微专题 诱导公式的应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 诱导公式的应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共24页。

微专题：诱导公式的应用
【考点梳理】
1. 诱导公式

公式一
公式二
公式三
公式四
公式五
公式六
角
α＋2kπ
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
与α终
边关系
相同
关于原
点对称
关于x轴
对称
关于y轴
对称
关于直线
y＝x对称

正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
－cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
正切
tanα
tanα
－tanα
－tanα


记忆
规律
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
2. 诱导公式可推广归结为要求角k·±α的三角函数值，只需直接求α的三角函数值，其转化过程及所得结果满足：奇变偶不变，符号看象限. 其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指k的奇和偶，变与不变是指函数名称的变化. 若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变. “符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角所在象限的三角函数值的符号.


【题型归纳】
题型一：利用诱导公式化简、求值
1．已知，则（       ）
A． B． C． D．
2．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（       ）．
A． B． C． D．
3．（       ）
A． B． C． D．

题型二：诱导公式与同角三角函数基本关系的结合
4．已知，，则（       ）
A． B． C． D．
5．已知，若是第二象限角，则的值为（       ）
A． B． C．－ D．－
6．已知，，则的值为（       ）
A． B． C． D．

题型三：“隐藏”的诱导公式
7．已知，则（       ）
A． B． C． D．
8．已知，则（       ）
A． B． C． D．
9．已知，则（       ）
A． B． C． D．



【双基达标】
10．已知，，则的值为（       ）
A． B． C． D．
11．已知，则（       ）
A． B． C． D．
12．的内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则
A． B．5 C． D．
13．已知函数，下面结论错误的是（       ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称
D．函数是偶函数
14．已知，则（       ）
A． B． C． D．
15．已知，则的值是（       ）
A． B． C． D．
16．若是第三象限角，，则（       ）
A． B． C． D．
17．设，则（       ）
A． B． C． D．
18．已知，则（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．在直角坐标系中，若角的终边经过点，，则　　
A． B． C． D．
20．已知锐角终边上一点A的坐标为，则角的弧度数为（       ）
A． B． C． D．
21．已知函数，当取得最小值时，等于（       ）
A．1 B． C． D．
22．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（       ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
23．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则
A． B． C． D．0
24．若，则的值为（       ）
A． B． C． D．
25．的值为
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．当时，，则的值为（       ）
A． B． C． D．
27．下面诱导公式使用正确的是（       ）
A． B．
C． D．
28．（       ）
A． B． C． D．
29．已知，则（       ）
A．3 B． C． D．
30．当，若，则的值为（       ）
A． B． C． D．
31．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（       ）

A． B． C． D．
32．sin1860°等于（       ）
A． B．- C． D．-
33．已知，则（       ）
A． B． C． D．2
34．式子的值等于（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．已知，则下列结论正确的是（       ）
A． B． C． D．
36．下列不等式中成立的是（       ）
A． B．
C． D．
37．已知，则下列等式恒成立的是（       ）
A． B．
C． D．
38．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是（       ）
A．sin(－x)＝sinx B．sin＝cosx
C．cos＝－sinx D．cos(x－π)＝－cosx
三、填空题
39．若，则__________
40．已知角的终边上有一点，则______．
41．计算：___________.
42．已知，则________.
43．若角的终边过点，则______．
44．若为第二象限的角，则__________．
四、解答题
45．已知函数．
（1）化简；
（2）若，求的值．
46．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且.

(1)求的值；
(2)若点A的横坐标为，求的值.
47．m=cos+ cos+ cos+ cos+ cos   
（1）化简m=?          
（2）若 f(cos(x))=16x   求 f(m)+m=？
（3）若g((sinx))=16x+cosx，求g(cos)的值
48．已知角是第三象限角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
49．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.

参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用诱导公式求得正确答案.
【详解】
因为，
所以．
故选：A
2．A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义可得，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】
解：因为角的终边经过点，所以，
故.
故选：A.
3．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式即可求解.
【详解】
.
故选：B.
4．D
【解析】
【分析】
利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】
因为，则，则且，
所以，，故，因此，.
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
由题意求出，又因为，代入即可得出答案.
【详解】
因为是第二象限角，所以，
所以．
故选：C.
6．A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式计算可得；
【详解】
解：因为，，所以，
所以；
故选：A
7．A
【解析】
【分析】
根据三角函数诱导公式和二倍角公式直接计算即可.
【详解】
．
故选：A
8．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式将化为，再利用二倍角的余弦公式即可求得答案.
【详解】
因为，
故
，
故选：B
9．C
【解析】
【分析】
由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可
【详解】
因为，
所以，且，
所以，
所以，
所以．
故选：C．
10．A
【解析】
【分析】
对于化简可得，再由可得的值，从而可求出的值
【详解】
解：，，
，
.
，
.
.
故选：A.
11．C
【解析】
【分析】
已知式由诱导公式变形后平方，然后由平方关系和正弦的二倍角公式化简可得．
【详解】
因为，
所以，所以，
．
故选：C．
12．A
【解析】
【分析】
求出，利用余弦定理，解方程即可求出结果.
【详解】
因为，
所以，
又因为，，
所以，
即，
即，
解得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式，余弦定理，属于较易题.
13．B
【解析】
【分析】
先化简函数得，然后逐个分析判断即可
【详解】
解：，
对于A，的最小正周期为，所以A正确；
对于B，在区间上是减函数，所以B错误；
对于C，因为，所以的图像关于直线对称，所以C正确；
对于D，因为，所以是偶函数，所以D正确，
故选：B
14．D
【解析】
【分析】
利用两角差的正弦、余弦公式化简，再利用诱导公式、二倍角公式求解即可.
【详解】


故选：D.
15．B
【解析】
【分析】
本题首先可根据得出，然后根据诱导公式以及二倍角公式即可得出结果.
【详解】
，即，
，，
则
，
故选：B.
16．B
【解析】
【分析】
设，则，由可求得值
【详解】
设，所以，
由于，所以，
因为是第三象限角，所以为第三或第四象限角，
所以，故，
故.
故选：B.
17．C
【解析】
【分析】
根据诱导公式计算即可.
【详解】
根据诱导公式可以得出.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了诱导公式，属于容易题.
18．B
【解析】
【分析】
由，利用诱导公式求得，再结合三角函数的基本关系式，化简得到，即可求解.
【详解】
由，可得，即，
又由.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的基本关系式，化简为“齐次式”求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
19．B
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，再利用诱导公式求得的值．
【详解】
解：角的终边经过点，，则，，
则，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
20．A
【解析】
【分析】
先根据定义得正切值，再根据诱导公式求解
【详解】
，
又，为锐角，
∴   ，
故选：A.
21．A
【解析】
【分析】
由正弦函数的性质，先求出当取得最小值时x的取值，从而求出.
【详解】
函数，当取得最小值时，有，故，．
，．
故选：A．
22．C
【解析】
【分析】
先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.
【详解】
，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.
故选：C
23．C
【解析】
【分析】
利用函数的图象变换规律求得的解析式，可得的值．
【详解】
解：将函数的图象向右平移个单位，
得到函数的图象，
则，
故选C．
【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于基础题．
24．B
【解析】
【分析】
根据已知条件求得的值，由此求得所求表达式的值.
【详解】
由于，所以.所以
.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用诱导公式化简求值，属于基础题.
25．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式统一角为，逆用两角差的正弦公式即可化简求值.
【详解】
依题意，.
【点睛】
本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦公式，属于中档题.
26．D
【解析】
【分析】
先求得的取值范围，再由同角三角函数的平方关系可得的值，最后由诱导公式，得出答案.
【详解】
解：由，所以，
由，所以，则，
所以.
故选：D.
27．C
【解析】
【分析】
根据诱导公式的法则“奇变偶不变，符号看象限”，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C
28．C
【解析】
【分析】
利用诱导公式计算即可得解.
【详解】
.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数诱导公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.
29．B
【解析】
【分析】
根据已知条件求得，再用诱导公式和同角三角函数关系将目标式转化为关于的式子，代值计算即可.
【详解】
因为，故可得：.
原式.
故选：B.
30．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式和平方关系求解.
【详解】
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
故选：B
31．C
【解析】
计算出，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出的值，即可得出合适的选项.
【详解】
因为是顶角为的等腰三角形，所以，，
则，，
而，所以，.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.
32．C
【解析】
【分析】
用诱导公式先化简后求值.
【详解】
,
故选: C
33．D
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】
解：由诱导公式可得，所以，.
因此，.
故选：D.
34．A
【解析】
根据余弦的倍角公式，结合诱导公式，即可化简.
【详解】
，
故选：A.
【点睛】
本题考查诱导公式，余弦的倍角公式，属于容易题.
35．ACD
【解析】
【分析】
对于A，B利用诱导公式可求解；对于C，D利用齐次式化简可判断.
【详解】
对于A选项，，故A选项正确；
对于B选项，，故B选项错误；
对于C选项，，故C选项正确；
对于D选项，，故D选项正确.
故选：ACD
36．ACD
【解析】
【分析】
结合诱导公式，根据和的单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
对于A，在上单调递增，又，，A正确；
对于B，在上单调递减，又，，B错误；
对于C，，又，，C正确；
对于D，，，
又，，D正确.
故选：ACD.
37．AB
【解析】
【分析】
利用诱导公式可判断各选项的正误.
【详解】
，，
，，
故选：AB.
38．CD
【解析】
【分析】
根据诱导公式即可判断.
【详解】
解析sin(－x)＝－sinx，故A不成立；
sin＝－cosx，故B不成立；
cos＝－sinx，故C成立；
cos(x－π)＝－cosx，故D成立.
故选：CD
【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式，需熟记公式，属于基础题.
39．
【解析】
【分析】
首先利用二倍角公式求出，再利用诱导公式计算可得；
【详解】
解：因为所以，则.
因为，所以，即，故.
所以.
故答案为：.
40．
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义结合诱导公式可求得结果.
【详解】
由三角函数的定义可得，因此，.
故答案为：.
41．##
【解析】
【分析】
先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.
【详解】



.
故答案为：
42．
【解析】
利用诱导公式化简等式，可求出的值，将所求分式变形为，在所得分式的分子和分母中同时除以，将所求分式转化为只含的代数式，代值计算即可.
【详解】
，，，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用诱导公式和弦化切思想求值，解题的关键就是求出的值，考查计算能力，属于基础题.
43．##0.8
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．
【详解】
角的终边过点，，，，，
则，
故答案为：．
44．
【解析】
【分析】
先根据同角三角函数的关系求出，再结合诱导公式即可求出.
【详解】
为第二象限的角，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，属于基础题.
45．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数的诱导公式化简即可；
（2）利用诱导公式结合（1）中的结果求解．
【详解】
（1）函数，
；
（2）因为，即，
所以．
46．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式化简可得；
（2）由定义可得，即可求出.
(1)
∵，∴，，
∴.
(2)
∵点A的横坐标为，∴，，
，
∴.
47．（1）；（2）或（3）或，.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式化简即得解；
（2）求出或，,即得解；
（3）求出或，，即得解.
【详解】
（1）m= ，
所以m=；
（2）或
所以或，
所以或
（3）或，.
所以或，.
所以或，.
48．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据tanα，以及 sin2α+cos2α＝1，结合范围求得sinα、cosα的值；
（2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切tanα，代入正切值即求得结果．
【详解】
解：（1）tanα，sin2α+cos2α＝1，
∴或，而角是第三象限角，则，
故；
（2）

.
∵，
∴原式.
【点睛】
方法点睛：
已知正切值化简求值时，通过整理式子使其分子分母的弦的次数相同，通过同时除以同次的余弦，进行弦化切的转化，代入计算即可.
49．（1）；（2）
【解析】
（1）由题意，分析，再根据同角三角函数关系，可求值；
（2）由题意，分析，根据诱导公式，即可求解.
【详解】
（1）∵，

，
∴
.
（2）∵，
∴

.
【点睛】
本题考查（1）三角函数诱导公式二（2）三角函数诱导公式五，考查计算能力，属于基础题.