足为A，且该垂线交于点B，若，则曲线C的离心率______.
45．已知双曲线，的一条渐近线方程为，则______．
46．在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为___________.
47．双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率是__________．
48．已知点在双曲线的渐近线与直线所围成的三角形区域（包含边界）内运动，则的最小值为_____．
49．在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆相切，则______．

四、解答题
50．已知双曲线C的中心是原点，右焦点为，一条渐近线方程为，直线与双曲线交于点A， B两点.记FA， FB的斜率分别为
（1）求双曲线C的方程;
（2）求的值.
51．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
52．（1）已知椭圆C的两焦点分别为，且经过点，求椭圆C的标准方程.
（2）求与双曲线有相同渐近线，且右焦点为的双曲线方程.
53．已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．
54．根据下列已知条件求曲线方程.
(1)求与双曲线共渐近线且过，点的双曲线方程；
(2)求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程.
55．已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点

（1）若，求曲线的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值

参考答案：
1．D
【分析】根据双曲线的离心率可得之间的关系，从而可得到渐近线方程.
【详解】双曲线的离心率为，
即 ，所以 ，
则 ，故C的渐近线方程为.
故选：D.
2．C
【分析】确定双曲线的，确定其焦点位置，即可求得其渐进线方程.
【详解】由可知， ，且双曲线焦点位于x轴上
故该双曲线的渐近线方程为 ，
故选：C
3．C
【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可
【详解】由题意，的渐近线方程为
故选：C
4．D
【分析】根据实轴长求得，再结合渐近线方程求得，即可求解
【详解】因为实轴长为8，所以，可得渐近线方程为，所以，
所以双曲线的标准方程为，
故选：D．
5．C
【分析】根据双曲线的一个顶点求出双曲线方程，再根据渐近线的方程求出的值，综合选项即可得答案.
【详解】解：由题意得：
双曲线的一个顶点是，
焦点在轴上，设双曲线方程为，

渐近线方程为，
，，
该双曲线的标准方程为 ．
故选：C
6．A
【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，由已知渐近线方程得到，
又下焦点到下顶点的距离为1，得到 关系，结合解出 即可.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的一条渐近线为，所以
即 ，又下焦点到下顶点的距离为1，
所以，结合解得，，
故选：A．
7．B
【分析】设所求的双曲线方程为，由题可知，，且，解之即可．
【详解】解：设所求的双曲线方程为，即，
因为焦点为在轴上，
所以，所以双曲线方程为，且，
所以，双曲线方程为．
故选：B．
8．C
【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可的解.
【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，
代入点，得，解得 ，
所以所求双曲线方程为，即
故选：C.
9．C
【分析】和题干双曲线共渐近线的方程为，再代入已知点得到，进而得到结果.
【详解】与双曲线渐近线相同的双曲线方程设为，
将代入上式有，故双曲线的标准方程为，
故选：C.
10．B
【解析】设点由直线，的斜率乘积为得到，则渐近线可求.
【详解】设点，又，，则 ，
所以，又因为点在双曲线上得，
所以，故，所以
则双曲线的渐近线方程为.
故选：B
11．D
【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式及离心率公式求出a，b即可作答.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，设双曲线下焦点为，
则有，依题意，，离心率，解得，
所以该双曲线的标准方程为.
故选：D
12．A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
13．C
【分析】将点的坐标代入双曲线的渐近线方程，求出的值，可得出的值，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程，
因为点在双曲线的一条渐近线上，所以，所以，则，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：C.
14．C
【分析】根据离心率结合得出关系，求得渐近线方程，利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】由题离心率，即，
又，则，即，
则渐近线方程为，
则点到双曲线C的渐近线的距离为.
故选：C.
15．B
【分析】设，，的方程为：，与双曲线的方程联立可得点的坐标，设，，直线的倾斜角为， 则，运用三角形面积相等，双曲线的定义，可得关于、的方程，由即可得离心率.
【详解】设双曲线的左焦点、右焦点，
设双曲线的一条渐近线方程为：，
可得直线的方程为：，
由可得： ，即，
设，，
可得，
即，整理可得：，
即，
由双曲线的定义可得：，
所以，
设直线的倾斜角为，在中，，
，，所以，
所以，
所以，整理可得：，
解得：或（舍），
所以双曲线的离心率为，
故选：B.
16．A
【分析】根据题意渐近线的斜率为，所以该渐近线的方程为，所以，求得，利用，求得即可得解.
【详解】∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，
∴该渐近线的方程为，∴，
解得或（舍去），∴，
∴双曲线的离心率为．
故选：A．
17．A
【分析】首先由，得到，再根据双曲线的定义，得到的值，即可根据公式，计算双曲线的渐近线方程.
【详解】由，得，∴点P在双曲线左支上，故，∴，得双曲线的方程为，∴双曲线C的渐近线方程为，
故选：A.
18．A
【分析】由题意问题转化为双曲线的渐近线与双曲线有公共点即可，据此可得两曲线渐近线斜率间的关系，进而求出离心率范围.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
,
点P在双曲线上，
双曲线的渐近线方程为，
因为与双曲线相交，
所以由双曲线渐近线性质可知只需，即，
则，解得，
故该双曲线离心率的取值范围是，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键在于由题意转化为已知双曲线的渐近线与有交点，再根据双曲线渐近线判断直线与双曲线的的位置关系，建立不等式即可求出离心率，要掌握根据直线斜率与渐进线斜率的大小关系判断直线与双曲线的交点个数问题.
19．C
【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得，，再在中运用余弦定理建立关于a，b，c的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.
【详解】解：由，设，由得，，所以，
，又得，
，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，
故选：C.
20．C
【分析】作于点，于点，可得，，根据求出和，结合双曲线定义可得的关系，从而得到双曲线的渐近线方程.
【详解】
如图，作于点于点B，因为与圆相切，
所以，
在中，，所以．
又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：
所以，
整理得：，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．故选C．
21．C
【分析】根据焦距可得的值，根据右焦点到渐近线距离可求得的值，由可得的值，再由即可求解.
【详解】因为焦距为，所以，右焦点，，
双曲线渐近线方程为：，
所以右焦点到它的一条渐近线的距离为，
所以，，
所以离心率，
故选：C.
22．B
【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.
【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，
由直线的斜率为，可得倾斜角为，
的斜率为，可得倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角的大小为，
故选：B.
23．B
【分析】令，即可求出渐近线方程．
【详解】令，解得，所以双曲线的渐近线方程是．
故选：B．
24．C
【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c
则该双曲线的离心率为 e，
故选C．
【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
25．A
【分析】由题知顶点坐标为,渐近线方程为:,进而利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解:由题知双曲线中,,焦点在轴上,
所以顶点坐标为,渐近线方程为:,
由双曲线的对称性,不妨求顶点到渐近线的距离
所以双曲线的顶点到渐近线的距离为
故选：A
26．A
【分析】作于A，于B，根据圆的切线的性质可得，可以求得，又点M在双曲线上，所以，整理得，从而得出结论．
【详解】作于A，于B，

因为与圆相切，，
所以，
因为，
所以，
又点M在双曲线上，
所以，
整理得，
所以双曲线的渐近线方程为．
故选：A
27．A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
28．C
【解析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得，得渐近线方程．
【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中，
渐近线方程为，其中一条为，
于是有，，∴，
∴渐近线方程为．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出．解题时要注意椭圆中，双曲线中．两者不能混淆．
29．B
【分析】根据的方程为，则渐近线为；若渐近线方程为，则双曲线方程为（）即可得答案.
【详解】解：若的方程为，则，，渐近线方程为，
即为，充分性成立；
若渐近线方程为，则双曲线方程为（），
“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件.
故选：B.
【点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
30．A
【分析】首先根据题意得到，从而得到，即可得到答案.
【详解】由题知：设，一条渐近线方程为，即.
因为，所以，
故渐近线方程为.
故选：A
31．D
【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率
【详解】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，
所以.
故选：D.
32．A
【分析】求出双曲线的一条渐近线，由点到直线的距离公式计算出的长，运用余弦函数的定义求出即得，在中由余弦定理计算的长，结合已知条件以及离心率公式即可求解.
【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，即
则到渐近线的距离为，
在中，，所以，，
在中，
，
所以，即，
所以，可得，
故选：A.
33．A
【分析】根据双曲线的焦点求出的值，进而可以求出结果.
【详解】由双曲线方程可知，
且，，则，得，
所以双曲线的方程为，
则渐近线方程为.
故选：A.
34．D
【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
35．B
【分析】根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近线方程计算的值，确定双曲线的方程
【详解】设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为，
故选：B．
【点睛】本题目比较巧妙的地方在于借助渐近线的倾斜角，得到倾斜角与的关系，结合解三角形的方法来表示三角形的面积，求出的值；题目也可以用渐近线方程直接求解
36．A
【分析】根据题意，画出双曲线及几何关系.由几何关系可得的三条边，结合余弦定理求得，即可得.进而求得，即可得双曲线的渐近线方程.
【详解】根据双曲线：的左、右焦点为，，为原点，以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，如下图所示:

则，，
所以在中，由余弦定理可得.
所以，则，所以，则渐近线方程为.
故选：A.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，余弦定理在解三角形中的应用，双曲线中渐近线方程的求法，属于中档题.
37．C
【分析】由题意可设，根据圆的性质有，利用向量垂直的坐标表示，列方程求即可.
【详解】由题设，渐近线为，可令，而，，

∴，，又，
∴.
故选：C
38．BD
【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出，通过计算即可判断出A错误，然后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B正确，再然后分为、两种情况，依次求出，即可判断出C错误，最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.
【详解】A项：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，A错误；
B项：因为的顶点坐标为，
所以，解得，B正确；
C项：当时，，
当时，，C错误；
D项：当时，双曲线的标准方程为，
则渐近线方程为，D正确，
故选：BD.
39．BD
【分析】依题意求出双曲线方程，即可判断AB；再由双曲线的对称性判断C；设，，利用点差法求出；
【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，解得，所以双曲线，所以，，，所以则其焦点为、，离心率，故A错误，B正确；过点作直线与交于两点，因为为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时，当直线的斜率为时，，所以由双曲线的对称性得，满足的直线有4条，故C错误；
设，，，所以，，因为在双曲线上，所以，，两式相减得，所以，故D正确；
故选：BD
40．CD
【分析】由共轭双曲线的定义可判断A选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；利用双曲线的离心率公式以及基本不等式可判断C选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错；
对于B选项，双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，B错；
对于C选项，设，双曲线的离心率为，
双曲线的离心率为，
所以，，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，
双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D对.
故选：CD.
41．ABC
【分析】根据双曲线C：的左、右焦点分别为，，得到焦点在x轴上，且c=5；然后逐项验证即可.
【详解】因为双曲线C：的左、右焦点分别为，，
所以焦点在x轴上，且c=5；
A选项，若离心率为，则a=4，所以b=3，此时双曲线的方程为：，故A正确；
B选项，若双曲线过点，则，解得，又，解得：b=3；此时双曲线的方程为：，故B正确；
C选项，若双曲线的渐近线方程为，则，又 解得，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；
D选项，若，则，所以故D错误；
故选：ABC.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
42．AC
【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率和渐近线即可．
【详解】双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，
可得：，即，故e．
且，故渐近线方程为渐近线方程为
故选：AC．
43．ACD
【分析】根据双曲线方程写出实轴长、渐近线方程判断A、B；由圆和双曲线的位置关系，结合双曲线的性质、数形结合求的最小值，由为右焦点，根据双曲线的定义将目标式转化为即可求最小值.
【详解】A：由双曲线方程知：，则的实轴长为6，正确；
B：由双曲线方程知：的渐近线为，错误；
C：双曲线、圆如下：为左焦点，当且仅当为x轴交点，为x轴右交点时，最小为，正确；

D：由为右焦点，，则，要使最小只需共线，此时，正确.
故选：ACD.
44．##
【分析】不妨设为，为，则直线的方程为，联立联立，求得点的坐标，联立，求得点的坐标，再根据，得出的齐次式，从而可得出答案.
【详解】解：不妨设为，为，
过C的右焦点F作的垂线，垂足为A，且该垂线交于点B，
，则直线的方程为，
联立，解得，
即，
联立，解得，
即，
则，，
因为，
所以，
所以，即，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
45．##0.5
【分析】双曲线的渐近线方程为，由此可得 ，从而得到的值.
【详解】解：双曲线的渐近线方程为.
由双曲线的一条渐近线方程为，即，
所以，即
故答案为：.
46．
【分析】求出直线与渐近线的距离，即得解.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
直线与渐近线平行，
故两平行线间的距离.
由点到直线的距离大于恒成立，
得，
故实数的最大值为.
故答案为：
47．
【分析】由，结合，可得，即得解
【详解】∵，又
∴，，即
．
故答案为：
48．
【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，从而得到三角形区域，将问题转化为在轴截距最小的问题，通过直线平移可确定过时截距最小，进而代入求得结果.
【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：，由此可得三角形区域如下图所示：

令，则
当取最小值时，在轴截距最小
由平移可知，当过时，截距最小
由得：       
故答案为：
【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题，进而通过直线平移来进行求解.
49．##
【分析】双曲线的渐近线方程为，与已知圆相切的只可能是，列出方程，从而可得答案.
【详解】解：由已知圆的方程可知圆心坐标为，半径为1．
双曲线的渐近线方程为，与已知圆相切的只可能是，
所以，得，故．
故答案为：.
50．（1）；（2）.
【解析】（1）设双曲线方程，由焦点及渐近线方程运算即可得解；
（2）设，联立方程组，结合韦达定理可得，，再由斜率公式即可得解.
【详解】（1）设双曲线的方程为，
由题意，，该双曲线的渐近线方程，
又双曲线的一条渐近线方程为，所以，
所以，
所以双曲线C的方程为；
（2）设，
由，消去x化简可得，，
所以，，
所以
.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是联立方程组，结合韦达定理对变形.
51．(1)
(2)见解析

【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴,∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.
52．（1）；（2）.
【分析】（1）设椭圆C的标准方程为，由椭圆定义求得，再由求得，得椭圆方程；
（2）设双曲线的方程为（且），由焦点坐标求得，得双曲线方程．
【详解】解：（1）设椭圆C的标准方程为
则

又
椭圆C的标准方程为
（2）设双曲线的方程为（且），
因为焦点为，因此，
则
所求双曲线的方程为
53．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线的方程；
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，可得，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，从而可表示出，再由直线与双曲线的右支交与两点，可得，则，代入上式化简可求得结果
【详解】解：（1）由题意得，，
解得所以双曲线的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，
设，，
联立，整理可得
，
所以
所以

直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以，设，


所以
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出，再结合，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题
54．(1)
(2)或

【分析】（1）设所求双曲线方程为，根据点坐标求得，从而求得所求的双曲线方程.
（2）根据椭圆焦点所在坐标轴进行分类讨论，结合求得椭圆方程.
(1)
设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：
点，在双曲线上，

所求双曲线方程为：，即.
(2)
若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，
故所求方程为.
若焦点在轴上，设方程为代入点，得，
.
55．（1）和；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意可得，解方程组求出的值，从而可求出曲线的方程；
（2）设直线，与曲线的方程联立成方程组，消去，利用根与系的关系结合中点坐标公式可得答案；
（3）由题意设直线为，与的方程联立方程组，消去，利用根与系的关系，设，从而可求出，然后表示出面积，利用基本不等式可求得结果
【详解】解：（1）因为，所以，解得
所以曲线的方程为和；
（2）曲线的渐近线为，如图，设直线
则

又有数形结合知
设点，
则
所以，，
所以，即点在线段上；
（3）由（1）可知，和点
设直线为
，化为，
，设，所以
所以
，令
所以，当且仅当，即时等号成立
所以.