微专题 与复数模相关的轨迹（图形）问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 与复数模相关的轨迹（图形）问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共26页。

微专题：与复数模相关的轨迹（图形）问题
【考点梳理】
两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．　　　　


【典例剖析】
典例1．已知z为复数，且，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

典例2．已知复数和满足，且，则的最小值是（       ）
A． B．2 C．3 D．1

典例3．满足的复数在复平面上对应的点构成的图形的面积为（       ）
A． B． C． D．

典例4．已知复数的模为2，则的最小值为（       ）
A．1 B． C． D．2

典例5．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（       ）
A．2 B．3 C． D．


【双基达标】
6．若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）
A． B． C． D．
7．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（       ）
A．1 B． C．2 D．
8．复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（       ）
A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆
9．已知z1､z2为复数，且|z1|=2，若z1+z2=2i，则|z1﹣z2|的最大值是（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．若且，则的最大和最小值分别为，则的值等于（       ）
A． B． C． D．
11．已知复数满足，则的最大值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最大值是（       ）
A． B．5 C．6 D．7
13．已知复数对应复平面内的动点为，模为1的纯虚数对应复平面内的点为，若，则（       ）
A．1 B． C． D．3
14．设为复数，则下列命题中错误的是（       ）
A． B．若，则的最大值为2
C． D．若，则
15．已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
16．已知复数z满足，则（i为虚数单位）的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
17．已知复数z满足，则的最小值为（          ）
A．1 B．2 C． D．
18．复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（     ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
19．复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（       ）
A． B． C． D．
20．已知，复数（其中i为虚数单位）满足，给出下列结论：①的取值范围是；②；③的取值范围是；④的最小值为2；其中正确结论的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【高分突破】
一、 单选题
21．若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（       ）
A． B．
C． D．
22．设复数在复平面上对应的点为且满足，则（       ）
A． B．
C． D．
23．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
24．复数满足，则的最大值为（       ）
A． B．
C． D．
25．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（       ）
A．若，则或
B．若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆
C．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
D．若，则点Z的集合中有且只有两个元素
26．给出下列三个结论：
①若复数是纯虚数，则
②若复数，则复数z在复平面内对应的点在第二象限
③若复数z满足，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆
其中所有正确结论的个数是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
27．设，且，则的最小值为（       ）
A．0 B．1 C． D．
28．已知、，且，（是虚数单位），则的最小值为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
29．已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（       ）
A．点的坐标为 B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上 D．与z对应的点Z间的距离的最小值为
30．设复数满足，则（       ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
31．已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（       ）
A．点的坐标为
B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．与z对应的点z间的距离有最小值
32．已知复数（为虚数单位），复数满足，则下列结论正确的是（       ）．
A．在复平面内所对的点在第四象限
B．在复平面内对应的点在第一象限
C．的最大值为
D．的最小值为
三、填空题
33．已知，则的取值范围是_____________；
34．若复数满足，则的最大值是______.
35．若，则的最大值是________．
36．已知复数满足条件，那么的最大值为______．
37．如果复数满足 ， 那么 的最大值是_____.
38．设复数满足，在复平面内对应的点为则，满足的关系式为______.
四、解答题
39．在复平面内作出复数z分别满足下列条件时对应的点组成的图形.
（1），且；
（2）.
40．如图所示，已知点，又点B在焦点为点和点，长轴长为4的椭圆上运动，以为边作一正（A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹.

41．阅读下面问题的解法：
求复数的模的取值范围．
解：．

如图所示，设点A的坐标为，点B的坐标为，则即为点A、B之间的距离．
∵点B的轨迹为以O为圆心，半径为1的圆，∴，因此复数的模的取值范围是．
试运用类似上面的解法解下列问题：求函数的值域．
42．已知P为椭圆上任意一点，以为边逆时针作正方形，求动点R的轨迹方程．
43．已知复数，，．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的取值范围．

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义可知复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，进而利用点与点之间的距离来求解.
【详解】
法一：在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，表示复平面内的点与点之间的距离.因为点与原点O的距离，所以的最小值是，最大值是，故的取值范围是.故选:C.

法二：因为复数z满足，不妨设，,则.因为，所以，所以的取值范围是.
故选:C.
2．D
【解析】
【分析】
设，，复数在复平面内对应的点为，，，复数在复平面内对应的点为，依题意可得、的轨迹方程，最后根据复数模的几何意义计算可得；
【详解】
解：设，，复数在复平面内对应的点为，则，，
因为，所以，所以，
所以，则，则在轴上运动，
设，，复数在复平面内对应的点为，
则，
所以，所以，
则在以为圆心，为半径为圆上运动，
所以，
所以，则表示圆上的点与轴上的点的距离，
因为圆心到轴的距离，所以；
故选：D
3．C
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义可得构成图形为圆环，即可求出面积.
【详解】
满足的复数在复平面上对应的点构成的图形为以原点为圆心，半径分别为1和3构成的圆环，所以面积为.
故选：C.
4．A
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义可知复数所对应的点的轨迹为圆，根据圆上的点到定点距离的最值问题可得结果.
【详解】
设，其对应的点为，
因为，所以，
即对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
表示到点的距离，
其最小值为，
故选：A.
5．D
【解析】
先根据分析出复数对应的点在复平面内的轨迹，然后将的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.
【详解】
因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，
又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：

所以，
故选：D.
【点睛】
结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：
（1）：表示以为圆心，半径为的圆；
（2）且：表示以为端点的线段；
（3）且：表示以为焦点的椭圆；
（4）且：表示以为焦点的双曲线.
6．D
【解析】
【分析】
设z＝x+yi（x，y∈R），由题意可知动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，然后即可得到P，A，O三点共线时|z+1-i|+|z|取得最大值时,从而可求出答案.
【详解】
设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故选：D．
7．A
【解析】
【分析】
直接利用复数模的几何意义求出的轨迹．然后利用数形结合求解即可．
【详解】
解：
点到点与到点的距离之和为2．
点的轨迹为线段．
而表示为点到点的距离．
数形结合，得最小距离为1
所以|z＋i＋1|min＝1.
故选：A

8．A
【解析】
【分析】
设出动点Z坐标为，根据题意列出方程，求出结果.
【详解】
设动点Z坐标为，则，所以，即，化简得：，故动点Z的轨迹为直线.
故选：A
9．B
【解析】
【分析】
z1+z2=2i，可得z2=2i﹣z1，|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，然后根据复数的几何意义和复数的差的模的几何意义即可得出.
【详解】
解：z1+z2=2i，∴z2=2i﹣z1，
则|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，
|z1|=2，∴z1在复平面内所对应的点P的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，
所对应的点坐标为A(0,1),
|z1﹣i|表示P,A的距离，
∴|z1﹣i|≤3,
2|z1﹣i|≤2×3=6,z1=﹣2i时取等号.
|z1﹣z2|的最大值为6，
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则､圆的复数形式的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.关键是复数的几何意义的应用.
10．B
【解析】
【分析】
根据复数差的模的几何意义可得复数在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到，从而可得的值.
【详解】
因为，
故复数在复平面上对应的点到对应的点的距离小于或等于2，
所以在以为圆心，半径为2的圆面内或圆上，
又表示到复数对应的点的距离，
故该距离的最大值为，
最小值为，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数中的几何意义，该几何意义为复平面上对应的两点之间的距离，注意也有明确的几何意义（可把化成），本题属于中档题.
11．C
【解析】
【分析】
本题可根据得出点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，即可得出结果.
【详解】
因为，所以复数在复平面内所对应的点到点的距离为，
则点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，
故的取值范围为，的最大值为，
故选：C.
12．C
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义得，表示以为圆心，1为半径的圆及其内部，表示复数所对应的点到点的距离，然后再利用点于圆的位置关系求解.
【详解】
由复数的几何意义得，表示以为圆心，1为半径的圆及其内部，
表示复数所对应的点到点的距离，
点到圆心的距离为，
所以的最大值为.
故选：C.

13．B
【解析】
【分析】
根据已知条件结合复数的几何意义确定所对应点的轨迹方程，然后确定，结合复数几何意义及圆的切割线定理即可求出结果.
【详解】
设（），则，
即所对应点在以为圆心，1为半径的圆上，
设该圆与轴交点，
因为模为1的纯虚数对应复平面内的点为，即，
若，则为的中点，故对应的点不合题意，舍去，
因此，由圆的切割线定理可得，
设，则，则，则.
故选：B.
14．C
【解析】
【分析】
根据复数的概念和运算以及几何意义，逐项分析判断即可得解.
【详解】

设，则，
，故A正确；
由，得，则，
当时，的最大值为2，故B正确；
，，与不一定相等，故C错误；
满足的的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图所示，
则，故D正确．
故选：C．
15．C
【解析】
【分析】
先求，再求轨迹方程.
【详解】
，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为.
故选：C．
【点睛】
利用复数减法的几何意义，可以表示以下曲线：
①表示以点Z0为圆心，1为半径的圆；
②表示以Z1、Z2为焦点的椭圆；
③表示以Z1、Z2为焦点的双曲线.
16．D
【解析】
【分析】
设对应的点为，求出，由复数模的几何意义得的轨迹，根据圆的性质可得最值．得范围
【详解】
因为，所以对应的点在以原点为圆心，2，3为半径的圆环内，如图，记对应的点为，则，，
，由图可得：，，
所以的取值范围是．
故选：D．

17．B
【解析】
【分析】
设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解.
【详解】
解：设复数z在复平面内对应的点为Z，
因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，
所以在复平面内点的轨迹为轴，
又表示点到点的距离，
所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，
所以的最小值为2，
故选：B.
18．A
【解析】
【分析】
设复数，由，利用其几何意义求解.
【详解】
解：设复数，
因为，
所以，
即复数z表所对应的点在以（5，5）为圆心，以2为半径的圆上，
所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.
故选：A
19．C
【解析】
【分析】
由复数模的运算可得结论．
【详解】
设，∵，∴，即.
故选：C．
20．C
【解析】
【分析】
由题意得到，根据复数的几何意义可以得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而结合椭圆的定义和性质判断①、②、③，然后利用基本不等式判断④.
【详解】
由，则点的轨迹是以为焦点，为长半轴长，为短半轴长，为半焦距的椭圆.
由椭圆定义可知，②正确；
表示椭圆上的点到原点的距离的平方，易知椭圆短轴上的端点到原点的距离最小，长轴上的端点到原点的距离最大，分别为1和2，故的取值范围是，①正确；
表示椭圆上的点与点连线的斜率，设直线与椭圆相切，联立直线与椭圆方程并化简得：，，根据点与椭圆的位置关系可知，的取值范围是，③正确；
根据题意，，当且仅当时取“=”，④错误.
故选：C.
21．B
【解析】
【分析】
设，代入中，再利用模的运算，即可得答案.
【详解】
设，代入得：.
故选：B
22．B
【解析】
【分析】
把点的坐标代入，用复数模的公式化简即得解.
【详解】
因为，
所以，
所以.
故选：B
23．D
【解析】
【分析】
设（），则由题意可得，由此可知在如图所示有阴影上，而表示到点的距离，结合图形求解即可
【详解】
解：设（），则，
因为，
所以，
所以在如图所示有阴影上，
因为表示到点的距离，而到的距离为，大圆的半径为，
所以的最大值为，
故选：D

24．D
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义求解即可.
【详解】
复数满足，其对应的点是以原点为圆心，为半径的圆上的点，
复数几何意义是复数对应的点到点的距离，
所以的最大值为，
故选：D.
25．C
【解析】
【分析】
根据的几何意义可知Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，由此可判断A;由得几何意义是表示以为圆心，1为半径的圆，可判断B; 由的几何意义是表示以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环,求出圆环的面积，可判断C；由的几何意义是表示以点，为端点的线段的垂直平分线，可判断D.
【详解】
若，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z对应，故A错误；
若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆，故B错误；
若，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为 ，故C正确;
若，则点Z的集合是以点，为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误,
故选:C．
26．C
【解析】
【分析】
①根据复数是纯虚数，由求解判断；②先利用复数的除法化简复数，再利用复数的几何意义判断；③根据复数模的几何意义判断；
【详解】
①因为复数是纯虚数，则，解得，故正确；
②复数，则复数z在复平面内对应的点在第一象限，故错误；
③因为复数z满足，所以z在复平面内所对应点的轨迹以原点为圆心，以1为半径的是圆，故正确；
所以正确结论的个数是2个，
故选：C
27．C
【解析】
【分析】
由复数模的几何意义求解．
【详解】
记，，，对应的点为，
则满足的点在线段的垂直平分线上，易知其方程为，即，
表示点到点的距离，由点到直线距离公式得．
故选：C．
28．C
【解析】
【分析】
本题首先可设，根据得出点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，然后设，根据得出点的轨迹是一条直线，最后通过求出直线上的点到圆的最短距离即可得出结果.
【详解】
设复数，对应的点为，
，即，，
点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，
设复数，对应的点为，
，即，
化简可得，点的轨迹是一条直线，
表示点与点的距离，即圆上的一点到直线的距离，
圆与直线相离，
圆心到直线的距离，
故的最小值为，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查复数的几何意义，能否根据题意得出点的轨迹是以为圆心、为半径的圆以及点的轨迹是一条直线是解决本题的关键，考查直线上的点到圆的距离的最值的求法，考查计算能力，是中档题.
29．ACD
【解析】
根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性.
【详解】
复数在复平面内对应的点为，A正确；
复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；
设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确；
易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为，故D正确.
故选：ACD
【点睛】
本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.
30．BCD
【解析】
【分析】
由待定系数法先假设，则，根据共轭复数的概念判断A选项，根据模长的公式判断B选项，根据复数的运算法则判断C选项，根据复数的几何意义判断D选项.
【详解】
设复数，由，所以，
因此：，故A选项错误；
因为，所以B选项正确；
因为，所以，则
所以，所以C选项正确；
因为，
根据复数的几何意义可知，复数所表示的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
则由对称性可知，复数所表示的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
由的几何意义表示点与间的距离，由图可知：，故D选项正确；
故选：BCD.
【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义以及复数的乘除运算，在求解过程中始终利用对式子进行化简，而复数的几何意义有两个，一个是点对应，一个是向量对应，在解题中要清楚.
31．ACD
【解析】
【分析】
根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，判断D选项的正确性.
【详解】
复数在复平面内对应的点为，A正确；
复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；
设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确；
易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，故D正确.
故选：ACD
32．AC
【解析】
【分析】
复数i在复平面内对应的点为，故选项A正确；
复数在复平面内对应的点是以为圆心，1为半径的圆，故在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B错误；
的最大值为，故选项C正确；
的最小值为，故选项D错误．
【详解】
复数i在复平面内对应的点为，则，所以点在第四象限，故选项A正确；
复数满足i|=1，则在复平面内对应的点是以为圆心，1为半径的圆，
故在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B错误；
表示点，之间的距离，所以的最大值为，故选项C正确；
表示点与点之间的距离，所以的最小值为，故选项D错误．
故选：AC
33．
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义求解，表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点，表示复平面内到点的距离，结合两点间距离公式可求范围.
【详解】
因为在复平面内，表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点，即复数对应的点都在以为圆心，半径为1的圆上；
表示复平面内的点到点的距离，最小值为，
最大值为，所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，表示以为圆心，以r为半径的圆上的点.
34．3
【解析】
【分析】
设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，从而求得最大值.
【详解】
设，则，
根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，
则最大值为，
故答案为：3
35．
【解析】
【分析】
先设，，根据题意，得到复数对应的点，在以为圆心，以为半径的圆及圆内的部分运动，再根据点与圆位置关系，即可得出结果.
【详解】
设，，
因为，则，
即，
所以复数对应的点，在以为圆心，以为半径的圆及圆内的部分运动；
又，表示复数对应的点到原点的距离，
又圆的圆心到直线的距离为，
所以的最大值为：.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求复数模的最值，熟记复数的几何意即可，涉及点与圆位置关系，属于常考题型.
36．4
【解析】
由，所以复数对应的点在单位圆上，由表示复数对应的点与复数对应的点之间的距离，根据圆的性质可得答案.
【详解】
因为，所以复数对应的点在单位圆上，
表示复数对应的点与复数对应的点之间的距离，
而．
所以的最大值为.
故答案为：4
37．5
【解析】
【分析】
设，，根据题干条件得到，，化简得到，根据求出最大值.
【详解】
设，，则，
变形为，两边平方后得到，
两边平方后得到，将代入，
即，故，
则，
当时，取得最大值，最大值为5
故答案为：5
38．
【解析】
设复数，根据，结合复数模的运算公式，即可求解.
【详解】
由题意，设复数，
因为，可得，整理得，
即复数在复平面内对应的点为则满足的关系式为.
故答案为：.
39．（1）图象见解析；（2）图象见解析.
【解析】
【分析】
（1）设，则由题意可得且，从而可画出图形，
（2）设，则由题意可得，从而可画出图形
【详解】
（1）设，则由题意可得且，则表示的图形如图所示
       
（2）设，则由题意可得，则表示的图形如图所示

40．以点与点为焦点，长轴为4的椭圆.
【解析】
【分析】
先写出椭圆的复数方程，设出B，P，A对应的复数，进而得到向量，对应的复数，就把原问题的关系结构系统进入关于复数与向量的关系结构系统了.再由向量的运算与复数模的几何意义反演几何结论，即可求解
【详解】
先写出椭圆的复数方程：（z为复数），
并假设点B对应复数，点P对应复数z，又知点A对应复数3，
于是向量对应复数，而向量对应复数，
如此，就把原问题的关系结构系统进入关于复数与向量的关系结构系统了.
接下来，进行向量与复数的运算：，
因而有，
所以.
由于满足方程，所以有
，
整理得.
最后，根据复数模的几何意义反演为几何结论可知，
P点轨迹为以点与点为焦点，长轴为4的椭圆.
41．．
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义求复数模的取值范围的解题思路，寻求利用斜率求三角函数值域．
【详解】
如图所示，设A的坐标为， B的坐标为，则的斜率为，
∴函数的值域为直线的斜率的取值范围．

点B的轨迹为以O为圆心，半径为1的圆，方程为①，
过点A作圆的切线和，设切线方程为②，
将②代入①，得，整理得．
∵直线和圆相切，
∴，即③，又A在切线上，
∴④，由③、④得：，．
∴直线的斜率的取值范围是，则函数的值域是．
42．．
【解析】
【分析】
利用相关点法，由于 顺时针旋转90°可得，即，可得R点与P点坐标之间的关系，即求.
【详解】
如图所示，视坐标平面为复平面，

设P、R两点对应的复数分别为、，
则椭圆方程等价转化为复数方程为：，①
由复数的几何意义知，
代入①得，
即，
由椭圆定义知，所求动点R的轨迹方程为．
43．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知求得，再由虚部为求解实数的值；
（2）数形结合求解的取值范围.
【详解】
（1）因为，，
所以．
又因为，所以，
解得或．又因为，所以．
（2）由（1）知，设，
由，所以，
得，而，
∴，∴，故．
∴，
∵，∴，故．