微专题 双曲线的焦点三角形问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

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微专题：双曲线的焦点三角形问题
【考点梳理】
1、双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、面积定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．
2、P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF1|≥c－a，△PF1F2的面积为S＝b2·＝(θ＝∠F1PF2).

【典例剖析】
典例1．已知，分别为双曲线（）的左、右焦点，，是右支上的两点，且直线经过点．若，以为直径的圆经过点，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
典例2．已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（       ）
A． B． C． D．
典例3．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线分别交双曲线的左、右支于，，若，且，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
典例4．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（，A，B在同一直线上），满足，则该双曲线的离心率的平方为（       ）

A． B． C． D．
典例5．设，是双曲线的左、右焦点，一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且，则的面积等于（       ）
A． B． C． D．



【双基达标】
6．已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为(       )
A． B． C． D．
7．设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（       ）
A．6 B．12 C． D．
8．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（       ）

A． B． C． D．
9．设、是双曲线C：的两个焦点，P是C上一点，若，∠是△的最小内角，且，则双曲线C的渐近线方程是（        ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（       ）
A． B． C． D．
11．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：
①当轴时，
②离心率
③                                        
④点的横坐标为定值
上述结论正确的是（       ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
12．双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与y轴交于点A、与双曲线右支交于点B，若为等边三角形，则双曲线C的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．
13．已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（       ）
A． B． C． D．
14．已知双曲线（）的左､右焦点分别为，，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P若的面积为，则该双曲线的离心率为（       ）
A． B． C．3 D．
15．设双曲线：的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
16．已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左､右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则（       ）
A．
B．的离心率为
C．若，则的面积为2
D．若的面积为，则为钝角三角形
17．设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，若，点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
18．已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（       ）
A．8 B．9 C．10 D．
19．双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（       ）
A． B． C． D．
20．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是
A． B． C． D．
21．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（       ）
A． B． C． D．
22．已知，分别是双曲线的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
23．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（       ）
A． B． C． D．
24．在中，，，点C在双曲线上，则（       ）
A． B． C． D．
25．已知，分别是双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的点，且．则的面积为（       ）
A．8 B．16 C．24 D．

【高分突破】
一、 单选题
26．已知第一象限内的点M既在双曲线上，又在抛物线上，设的左、右焦点分别为、，若的焦点为，且是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
27．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（       ）
A． B． C． D．
28．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，若，且线段的中点在轴上，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
29．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（       ）.
A． B． C． D．
30．已知是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则等于（        ）
A．2 B．4 C．6 D．8

二、多选题
31．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（       ）

A．
B．的内切圆与轴相切于点
C．若，则的离心率为
D．若，则的方程为
32．（多选）已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（       ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
33．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于A、两点，若，则(     )
A．
B．双曲线的离心率
C．直线的斜率为
D．原点在以为圆心，为半径的圆上
34．已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点，则（       ）
A．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
B．双曲线C的虚轴长为2
C．双曲线C的两条渐近线互相垂直
D．为双曲线C的两个焦点，过的直线与双曲线C的一支相交于P，Q两点，则的周长为8
35．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（       ）

A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
36．双曲线上的焦点分别为，，点P在双曲线上，下列结论正确的是(       )
A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐进线方程为
C．若，则的面积为16 D．点P到两渐近线的距离乘积
37．已知是双曲线的左右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且轴，下列判断正确的是（       ）
A． B．的离心率等于
C．的内切圆半径 D．若A，为上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2
38．已知为双曲线的左右焦点，关于一条渐近线的对称点刚好落在双曲线上，则下列说法正确的是（       ）
A．
B．双曲线的离心率
C．
D．渐近线方程为

三、填空题
39．如图所示，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则的取值范围是_______

40．已知是双曲线的两个焦点，P为双曲线C上的一点.若为直角三角形，则的面积等于______________.
41．已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
42．已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线的右支上，且的中点在圆：上，其中为双曲线的半焦距，则______.
43．如图，，分别是双曲线C：的左､右焦点，以为直径的圆与C交于点B，弦与C交于A点，连接，若，则C的离心率为___________.

44．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为___________.

四、解答题
45．已知双曲线两个焦点分别是，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，求的周长.
46．已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的面积.
47．已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）求的周长．
48．中心都在坐标原点的椭圆与双曲线，它们有共同的在x轴上的焦点、，且，其中椭圆与双曲线的离心率之比为1:4，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为6．
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)若点N是椭圆和双曲线的一个交点，求．
49．在双曲线C：中，､分别为双曲线C的左右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，的重心为G，内心为I.

（1）求内心I的横坐标；
（2）已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点与双曲线C交于M、N两点，若、的斜率、满足，求直线l的方程；
（3）若，求点P的坐标.
50．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，离心率为e，且点(e，3)，(，b)都在双曲线C上.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且AF1//BF2.证明：为定值.

参考答案
1．A
【分析】由以为直径的圆经过点得，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.
【详解】由题意得，设，则，，，，
在中，由勾股定理得，解得，
则，，
在中，由勾股定理得，化简得，
所以的离心率，
故选：A.
2．C
【分析】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.
【详解】由题意可知，，所以，解得，
所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．

由双曲线的定义，知①，②，
由①②，得，
又，
所以的周长为．
故选：C.
3．B
【分析】由双曲线的定义可得，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，，在中，由余弦定理可得关于，的方程，再由离心率公式即可求解．
【详解】由双曲线的定义可得，
由，可得，，
结合双曲线性质对称性可得，，
可得四边形为平行四边形，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得：，
将，，，代入可得：
，即，
所以双曲线的离心率为，

故选：B．
4．D
【分析】设，根据题意可得，由双曲线定义得、，进而求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．
【详解】易知共线，共线，如图，设，
则.因为，所以，
则，则，
又因为，所以，则,
在中，，即，
所以.

故选：D
5．A
【分析】根据渐近线方程可求得，由双曲线定义可求得，由勾股定理知，由此可求得所求面积.
【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：，又一条渐近线方程为，，
由双曲线定义知：，
解得：，，又，
，，
.
故选：A.
6．D
【分析】利用圆的性质可得△为直角三角形，利用直角三角形的性质与双曲线的定义可表示出每一边，再利用双曲线的离心率公式进行计算.
【详解】由题意，，又，，则，，由双曲线定义，，则离心率.
故选：D.
7．A
【分析】利用双曲线定义结合已知求出及，再求出焦距即可计算作答.
【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，因此，，
因，由双曲线定义得，解得，，
显然有，即是直角三角形，
所以的面积.
故选：A
8．D
【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得 和的周长，再根据光速相同，且 求解.
【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，
两式相减得 ，
所以 的周长为 ，
在图②中，的周长为，
因为光速相同，且 ，
所以 ，即 ，
所以，
即的长轴长与的实轴长之比为，
故选：D
9．B
【分析】由已知及双曲线的性质可得，在焦点三角形中应用余弦定理得到参数a、c的齐次方程，进而可得a、b、c的数量关系，写出渐近线方程.
【详解】由∠是△的最小内角，
根据双曲线性质知：，则，
又，可得，而，，
所以，则，
所以，故，则渐近线为.
故选：B
10．C
【分析】由分析可得，根据内切圆性质结合双曲线定义分析可得切点D为双曲线的右顶点，在中，由勾股定理列式求解.
【详解】，即为，即为，可得．所以．
根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，．
又，所以．
设，则，所以，
所以切点D为双曲线的右顶点，所以，
．
在中，由勾股定理得，
整理得，即，解得，
又因为，所以C的离心率为，
故选：C．


11．D
【解析】当轴时，求出，判定①不正确；通过求解离心率，可判定②正确；设的内切圆半径为，利用面积公式求得，可判定③正确；设内切圆与,的切点分别为，结合双曲线的定义，求得的横坐标，可判定④正确.
【详解】当轴时，可得，此时，所以①不正确；
因为，所以，整理得，
可得（其中为双曲线的离心率，），所以，所以②正确；
设的内切圆半径为，
由双曲线的定义可得，
其中，
因为，所以，
解得，所以③正确；
设内切圆与,的切点分别为，
可得，
因为，
可得，则点的坐标为，
所以点横坐标为，所以④正确.
故选：D.

【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
12．B
【分析】由双曲线的定义知，，又为等边三角形，所以，由对称性有，所以，在直角三角形中，求出，在三角形中，由余弦定理求出，从而即可求解.
【详解】解：由双曲线的定义知，，又为等边三角形，
所以，由对称性有，
所以，

在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理有，
所以，解得，所以双曲线C的离心率，
故选：B.
13．A
【分析】记，，根据双曲线定义结合余弦定理可得，再利用三角形面积公式可推得，即可求得答案.
【详解】记，，，
∵，∴，
在中，由余弦定理得，
配方得，即，
∴，
由任意三角形的面积公式得，
∴，而，，，
故选：A.
14．B
【分析】易知渐近线的垂线方程为，求得垂足P的坐标，然后由的面积为求解.
【详解】解：设过右焦点且与渐近线垂直的直线为l，
则直线l的方程为.
由，
得，，
即.
则的面积为，
∴，
∴，
∴.
故选：B
15．B
【分析】根据双曲线的定义结合，求得，在中，利用余弦定理求得之间的关系，即可得出答案.
【详解】解：因为在双曲线中，因为，
所以，
所以，
在中，，，
由余弦定理可得，
即，所以，
所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.

16．D
【分析】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，
通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；
设P在双曲线的右支上，记 则 ，利用，转化求解三角形的面积，判断C；
设P(x0，y0)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三 角形的形状，判断D.
【详解】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)
则，且，两式相减得，
所以，因为，所以，
故双曲线C的渐近线方程
因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，
所以，，所以，，离心率为，故A，B错误．
对于C，不妨设P在右支上, 记 则
因为 , 所以
解得 或 (舍去）, 所以 的面积为
，故C不正确；
对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，
将带入C：，得，即
由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，

因为
所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确
故选：D
17．C
【分析】取的中点，连接，可求得、，利用勾股定理可得出关于、的齐次方程，即可解得双曲线的离心率的值.
【详解】取的中点，连接，如下图所示：

由题意可得，所以，，则，
由双曲线的定义可得，则，故，
由勾股定理可得，即，
整理可得，所以，，因此，双曲线的离心率为.
故选：C.
18．D
【分析】根据三角形周长和双曲线的定义，可得到周长与实半轴和的关系，进而求出的值．
【详解】：由题意三角形的周长为，
由双曲线的定义，可知，
所以，
由题意，可知，，，
所以，解得．
故选：．
19．C
【分析】设，，可得，中再利用余弦定理可得，由面积公式即可求得答案.
【详解】，所以，，，
在双曲线上，设，，
①，
由，在中由余弦定理可得：
，
故②，
由①②可得，
直角的面积.
故选：C.
20．B
【解析】根据所给条件和三角形面积公式，求得，的关系式，即可求得离心率的范围.
【详解】设的内切圆半径为，
则，，，
因为，
所以，
由双曲线的定义可知，，
所以，即.
故选：B.
【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于的齐次式，再化简转化成关于的不等式即可得解，本题属于较难题.
21．A
【分析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.
【详解】设椭圆的标准方程为， ，
则有已知，
两式相减得，即，
，
因为
，解得
故选：A.
22．B
【分析】设点为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得，，在中，根据大边对大角可知为最小角，进而根据余弦定理求得，再得到，即可得到答案.
【详解】设点为双曲线右支上一点，则，
因为，且，
所以，，
由题，因为，则，所以为最小角，故，
所以在中，由余弦定理可得，，解得，
所以，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B
23．B
【分析】由双曲线的定义即可求出的周长.
【详解】设，，由题意可得，
由双曲线的定义可得，，
则的周长是.
故选：B.
24．C
【分析】点分C在双曲线的右支和左支上，利用双曲线的定义结合正弦定理求解.
【详解】当点C在双曲线的右支上，
所以上，
由正弦定理得，
当点C在双曲线的左支上，
所以上，
由正弦定理得，
故选：C
25．C
【分析】根据双曲线的定义可得，再根据余弦定理可得，然后由平方关系得到，即可求出的面积．
【详解】因为是双曲线左支上的点，所以，．
在中，
，即，所以，，故的面积为．
故选：C．
26．A
【分析】根据的左、右焦点分别为、，的焦点为，得到抛物线的准线方程，为：，过M作MA垂直准线，利用抛物线的定义得到，则四边形是正方形，从而是等腰直角三角形，然后再利用双曲线的定义结合离心率公式求解.
【详解】因为的左、右焦点分别为、，的焦点为，
所以抛物线的准线方程为：，
又因为是以为底边的等腰三角形，
过M作MA垂直准线，如图所示：

则，
所以四边形是正方形，
则是等腰直角三角形，
所以，
所以，
又，
所以，
即，
解得.
故选：A
【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的几何性质以及平面几何的知识，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
27．A
【分析】根据向量数量积为零对应的垂直关系结合双曲线的定义求解出的长度，再根据焦点坐标求解出椭圆的方程，联立直线与椭圆方程可求解出的纵坐标，通过用表示出，则的值可求.
【详解】不妨设为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为，，
由双曲线定义可知：，又因为，所以，，
所以，所以，
所以，所以，所以，所以椭圆方程为，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，所以，解得，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过已知的条件求解出椭圆的方程，后续求解的过程中，除了联立思想的运用，还要注意利用点的纵坐标去分析求解问题.
28．B
【分析】根据双曲线的定义以及，可得，由的中点在轴上，可得，结合勾股定理，可得解
【详解】由题意，得，
故，
又的中点在轴上，故，
所以，
所以，故.
故选：B
29．A
【分析】设双曲线的左焦点为，连接、，求得、，利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可求得双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示：

由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，
则四边形为矩形，故，由已知可知，
由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，
所以，，
由双曲线的定义可得，所以，.
故选：A.
30．D
【分析】根据双曲线定义写出，两边平方代入焦点三角形的余弦定理中即可求解
【详解】双曲线，，所以，根据双曲线的对称性，可假设在第一象限，设，则，
所以，，在中，根据余弦定理：，即，解得：，所以
故选：D
31．BCD
【分析】对于A，根据题意可得，从而可进行判断，对于B，根据双曲线的性质和内切圆的性质分析计算，对于C，由已知结合双曲线的定义可求出，再利用椭圆的定义可求出，从而可求出离心率，对于D，利用勾股定理和双曲线的性质列方程可求出，从而可求出，进而可求出椭圆方程.
【详解】由双曲线的方程，可知，所以，故A不正确；
由双曲线的定义，可知，设切点为，由内切圆的性质，可得，又，所以，故的内切圆与轴相切于点，（双曲线的焦点三角形的内切圆与轴相切于点）．故B正确；
因为，，所以，所以，即，所以的离心率为，故C正确．
因为，所以，又，所以，即，
所以，所以，
所以，又，所以，椭圆的方程为．故D正确．
故选：BCD
32．BC
【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.
【详解】设点．因为双曲线，所以．
又，所以，故A错误．
将代入得，得．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
在中，，且，
则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得，所以，故D错误．
故选：BC．
33．ABC
【分析】结合边长关系和双曲线定义可判断A选项；
在和△中运用余弦定理可得离心率e；
在△中利用余弦定理求，再求，由可得AB斜率；
若原点在以为圆心，为半径的圆上，分析是否与已知边长关系是否符合，即可判断D选项﹒
【详解】如图：

设，则，
由双曲线的定义知，，即；，
即，
∴，即有，故选项A正确；
由余弦定理知，在中，，
在△中，，
化简整理得，，
∴离心率，故选项B正确；
在△中，，
，∴，
∴根据双曲线的对称性可知，直线的斜率为，故选项C正确；
若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，与不符，故选项D错误．
故选：ABC．
34．AC
【分析】由题意可设双曲线的方程为，再将点代入方程可求出的值，从而可得双曲线方程，然后逐个分析判断
【详解】由题意可设双曲线的方程为，
把点代入上式得双曲线的方程为
所以双曲线的虚轴长为4；等轴双曲线的两条渐近线互相垂直；且渐近线方程为:，焦点坐标分别为，，故焦点到渐近线距离为2；
由双曲线定义可知的周长为，
所以BD错.
故选：AC
35．CD
【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.
【详解】对于A：若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：
二者联立解得：.故A错误；
对于B：光由所经过的路程为.

故B错误；
对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.

故C正确.
对于D：设直线PT的方程为.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.
故D正确
故选：CD
36．BCD
【分析】A：离心率e＝；
B：焦点在y轴上的双曲线渐近线为；
C：设，则根据双曲线定义得，根据勾股定理得，由此求出mn，；
D：设，则，根据点到直线距离公式求出点P到两渐近线的距离乘积即可.
【详解】由双曲线的标准方程可知：
，，，
A：，故A错误；
B：渐近线为，故B正确；
C：设，
则，
，故C正确；
D：设，则，
双曲线渐近线为：，，
∴点P到两渐近线的距离乘积为，故D正确.
故选：BCD.
37．ABD
【分析】对于A选项，根据条件及双曲线的定义得出且，化简运算即可判断A；对于B选项，在中，由条件可求出，，并结合双曲线的定义，从而可求出离心率，即可判断B；对于C选项，先求出的周长为，设的内切圆为，再根据三角形的等面积法得出，从而可判断C；对于D选项，根据条件可设，结合离心率得出，再利用两点坐标求斜率的公式，化简计算求出的值，从而可判断D.
【详解】解：对于A，如图所示，直线的倾斜角为，且轴，
则且，所以，故A正确；
对于B，在中，，直线的倾斜角为，
则，，
所以，得，故B正确；

对于C，的周长为：，
设的内切圆为，根据三角形的等面积法可知，
，解得：，
所以是与有关的式子，故C错误；
对于D，由于A，关于原点对称，可设，
根据，得，
所以当斜率存在时，，
因为A，在双曲线上，所以，即，得：，
所以，故D正确.
故选：ABD.
38．BC
【分析】渐近线与的交点为关于直线的对称点为，连接，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，求得，再计算可得．
【详解】如图所示，双曲线的左焦点为，右焦点为，由对称性，取一条渐近线， 关于渐近线的对称点为，

直线与线段的交点为，连接，因为点与关于直线对称，
则，且为的中点，所以，
根据双曲线的定义，有，故A不正确；
，即，
所以，故B正确；
易知是以为直角的直角三角形，所以，故C正确；
由于，所以渐近线方程为，故D不正确.
故选：BC
39．
【分析】设圆切、、分别于点、、，分析可知直线的倾斜角取值范围为，推导出圆、圆的半径、满足，求得，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】双曲线的，，，渐近线方程为，两渐近线倾斜角分别为和.
设圆切、、分别于点、、，

过的直线与双曲线的右支交于、两点，可知直线的倾斜角取值范围为，
由切线长定理可得，，，
所以，
，则，所以点的横坐标为.
故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴，
故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.
在中，，，
，，所以，，
所以，，则，
所以，
即，则，
由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为，
则，
故，
则，其中，
令，其中，则在单调递减，在单调递增.
因为，，则当时，，
故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线焦点三角形内切圆面积和的取值范围的求解，在涉及焦点三角形的问题时，应充分利用双曲线的定义以及圆的几何性质，解本题的关键在于确定两圆的半径所满足的关系式，结合函数的值域来求解.
40．或9##9或
【分析】由双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上，然后分和两种情况求解即可
【详解】由，得，则，
所以，
由双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上，
若时，当时，，得，所以，
所以的面积为，
当时，则，
因为，
所以，
所以，
所以的面积为，
综上所述，的面积为或9，
故答案为：或9，
41．
【分析】设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.
【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图，

由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，
联立可得，，
由余弦定理可得：
即，解得，
因为，所以，，可得，
故，
故答案为：
42．
【分析】根据双曲线的定义可得，，再由离心率可得，在中，，，由即可得出答案.
【详解】如图，由题意可得，

因为为的中点，，所以,
所以，，
双曲线：（，）的离心率为2，，
故在中，，，
.
故答案为：
43．
【分析】根据以为直径的圆与C交于点B，得到，再由，设，，，然后利用双曲线的定义和勾股定理求解.
【详解】因为以为直径的圆与C交于点B，
所以，.
设，
则，.
因为A，B是C上的点，
所以，
则，.
在中，，即，
则，
所以C的离心率为.
故答案为：
44．##
【分析】设，，，利用双曲线的定义可得，作出图形，结合图形分析，可知与直线的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，即求.
【详解】设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，

设，，，设的内切圆为圆，
由双曲线的定义可得，得，
由此可知，在中，轴于点，同理可得轴于点，
所以轴，
过圆心作的垂线，垂足为，
因为，
所以，
∴，即
∴，即
故答案为：.
【点睛】关键点点睛，得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等，计算即得.
45．(1)，
(2)12

【分析】（1）由双曲线上的点及其焦点求参数a、b，写出双曲线方程、渐近线方程.
（2）首先判断直线AB与双曲线交点的位置，再根据定义可得，联立直线AB与双曲线方程，应用相交弦的弦长公式求，即可求的周长.
(1)
∵，
∴轴，则且
又，即，解得：，
∴
∴双曲线的标准方程为：，双曲线渐近线方程为.
(2)
由（1）知，双曲线渐近线为，倾斜角为
直线AB过且倾斜角为，
∴A，B均在双曲线的右支上，则，
∴
设直线AB方程为：，代入双曲线方程得：，
∴，
∴的周长为：.
46．(1)9
(2)

【分析】（1）由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2．由双曲线定义得|r1－r2|=2a＝4，由此可求得三角形的面积.
（2）若∠F1MF2＝120°，在中，运用余弦定理求得r1r2＝12，由此可求得三角形的面积.
(1)
由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，|F1F2|=，
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2．由双曲线定义得|r1－r2|=2a＝4，
两边平方得，即|F1F2|2－4＝16，即4＝52－16，
所以＝9．
(2)
由（1）知，若∠F1MF2＝120°，在中，由余弦定理得|F1F2|2＝，
|F1F2|2＝(r1－r2)2＋3r1r2，所以r1r2＝12，
则＝r1r2sin120°＝．
47．（1）；（2）.
【分析】（1）运用联立方程法结合弦长公式求解即可；
（2）根据（1）中的结果，结合双曲线的定义，列等式可求解三角形的周长.
【详解】解：（1）由双曲线的方程得，，设
直线的方程为
将其代入双曲线方程消去y得，，得，
；
（2）由题意不妨设点A在双曲线的左支上，则的周长可表示为：
．
根据双曲线的定义，


由方程解得点A的坐标为（-3，），所以


48．(1)和；
(2).

【分析】（1）设椭圆长半轴长为a，利用给定条件列式计算出a，再结合半焦距即可求解作答.
（2）由椭圆、双曲线对称性确定点N位置，再由椭圆、双曲线定义结合余弦定理计算作答.
(1)
依题意，椭圆与双曲线的半焦距，设椭圆长半轴长为a，则双曲线实半轴长为，
则椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，于是得，解得，
因此，椭圆长半轴长为8，短半轴长为，双曲线实半轴长为2，虚半轴长为，
所以椭圆和双曲线的方程分别为：和.
(2)
由椭圆、双曲线的对称性，不妨设点N在第一象限，分别为左右焦点，
由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得：，解得，，
而，在中，利用余弦定理可得：,
所以.
49．（1）2；（2）；（3）.
【分析】(1)根据三角形内心的意义作出三角形的内切圆，利用圆的切线性质即可得解；
(2)设直线l的斜率为k，写出其方程，联立直线l与双曲线C的方程，消元得一元二次方程，借助韦达定理及斜率坐标公式列式计算即得；
(3)设出点，由此可得点G坐标，再由三角形面积及双曲线定义求，然后列式计算即可作答.
【详解】(1)依题意，双曲线C的焦点，作出的内切圆，I为圆心，切点分别为S，K，T，如图：

设点I的横坐标为t，显然x轴，，
由双曲线定义知，解得，
所以内心I的横坐标为2；
(2)点，显然直线l不垂直于x轴，否则由双曲线对称性得，
设直线l的斜率为k，则直线l：，
由消去y得：，
显然，设，，
则
，
解得，即直线l：，
所以直线l的方程为；
(3)设点，则的重心，
因，则，而，
，
又，联立解得，
从而有，解得 ，即点，
所以点P的坐标为.
【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、面积定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．
50．(1)
(2)证明见解析.

【分析】（1）将点，代入双曲线方程，解出，得到答案.
（2）设直线的倾斜角为，由双曲线的定义可得出，在在中由余弦定理可得处，同理得出的长，从而可得答案.
(1)
由点在上，有，解得
由点在上，有，即，即
所以
所以双曲线的方程为：
(2)
由AF1//BF2，设直线的倾斜角为，如图，连接
由双曲线的定义可得，又
在中由余弦定理可得：
即
所以
在中，，同理可得
所以
所以为定值.