微专题 象限角与终边相同的角 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 象限角与终边相同的角 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共24页。

微专题：象限角与终边相同的角
【考点梳理】
1. 任意角
(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角. 任意角包括正角、负角和零角.
(2)角的相等：设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成. 如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
(3)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角. 为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角).
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.



【题型归纳】
题型一：终边相同的角
1．与终边相同的角是（       ）
A． B． C． D．
2．把表示成，的形式，则的值可以是（       ）
A． B． C． D．
3．下列与角的终边一定相同的角是（       ）
A． B．
C． D．

题型二：确定已知角所在象限
4．若角的终边在轴的负半轴上，则角的终边在（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．轴的正半轴上 D．轴的负半轴上
5．若是第四象限角，则是第（     ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
6．已知角，则角的终边落在（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

题型三：确定n倍角所在象限
7．已知，且是第二象限角，那么的终边在（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．已知是锐角，那么是（       ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
9．的终边在第三象限，则的终边可能在（       ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴


题型四：确定n分角所在象限
10．已知角θ在第二象限，且，则角在（       ）
A．第一象限或第三象限
B．第二象限或第四象限
C．第三象限
D．第四象限
11．已知是第二象限角，则（       ）
A．是第一象限角 B．
C． D．是第三或第四象限角
12．若角是第一象限角，则是（       ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角


【双基达标】
13．已知，下列各组角中，终边相同的是（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
14．终边与直线重合的角可表示为（       ）
A． B．
C． D．
15．若α是第一象限的角，则是（       ）
A．第一象限角 B．第四象限角
C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角
16．与1°角终边相同的角的集合是（       ）
A． B．
C． D．
17．下列各角中，与2019°终边相同的角为（       ）
A．41° B．129° C．219° D．﹣231°
18．已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为（     ）
A． B． C． D．
19．若角与角的终边关于y轴对称，则必有（       ）
A． B．
C． D．
20．角的终边落在（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．下列与的终边相同的角的集合中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
22．下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角的终边经过点，则角是第三或第四象限角，其中错误的是（       ）
A．③④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤
23．在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线对称，若，则（       ）
A． B． C． D．
24．是以下哪个象限的角（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
25．若，则的终边在（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第一象限或第二象限 D．以上答案都不正确
26．“角小于”是“角是第一象限角”的（       ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
27．已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（       ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
28．若α＝－2，则α的终边在（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
29．若，则（       ）
A． B．
C． D．
30．所有与角的终边相同的角可以表示为，其中角（       ）
A．一定是小于90°的角 B．一定是第一象限的角
C．一定是正角 D．可以是任意角

【高分突破】
一、 单选题
31．θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（       ）
A．sin B．cos C．sin 2θ D．cos 2θ
32．与800°角终边相同的角可以表示为（       ），．
A． B．
C． D．
33．角和满足关系：，则角与的终边（       ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上答案都不对
34．3弧度的角终边在（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
35．设是第一象限角，且，则是第（       ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
36．设是第三象限角，且，则是（       ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
37．若角与角的终边关于轴对称，则（       ）.
A．() B．()
C．() D．()
二、多选题
38．下列说法正确的有（       ）
A．若，则为第二象限角
B．经过60分钟，钟表的分针转过弧度
C．
D．终边在轴上的角的集合是
39．(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（       ）
A．) B．()
C．() D．()
40．若且与角的终边垂直，则是（       ）
A． B． C． D．
41．关于角度，下列说法正确的是（       ）
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若是第二象限角，则是第一或第三象限角
三、填空题
42．下列说法中正确的序号有________．
①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
43．设，若是与终边相同的最小正角，则_______．
44．若角与的终边关于轴对称，则角的集合是______．
45．用弧度制表示所有与终边相同的角的集合是______________.
46．若是第四象限，则是第__．
47．已知锐角的终边与角的终边关于轴对称，且，则_______．
四、解答题
48．写出与终边相同的角的集合，并求出该集合中适合不等式的角．
49．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3）的角.
50．已知，求，并指出角终边的位置．
51．在与495°角终边相同的角中，用弧度制表示满足下列条件的角.
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)在区间内的角.
52．写出在到之间与的角终边相同的角.

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
与终边相同的角可表示为.
【详解】
∵，
∴与终边相同的角是.
故选：D
2．B
【解析】
【分析】
由结合弧度制求解即可.
【详解】
∵，∴
故选：B
3．C
【解析】
【分析】
根据 表示终边相同角，即可判断．
【详解】
对于选项C：与角的终边相同的角为，C满足.
对于选项B ：当时， 成立；
当时，不成立.
对于选项D：不成立.
故选: C
4．A
【解析】
【分析】
由题意可得，继而表示出，即可判断角的终边所在象限，可得答案.
【详解】
由角的终边在轴的负半轴上可知，,
故，
而在第一象限内，故角的终边在第一象限，
故选：A
5．B
【解析】
【分析】
由题可得，，即得答案.
【详解】
是第四象限角，则，，
则，，在第二象限.
故选：B.
6．C
【解析】
【分析】
利用象限角的定义判断可得出结论.
【详解】
因为，而是第三象限角，故角的终边落在第三象限.
故选：C.
7．C
【解析】
【分析】
根据象限角和任意角三角函数的概念，以及倍角公式，进行判断即可.
【详解】
由是第二象限角，
所以，
所以，
由，所以，
所以为第三象限角.
故选：C
8．C
【解析】
【分析】
由题知，故，进而得答案.
【详解】
因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角.
其中D选项不包括，故错误.
故选：C
9．C
【解析】
根据题意得出，求出的范围，据此可判断出角的终边的位置.
【详解】
由于的终边在第三象限，则，
所以，，
因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴.
故选：C.
【点睛】
本题考查角的终边位置的判断，一般利用不等式来判断，考查推理能力，属于基础题.
10．C
【解析】
【分析】
由题可得角在第一或第三象限，再结合三角函数值的符号即得.
【详解】
∵角θ是第二象限角，
∴θ∈，
∴，，
∴角在第一或第三象限，
∵，∴，
∴角在第三象限.
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
由已知可求，，，，逐项分析即可得解．
【详解】
∵是第二象限角，
∴，，即，，
∴是第一象限或第三象限角，故A错误；
由是第一象限或第三象限角，或，故B错误；
∵是第二象限角，
∴，，
∴，，
∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误.
故选：C．
12．C
【解析】
【分析】
根据题意得，分为偶数和奇数求解即可.
【详解】
因为是第三象限角，所以，
所以，
当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角.
故选：C．
13．B
【解析】
【分析】
利用终边相同的角的概念，对选项进行分析即可解得.
【详解】
A不是终边相同的角，终边在x轴的正半轴上，终边在x轴轴上；
B是终边相同的角；
C不是终边相同的角 终边落在直线上， 终边落在   两条射线上；
D不是终边相同的角，终边落在坐标轴上，终边落在y轴上.
故选：B
【点睛】
本题考查了终边相同的角的概念，属于简单题目，解题时可以应用排除法，对k取值进行比较验证.
14．A
【解析】
【分析】
根据终边相同的角的概念，简单计算即可.
【详解】
终边与直线重合的角可表示为．
故选：A.
15．D
【解析】
【分析】
根据题意求出的范围即可判断.
【详解】
由题意知，，，
则，所以，．
当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．
所以是第二或第四象限角.
故选：D.
16．C
【解析】
【分析】
角的表示方法不一致，排除A， D；选项B表示错误；根据终边相同的角的公式得选C．
【详解】
解：角的表示方法要保持一致，排除A， D；
选项B表示错误；
而180°角与角对应，于是1°角与角对应，根据终边相同的角的公式得选C．
故选：C
17．C
【解析】
【分析】
根据可得答案.
【详解】
因为，
所以与2019°终边相同.
故选：C.
【点睛】
本题考查了求终边相同的角，属于基础题.
18．D
【解析】
【分析】
先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值．
【详解】
因为，，
所以角的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知
，
故角的最小正值为．
故选：D．
19．D
【解析】
根据角与角的终边关于y轴对称，有，即可得解.
【详解】
角与角的终边关于y轴对称，
所以，
，
即，
故选：D
【点睛】
此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解.
20．D
【解析】
【分析】
根据周期性知与终边相同，即知终边所在的象限.
【详解】
由，即与终边相同，
∴在第四象限.
故选：D
21．C
【解析】
【分析】
由任意角的定义判断
【详解】
，故与其终边相同的角的集合为或
角度制和弧度制不能混用，只有C符合题意
故选：C
22．C
【解析】
【分析】
①取特殊角：与进行判断；
②根据锐角的范围直接判断；
③取负角进行否定；
④取特殊角进行否定；
⑤取特殊角进行否定．
【详解】
①终边相同的角必相等错误，如与终边相同，但不相等；
②锐角的范围为，必是第一象限角，正确；
③小于的角是锐角错误，如负角；
④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如是第二象限角，是第一象限角；
⑤若角的终边经过点，则角是终边在轴负半轴上的角，故⑤错误．
其中错误的是①③④⑤．
故选C．
【点睛】
（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.
（2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论.
23．C
【解析】
【分析】
由角的终边得出两角的关系，然后由诱导公式求值．
【详解】
角和角的终边关于直线对称，则，．
．
故选：C．
24．D
【解析】
首先写出终边相同的角的集合，再判断
【详解】
，角的终边在第四象限，所以角的终边也是第四象限.
故选：D
25．D
【解析】
【分析】
由已知判断的终边所在的位置即可.
【详解】
由，分类讨论如下：
当时，的终边在第一象限；
当时，的终边在y轴上；
当时，的终边在第二象限；
故选：D
26．D
【解析】
【分析】
利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
若角小于，取，此时，角不是第一象限角，
即“角小于”“角是第一象限角”；
若角是第一象限角，取，此时，，
即“角小于”“角是第一象限角”.
因此，“角小于”是“角是第一象限角”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
27．A
【解析】
【分析】
先求得的表达式，进而可得的表达式，对k赋值，分析即可得答案
【详解】
因为角的终边与300°角的终边重合，
所以，所以，
令，，终边位于第二象限；
令，，终边位于第三象限，
令，，终边位于第四象限，
令，，终边位于第二象限

所以的终边不可能在第一象限，
故选：A
28．C
【解析】
【分析】
根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.
【详解】
因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．
故选：C.
29．A
【解析】
【分析】
确定出的范围，从而可求得答案
【详解】
因为，
所以为第一象限的角，
所以，
故选：A
30．D
【解析】
【分析】
由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.
【详解】
因为结论与角的终边相同的角可以表示为适用于任意角，所以D正确，
故选：D.
31．C
【解析】
表示出第二象限角的范围，求出和所在象限，确定函数值的符号．
【详解】
因为θ是第二象限角，
所以，
则，
所以2θ为第三或第四象限角或终边在轴负半轴上，，所以sin 2θ<0.
而，是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．
故选：C．
32．C
【解析】
【分析】
根据终边相同的角的定义可求出.
【详解】
与800°角终边相同的角可以表示为（），即（）．
故选：C.
33．B
【解析】
【分析】
根据终边相同角的定义判断可得；
【详解】
解：因为角和满足关系：，
因为与的终边关于轴对称，
而与的终边相同，
所以角与的终边关于y轴对称
故选：B
34．B
【解析】
可得，即可得出.
【详解】
因为，所以3弧度的角终边在第二象限.
故选：B.
35．B
【解析】
计算得到，，再根据得到答案.
【详解】
∵是第一象限角，∴，，
∴，，
∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角，
∵，∴，∴是第二象限角.
故选：.
【点睛】
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.
36．B
【解析】
【分析】
求出的终边所在的象限，由已知可得，即可得出结论.
【详解】
因为，
所以，，
若为奇数，可设，则，
此时为第四象限角；
若为偶数，可设，则，
此时为第二象限角.
因为，则，故为第二象限角.
故选：B.
37．B
【解析】
【分析】
根据任意角的定义，结合终边相同角的书写，即可容易求得结果.
【详解】
∵是与关于轴对称的一个角，∴与的终边相同，
即，
∴，.
故选：B.
【点睛】
本题考查终边相同角的集合，属简单题.
38．ABD
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义可判断A的正误，根据角的概念可判断BD的正误，根据两角和的正弦可判断C的正误.
【详解】
因为，则为第二象限角，故A正确.
经过60分钟，钟表的分针顺时针转一周，故对应的角为弧度，故B正确.
，故C错误.
终边在轴上的角的集合是，故D正确.
故选：ABD.
39．CD
【解析】
根据角度制与弧度制不可混用，可判定AB错误，利用终边相同角的关系可以判定CD正确.
【详解】
A，B中弧度与角度混用，不正确；
，所以与终边相同.
，所以也与终边相同，即与终边相同.
故选：.
【点睛】
本题考查终边相同的角，难度较易，注意角度制与弧度制不可混用.
40．AD
【解析】
【分析】
首先求出与角共终边的角，再根据已知条件即可求解.
【详解】
由题意，易知，，
∵与角的终边垂直，
∴，即，或，，
对于选项A：，，故A正确；
对于选项B：，可知，；
，可知，，故B错；
对于选项C： ，可知，；
，可知，，故C错；
对于选项D：，可知，，故D正确.
故选：AD.
41．BD
【解析】
【分析】
利用角的知识逐一判断即可.
【详解】
对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为，是终边在轴正半轴上的角，故错误；
对于D，角的终边在第二象限，
，，
，
当为偶数时，，，得是第一象限角；
当为奇数时，，，得是第三象限角，故正确．
故选：BD
42．①②③④
【解析】
【分析】
根据象限角的表示，分别表示形式，即可得到结论.
【详解】
由题意，①是第四象限角，是正确的；②是第三象限角，是正确的；
③，其中是第二象限角，所以为第二象限角是正确的；
④，其中是第一象限角是正确的，
所以正确的序号为①②③④
【点睛】
本题主要考查了象限角的表示及判定，其中解答中熟记象限角的表示，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
43．5
【解析】
【分析】
把表示为（其中）的形式，然后令得值．
【详解】
∵，是与终边相同的最小正角，
∴，解得．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查终边相同的角，掌握终边相同角的表示方法是解题关键．
44．
【解析】
【分析】
先求出与的终边关于轴对称的角为，再求出终边相同的角的集合即可.
【详解】
与的终边关于轴对称的角为，
所以角的集合是，
故答案为：.
45．
【解析】
根据角度和弧度关系，以及终边相同角的关系，即可求解.
【详解】
与终边相同的角的集合是。
故答案为：
【点睛】
本题考查角单位互化、终边相同角的集合表示，属于基础题.
46．三象限角
【解析】
【分析】
根据对称性可知是第一象限角，然后再根据任意角的定义,即可得到所在象限.
【详解】
因为是第四象限的角，所以是第一象限角，
则由任意角的定义知，是第三象限角．
故答案为：三象限角．
47．
【解析】
【分析】
根据，利用切化弦，结合二倍角公式可求得，根据锐角的终边与角的终边关于轴对称，确定 终边在第二象限，由此求得答案.
【详解】
由可得：，
即，即，
整理得： ，
由于锐角的终边与角的终边关于轴对称，故 终边在第二象限，且，
故 ，
故答案为：
48．；，，，．
【解析】
【分析】
根据终边相同的角的公式写出角的集合，然后根据的范围对进行取值，从而确定出满足不等式的角.
【详解】
因为角的终边与的终边相同，所以角的集合为；
又因为，所以，所以可取，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以满足不等式的可取，，，．
49．（1）;（2）;（3）
【解析】
【分析】
化简得，再令可得;
令可得与角终边相同的最小正角;
令 得,取可得.
【详解】
因为，
所有与终边相同的角可表示为：
则，则
则，则
令 得，
从而，代入得.
【点睛】
本题考查终边相同的角.
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：
或
50．，终边在第一、三象限
【解析】
【分析】
直接运算求得，分k是奇数和偶数讨论终边位置.
【详解】
∵，∴，
当k是偶数时，角的终边在第一象限，当k是奇数时，角的终边在第三象限,
∴角终边在一、三象限.
51．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）与495°角终边相同的角为，由且，求出，即可得解；
（2）由且，求出，即可得解；
（3）由且，求出，即可得解.
(1)
∵，∴与495°角终边相同的角为，.
由且，可得，故所求的最大负角为；
(2)
由且，可得，故所求的最小正角为；
(3)
由且，可得，故所求的角为.
52．，
【解析】
【分析】
写出与角终边相同的角，取，2求解．
【详解】
与角终边相同的角可表示为，．
当，2时，，，这两个角都是符合条件的角．
故答案为：，．