微专题 同一函数 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 同一函数 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共26页。

微专题：同一函数
【考点梳理】
判定两个函数是否为同一个函数，主要看定义域和对应法则（函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定），只有定义域与对应法则相同的函数才是同一个函数，与函数的自变量名称无关.（处理此类问题的关键是求出两个函数的定义域，如果不同，则为不同函数，如果相同，再分析其解析式，经过等价变形后两个是否相同，不同则是不同函数，相同则是相同的函数.）
注：两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关．

【题型归纳】
题型一： 判断两个函数是否相等
1．下面各组函数中是同一函数的是（       ）
A．与
B．与
C．与
D．与
2．下列函数与是同一个函数的是（       ）
A． B． C． D．
3．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（       ）
A．，
B．，
C． ，
D．，




【双基达标】
4．下列各组函数与的图象相同的是（       ）
A．与
B． 与
C． 与
D．与
5．下列四组函数中，与表示同一函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
6．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（       ）
A． B．
C． D．
7．下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
8．下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
9．下列各组函数中，表示同一函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
10．下列选项中，表示的是同一函数的是（       ）
A． B．
C． D．
11．下列函数与函数y＝x是同一函数的是（       ）
A．y＝|x| B．y＝ C．y＝ D．y＝
12．下列各组中的两个函数是同一函数的个数为（       ）
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，.
A． B． C． D．
13．下列函数中，表示同一个函数的是（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
14．下列各组函数中，为同一函数的是（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
15．下列各组方程中表示相同曲线的是（　　）
A．y=x， B．|x|=|y|，x2=y2
C．， D．y=x，
16．下列各组函数是同一函数的是（       ）
①与．②与．③与．④与．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
17．下列函数与函数相同的是（       ）
A． B． C． D．
18．下列函数中，与函数相等的是（       ）
A． B． C． D．
19．下列四组函数中，表示同一函数的是（　　）
A．y＝x﹣1与y B．y与y
C．y＝|x|与y D．y＝x与y
20．下列各组函数中，表示同一函数的是（       ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，

【高分突破】
一、 单选题
21．下列函数中，不满足的是（       ）
A． B．
C． D．
22．下列函数中，与函数相同的是（       ）
A． B．
C． D．
23．下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ）
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2
D．f（x）＝和g（x）＝
24．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
25．下列四组函数中，表示同一函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
26．下列函数中，表示同一个函数的是（       ）
A．y=x2与y=()4
B．y=x2与y=t2
C．y=与y=
D．y=·与y=
27．下列命题为真命题的是（       ）
A．函数与函数是同一函数
B．设，则“”是“”的必要而不充分条件
C．函数的最小值为2
D．命题“”的否定是“”
二、多选题
28．下列各组函数是同一函数的是（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
29．下列各组函数是同一个函数的是（       ）
A． 与
B．与
C．与
D．与
30．下列各组函数表示同一函数的是（       ）
A．，
B．，
C．，
D．，
31．下列各组函数中表示同一个函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空题
32．下列四个判断正确的是______(写出所有正确判断的序号.)
①函数是奇函数，但不是偶函数；
②函数与函数表示同一个函数；
③已知函数图象的一条对称轴为，则的值为；
④设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的值为.
33．已知函数，，若存在函数满足：，学生甲认为函数一定是同一函数，乙认为函数一定不是同一函数，丙认为函数不一定是同一函数，观点正确的学生是_________.
34．下列各组函数是同一个函数的是______（填序号）.
①与；
②与；
③与.
35．下列各组中两函数相等的有____.
①
②
③
④
36．下列函数中，表示同一函数的是________.
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
37．有以下判断：
（1）与表示同一函数.
（2）函数的图像与直线x=1的交点最多有1个.
（3）与是同一函数.
（4）若 ，则
（5）则
其中错误判断的序号是 __________________________ .
四、解答题
38．判断下列各组中的两个函数是不是相同的函数
（1），；
（2），.
39．下列函数中哪个与函数是同一个函数？
（1）；（2）；（3）；（4）.
40．判断下列各组函数是否为同一个函数：
（1）；
（2），；
（3）．
41．已知函数和，设.
（1）求函数；
（2）求和的值；
（3）求的值；
（4）若函数，试判断与是否为同一函数，并说明理由.
42．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：
（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数和二次函数；
（2）和.

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.
【详解】
A．函数的定义域为，，
两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，
B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数
C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数
D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
故选：C．
2．A
【解析】
【分析】
根据同一函数的定义判断.
【详解】
的定义域为R，
A. ，且定义域为R，故正确；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，故错误；
故选：A
3．C
【解析】
【分析】
根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
【详解】
解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
4．D
【解析】
【分析】
若两个函数图象相同则是相等函数，分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：由可得，所以 的定义域为，由可得：或，所以的定义域为或，定义域不同不是相等函数，函数图象不相同，故选项A不正确；
对于B：的定义域为，的定义域为，定义域不同不是相等函数，函数图象不相同，故选项B不正确；
对于C：的定义域为，的定义域为，定义域不同不是相等函数，函数图象不相同，故选项C不正确；
对于D：对去绝对值可得，所以，所以与函数图象相同，故选项D正确；
故选：D.
5．B
【解析】
【分析】
根据函数的定义：判断定义域是否相同，定义域相同时，对应法则是否相同，由此可得结论．
【详解】
四个选项中函数的定义域都是实数集，AC选项中函数的定义域是，
D选项迥函数定义域是，定义域不相同，不是同一函数，
B选项定义域是，根据绝对值的定义知对应法则也相同，是同一函数．
故选：B．
6．A
【解析】
【分析】
判断两函数的定义域与函数关系式是否一致即可；
【详解】
解：．和的定义域都是，对应关系也相同，是同一函数；
的定义域为，的定义域为，，定义域不同，不是同一函数；
的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
的定义域为，的定义域为或，定义域不同，不是同一函数．
故选：．
7．D
【解析】
【分析】
根据定义域和对应关系是否一致一一判断即可.
【详解】
A.的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数；
B.的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数；
C.，，对应关系不同，不是同一个函数；
D.和的定义域和对应关系都相同，是同一个函数.
故选：D.
8．D
【解析】
【分析】
分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项.
【详解】
对于A：定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项A不正确；
对于B：定义域为，的定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项B不正确；
对于C：的定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项C不正确；
对于D：由可得，解得：，所以的定义域为，由可得，所以函数的定义域为且，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D正确，
故选：D.
9．C
【解析】
【分析】
根据相等函数的定义一一判断可得；
【详解】
解：对于A：定义域为，定义域也为，但是函数解析式不一致，故不是相等函数；
对于B：定义域为，函数定义域为，定义域不相同，故不是相等函数；
对于C：函数的定义域为，函数的定义域也为，且，即函数解析式一样，故是相等函数；
对于D：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，
故选：C
10．C
【解析】
【分析】
求得每个选项中不同函数的定义域，结合对应关系，即可容易判断.
【详解】
选项A：函数的定义域为全体实数，而函数的定义域为全体非负实数，
故这两个函数不是同一函数；
选项B：虽然两个函数的定义域和值域相同但是它们的对应关系不同，
故这两个函数不是同一函数；
选项C：根据绝对值性质可知：，两个函数定义域和值域相同，对应关系也相同，
故这两个函数是同一函数；
选项D：函数的定义域为，函数的定义域为或}，
故这两个函数不是同一函数.
故选：C
【点睛】
本题考查函数相等的判断，属简单题.
11．B
【解析】
【分析】
通过分析四个选项中函数的定义域和对应关系可得答案.
【详解】
对于A，，对应关系不同，与函数y＝x不是同一函数；
对于B，，与函数y＝x的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数；
对于C，，对应关系不同，与函数y＝x不是同一函数；
对于D，，与函数y＝x的定义域不同，所以与函数y＝x不是同一函数.
故选：B
12．A
【解析】
【分析】
求出①②③④⑤中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的概念判断可得出结论.
【详解】
对于①，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，①中的两个函数不是同一个函数；
对于②，对于函数，有，解得，
对于函数，有，解得或，
函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，②中的两个函数不是同一个函数；
对于③，，两个函数对应法则不同，③中的两个函数不是同一函数；
对于④，函数、的定义域均为，
且，④中的两个函数是同一个函数；
对于⑤，对于函数，有，可得，即函数的定义域为，
函数的定义域为，两个函数的定义域不同，⑤中的两个函数不是同一个函数.
故选：A.
13．D
【解析】
【分析】
根据函数的定义，只有两个函数的定义域和对应法则相同，这两个函数才相同，由此对选项一一判断，即可得到结果．
【详解】
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，故选项中的函数不是同一函数；
对于，函数，故对应法则不相同，故选项中的函数不是同一函数；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，故选项中的函数不是同一函数；
对于，这两个函数的定义域和对应法则都相同，故选项为同一函数．
故选：．
14．C
【解析】
【分析】
根据相等函数的概念依次判断选项即可.
【详解】
A：的定义域为，
的定义域为，故A中的两个函数不是同一函数；
B：的定义域为，
的定义域为，故B中的两个函数不是同一函数；
C：，定义域为R，
的定义域为R，故C中的两个函数是同一函数；
D：与的解析式不同．所以D中的两个函数不是同一函数．
故选：C．
15．B
【解析】
【分析】
结合所给的解析式逐一考查所给的曲线是否相同即可.
【详解】
逐一考查所给的选项：
A选项中，包含坐标原点，中不包含坐标原点，不是同一条曲线；
B选项中的方程表示同一条曲线；
C选项中，包含点（-2，-2），不包含点（-2，-2），不是同一条曲线；
D选项中，包含点（-1，-1），中不包含坐标原点（-1，-1），不是同一条曲线.
故选：B.
16．C
【解析】
【分析】
根据函数的概念可知同一函数需满足定义域和对应关系均相同，因此结合题目逐个分析即可得到结果.
【详解】
对于①，的定义域为，的定义域为，所以，则与的定义域相同，但对应关系不同，则不是同一函数；
对于②，所以与的对应关系不同，则不是同一函数；
对于③的定义域为，的定义域为，且，，因此函数与的定义域和对应关系均相同，则是同一函数；
对于④的定义域为，的定义域为，因此函数与的定义域和对应关系均相同，则是同一函数；
故选：C.
17．B
【解析】
【分析】
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数．
【详解】
解：对于A，函数，，与函数，的对应关系不同，不是相同函数；
对于B，函数，，与函数，的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于C，函数，，与函数，的定义域不同，不是相同函数；
对于D，函数，，与函数，的对应关系不同，不是相同函数．
故选：B．
18．B
【解析】
【分析】
函数相等需满足定义域，解析式，值域均相等，结合选项逐个分析即可.
【详解】
A：，所以不相等；
B：，所以相等；
C：，因为定义域不同，所以不相等；
D：，因为定义域不同，所以不相等.
故选：B.
19．C
【解析】
【分析】
根据同一函数的定义，结合二次根式的性质进行逐一判断即可.
【详解】
解：对于A，y＝x﹣1的定义域为R，y|x﹣1|的定义域为R，两函数的对应关系不同，不是同一函数；
对于B，yx+1的定义域为R，yx+1的定义域为（﹣1，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于C，y＝|x|的定义域为R，y|x|的定义域为R，两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，y＝x的定义域为R，yx的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数．
故选：C
20．D
【解析】
【分析】
根据函数的定义域和同一函数的定义逐一判断可得选项.
【详解】
解：对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于B：，，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于D：对应点的坐标为，，，对应点的坐标为，，，两个函数对应坐标相同，是同一函数，
故选：D．
21．C
【解析】
【分析】
根据选项，代入分别求，判断是否满足.
【详解】
若，则，故A满足；
若，则，故B满足；
若，则，而，故不满足，故C不满足；
若，则，故D满足；
故选：C.
【点睛】
本题考查函数解析式，复合函数解析式的求法，属于基础题型.
22．C
【解析】
【分析】
根据函数的定义判断．注意对数函数的性质．
【详解】
解：由题意，函数的定义域为．
对于A：定义域为他们的定义域不相同，∴不是同一函数；
对于B：定义域为他们的定义域不相同，∴不是同一函数；
对于C：，定义域为，他们的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；
对于D：定义域为，他们的定义域不相同，∴不是同一函数；
故选：C．
23．D
【解析】
【分析】
根据函数的定义域、对应关系可逐项判断可得答案.
【详解】
y＝x－1的定义域为，y＝的定义域为，函数定义域不同，A错误；
y＝x0的定义域为，y＝1的定义域为，函数定义域不同，B错误；
f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2的定义域都为，但是两函数的对应关系不同，故C错误；
f（x）＝的定义域为，g（x）＝的定义域为，故D正确.
故选：D.
24．A
【解析】
【分析】
依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.
【详解】
对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
25．B
【解析】
【分析】
根据函数的定义域与对应法则判断．
【详解】
A中定义域是，定义域是，定义域不相同，不是同一函数；
B中两个函数定义域都是，对应法则都是取绝对值，是同一函数；
C中定义域是，定义域是，定义域不相同，不是同一函数；
D中定义域是，定义域是或，定义域不相同，不是同一函数．
故选：B．
26．B
【解析】
【分析】
用函数三要素判断.
【详解】
对于A：y=x2的定义域为R，y=()4的定义域为[0，+∞)，定义域不同，不是同一个函数；
对于B：y=x2与y=t2显然是同一个函数；
对于C： y=的定义域为{x|x≠0}，的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；
对于D：y=·的定义域为[1，+∞)，y=的定义域为(-∞，-1]∪[1，+∞)，定义域不同，不是同一个函数.
故选：B.
27．B
【解析】
【分析】
分析函数定义域判断A；利用充分条件、必要条件定义判断B；利用对勾函数性质计算判断C；利用全称量词命题的否定判断D作答.
【详解】
对于A，的定义域为R，的定义域为，A不正确；
对于B，解不等式得，，有Ü，则“”是“”的必要而不充分条件，B正确；
对于C，令，函数在上递增，，因此，C不正确；
对于D，命题“”的否定是“”，D不正确.
故选：B
28．CD
【解析】
【分析】
根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】
对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；
对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；
对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；
对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.
故选：CD
29．AB
【解析】
【分析】
分别判断每组函数的定义域和对应关系是否相同即可.
【详解】
A中，，定义域为，与的定义域及对应关系均相同，是同一个函数；
B中，，定义域为R，与的定义域及对应关系均相同，是同一个函数；
C中，的定义域为，而的定义域为R，所以不是同一个函数；
D中，的定义域为或，而的定义域为，所以不是同一个函数.
故选：AB.
30．AC
【解析】
【分析】
根据函数的定义判断．
【详解】
A中定义域是，定义域是，且，是同一函数；
B中定义域是，定义域是，但，不是同一函数；
C中定义域是，定义域是，且，是同一函数；
D中定义域是，定义域是，不是同一函数．
故选：AC．
31．AB
【解析】
【分析】
确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断．
【详解】
A中两个函数定义域都是，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；
B中两个函数定义域都是，对应法则都是取平方，是同一函数；
C中定义域是，的定义域是，不是同一函数；
D中的定义域是，的定义域是，不是同一函数．
故选：AB．
32．②③
【解析】
直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的恒等变换正弦型函数性质的应用，对数函数的性质的应用，函数的图象的应用求出结果．
【详解】
解：①函数，由于，，所以该函数既是奇函数，又是偶函数，故①错误；
②函数与函数，所以这两个函数表示同一个函数，故②正确；
③已知函数图象的一条对称轴为，
∴为函数的最大值或最小值，
∴，解得，故③正确；
④设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，
根据函数的图象：

所以，故，
由于，，整理得，
则的值为，故④错误；
故答案为：②③．
【点睛】
本题主要考查的知识要点有：函数的性质的应用，三角函数关系式的恒等变换正弦型函数性质的应用，对数函数的性质的应用，函数的图象的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
33．甲
【解析】
【分析】
由题意求出的解析式,依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同,即可得出结论.
【详解】
,,
,
,
,
,
解得,
所以.
故答案为:甲
【点睛】
本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析式和定义域是求解本题的关键;属于易错题;
34．②
【解析】
【分析】
分别判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可.
【详解】
，，对应关系不同，故与不是同一个函数；
（），（），对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；
，，对应关系不同，故与不是同一个函数.
故答案为：②
35．④
【解析】
分别看的定义域和解析式是否相同即可.
【详解】
对于①，的定义域都为，但解析式不一样，故不相等；
对于②，的定义域为，的定义域为，故不相等；
对于③，的定义域为，的定义域为，故不相等；
对于④，的定义域都为，且解析式可化为一样，故相等；
故答案为：④
36．（1）
【解析】
根据两函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同，对选项进行逐一判断..
【详解】
解：（1），，函数的定义域相同，对应法则相同，所以是相同的函数.
（2）的定义域是，的定义域是；两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数.
（3）的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数；
（4）的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数.
故答案为： （1）
37．(1), (4), (5).
【解析】
【分析】
根据相同函数的定义，判断（1）（3）是否正确.根据函数的定义判断（2）是否正确.根据函数值的求法，判断（4）是否正确.根据对数运算以及对数的性质，判断（5）是否正确.
【详解】
对于（1），的定义域为，的值域为，故不是同一函数，（1）判断错误.
对于（2），根据函数的定义可知（2）正确.
对于（3），由于、的定义域、值域和对应关系都相同，所以是同一函数，故（3）正确.
对于（4），，故（4）错误.
对于（5），显然，当时，，所以（5）错误.
故答案为：(1), (4), (5)
【点睛】
本小题主要考查函数的定义，考查相同函数的概念，考查函数值的求法，考查对数函数的性质，属于基础题.
38．（1）不是相同的函数（2）不是相同的函数
【解析】
【分析】
（1）分别计算两个函数定义域，判断不相同，得到答案.
（2）分别计算两个函数定义域，判断不相同，得到答案.
【详解】
（1）的定义域为，而的定义域为R两函数定义域不同，所以不是相同的函数.
（2）的定义域为，而的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是相同的函数.
【点睛】
本题考查了相同函数，判断定义域是解题的关键.
39．（1）不是同一个函数；（2）同一个函数；（3）不是同一个函数；（4）不是同一个函数.
【解析】
根据函数相同概念，需满足定义域、值域、对应法则相同即可，据此依次判断每个函数是否与已知函数相等即可.
【详解】
（1），
它与函数虽然对应关系相同，
但是定义域不相同，
所以这个函数与函数不是同一个函数.
（2），
它与函数不仅对应关系相同，
而且定义域也相同，
所以这个函数与函数是同一个函数.
（3）
它与函数的定义域都是实数集R，
但是当时，它的对应关系与函数不相同.
所以这个函数与函数不是同一个函数.
（4），
它与函数的对应关系相同但定义域不相同.
所以这个函数与函数不是同一个函数.
【点睛】
本题考查判断两个函数是否为同一函数，构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．因此，两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数．如果定义域、值域、对应法则有一个不同，函数就不同，属于基础题.
40．（1）不是；（2）是；（3）不是
【解析】
当一组函数定义域与对应关系均相同时即为同一函数,以此为依据进行判断即可
【详解】
（1）因为的定义城为,而的定义城为R,所以与不是同一个函数；
（2）因为与的定义域均为R,所以定义域相同,
又,所以与是同一个函数；
（3）因为与的定义城均为R,所以定义域相同,
又,所以与不是同一个函数
【点睛】
本题考查同一函数问题,属于基础题
41．（1）；（2）；不存在；（3）当时，；当时，不存在；（4）和不是同一函数，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）先由的定义域可得的定义域，然后求解；
（2）把代入可得,没有意义；
（3）分类讨论与定义域的关系，可得的值；
（4）从定义域和解析式的特征进行判定.
【详解】
（1）.
∵的定义域为的定义域为，
∴的定义域为与的定义城的交集，即.
∴.
（2）∵，∴.
∵，∴不存在.
（3）当时，即当时，；
当时，即当时，不存在.
（4）和，虽然函数解析式相同，但是定义域不同，前者定义域R，后者定义域为.
所以和不是同一函数.
【点睛】
本题主要考查函数的解析式及定义域，同一函数的判定等，函数定义域是函数不可缺失的一部分，求解时应该遵循定义域优先的策略，侧重考查数学抽象的核心素养.
42．（1）不相等，理由见解析；（2）不相等，理由见解析.
【解析】
分别判断函数定义域和对应法则是否相同，相同则为同一函数，不同则不是同一函数.
【详解】
（1）不相等，前者的定义域为，而后者的定义域为R.
（2）不相等，前者的定义域为R，而后者的定义域为.
【点睛】
本题考查判断两个函数是否为同一函数，两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数，如果定义域、值域、对应法则有一个不同，函数就不同，注意中，属于基础题.