微专题 与椭圆有关的最值(范围)问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

微专题：与椭圆有关的最值(范围)问题

【考点梳理】

1、椭圆中的最值：P为椭圆上任一点，B为短轴一个端点，则|OP|∈[b，a]；|PF1|∈[a－c，a＋c]；|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；∠F1PF2≤∠F1BF2.

椭圆中距离的最值问题一般有三种解法：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角函数最值问题求解，不可轻视这种方法.

【题型归纳】

题型一：椭圆上点到焦点的距离及最值 

1．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，的最大值为（       ）

A． B． C．2 D．4

2．设是椭圆的左､右焦点，是椭圆上任意一点，若的最小值是，则的值为（       ）

A． B． C． D．

3．已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

题型二：椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 

4．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（       ）

A． B． C．5 D．6

5．椭圆上任一点到点的距离的最小值为（       ）

A． B． C．2 D．

6．已知点为椭圆上的动点，则A，B两点间的最大距离是　　

A． B． C．7 D．

题型三：椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值

 7．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

8．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（       ）

A．3 B．5 C． D．13

9．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（       ）

A．2 B． C．4 D．

【双基达标】

10．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为（       ）

A．3 B． C． D．

11．已知点在曲线（）上，设，则的最大值（       ）

A．与有关，且与有关

B．与有关，但与无关

C．与无关，但与有关

D．与无关，且与无关

12．已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（       ）

A．6 B．5 C．4 D．3

13．已知为椭圆上的一个点，、分别为圆和圆上的点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

14．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（       ）

A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值

C．有最小值 D．的范围为

15．已知椭圆的右焦点是，直线与椭圆交于、两点，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【高分突破】

一、单选题

16．设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ）

A． B． C． D．

17．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

18．已知椭圆的上下焦点为，，点在椭圆上，则的最大值是（       ）

A．9 B．16 C．25 D．27

19．已知是函数的图像上一点，设，则的最大值（       ）

A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关

C．与无关，但与有关 D．与无关，且与无关

20．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（       ）

A．1 B．－1 C． D．

二、多选题

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（       ）

A．的离心率为 B．的周长为

C． D．

三、填空题

22．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________．

23．已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．

24．点P为椭圆上的任意一点，AB为圆的任意一条直径，若的最大值为15，则a=___________.

25．平面直角坐标系中，两定点和，动点在直线上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆C的离心率的最大值为________．

26．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点 在椭圆上运动时，的最大值为__________.

四、解答题

27．椭圆的右焦点为，规定：直线为椭圆的右准线，椭圆上的任意一点到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为已知椭圆

（1）若点是椭圆上的任意一点，求的最小值；

（2）若分别是椭圆的左､右顶点，过点的直线与椭圆交于两点非顶点)，证明：直线与的交点在椭圆的右准线上.

28．已知椭圆，点M与椭圆C的焦点不重合，若M关于C的两焦点的对称点分别为A，B，且线段的中点在椭圆C上，求的值．

29．已知圆，椭圆．

(1)求证：圆C在椭圆M内；

(2)若圆C的切线m与椭圆M交于P，Q两点，F为椭圆M的右焦点，求△面积的最大值．

30．已知椭圆：.左焦点，点在椭圆外部，点为椭圆上一动点，且的周长最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点､为椭圆上关于原点对称的两个点，为左顶点，若直线､分别与轴交于､两点，试判断以为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.

参考答案

1．D

【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.

【详解】∵在椭圆上

∴

∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.

故选：D.

2．B

【分析】令，得到，结合的最小值为，利用椭圆的定义和对勾函数的单调性，得到当时成立，求得的值，进而求得的值.

【详解】令，则，

因为的最小值为，即的最小值为，

由椭圆，可得，则，所以，

所以，即，

令，解得或（舍去），

由对勾函数的单调性可得，当取得最大值时，的最小值为，

即当时，的最小值为，即，解得，

所以.

故选：B.

3．A

【分析】点为椭圆上的动点，，分别为两个圆上的动点，三个点都是动点，需要研究图形的结构特征，注意到两圆的圆心分别是椭圆的左、右焦点，如图，因此可以固定其中两个点，实现动静转化．

由椭圆的定义得到为定值，至于，只需与圆的半径产生联系即可．

【详解】根据椭圆的定义，得，

所以，

即所求取值范围为．

故选：A

4．B

【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.

【详解】解：设圆的圆心为，则，

设，则，

所以

，当且仅当时取得最大值，

所以．

故选：B．

5．B

【解析】设点的坐标为，结合两点间的距离公式，化简得到，即可求解.

【详解】设点的坐标为，其中，

由，可得，

又由，

当时，取得最小值，最小值为.

故选：B.

6．D

【分析】写出椭圆的参数方程，利用两点间的距离公式表示，然后利用三角函数和二次函数的知识求得最大值.

【详解】解：椭圆，

由椭圆的参数方程可得，，

，

，

，

令，则，

的图象为开口向下的抛物线，对称轴为，

在单调递增，在单调递减，

当时，取最大值50，此时取最大值：．

故选D．

【点睛】本题考查三角函数求最值，涉及椭圆的参数方程和二次函数区间的最值，属中档题．三角换元的思想，源自于，而椭圆方程是，类比这两个式子，可以认为，即，这也就是椭圆的参数方程.

7．C

【分析】利用椭圆的几何性质，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.

【详解】椭圆的，

如图，

设椭圆的右焦点为 ，

则 ；

；

由图形知，当在直线 上时， ，

当不在直线 上时，

根据三角形的两边之差小于第三边有， ，

当在 的延长线上时， 取得最小值

的最小值为．

故选：C．

8．B

【分析】由，结合图形即得.

【详解】因为椭圆，

所以，，

则椭圆的右焦点为，

由椭圆的定义得：，

当点P在点处，取等号，

所以的最大值为5，

故选：B.

9．B

【分析】椭圆上的点P满足，找到取等时点P位置即可求出最大值.

【详解】椭圆上的点P满足，

当点P为的延长线与C的交点时，

达到最大值，最大值为．

故选：B

10．A

【分析】由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.

【详解】设椭圆的右焦点为，，，

又，，

当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交点），

故选：A.

11．B

【分析】表示的是椭圆的部分，而是椭圆的下焦点，设为椭圆的上焦点，为直线与轴的夹角，则由椭圆的性质和定义可得结论.

【详解】

表示的是椭圆的部分，而是椭圆的下焦点，

设为椭圆的上焦点，为直线与轴的夹角，则，

，

当且仅当轴时取等号，则只与有关，与无关，

故选：B.

12．D

【分析】结合椭圆的定义求得的最小值

【详解】，

设椭圆的右焦点为，

，

当在的正上方时，等号成立.

故选：D

13．C

【分析】作出图形，可知两圆圆心恰为椭圆的两个焦点，利用圆的几何性质结合椭圆的定义可求得的最小值.

【详解】在椭圆中，，，，

该椭圆的左焦点为，右焦点为，如下图所示：

由椭圆的定义可得，

由圆的几何性质可得.

故选：C.

【点睛】本题考查利用椭圆的定义以及圆的几何性质求椭圆上点到两圆上的点的距离之和的最小值，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

14．A

【分析】根据的值判断A选项；通过计算直线与直线斜率乘积判断B选项；结合椭圆的定义以及基本不等式判断C选项；结合椭圆的定义来判断D选项.

【详解】对于A，依题意，

，A选项错误.

对于B，设，则，

，为定值，B选项正确.

对于C，，

，

当且仅当时等号成立.C选项正确.

对于D，Q在椭圆外，设直线、与椭圆相交于如图所示，

则，

，，

，即，

所以

所以.D选项正确.

故选：A

15．D

【解析】求得，结合，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.

【详解】设椭圆的左焦点为，

在椭圆中，，，则，

由题意可知，点、关于原点对称，且为的中点，

所以，四边形为平行四边形，

所以，，由椭圆的定义可得，

，，即，

，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：

（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出；

（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.

16．A

【分析】结合题意画出图形，对，由三角形三边关系可得①，同理对，可得②，两式作和，结合椭圆第一定义即可求解.

【详解】根据题意作出如图所示的图象，其中、是椭圆的左，右焦点，在中可得：

①，

当且仅当、、三点共线时，等号成立，

在中可得：②，

当且仅当、、三点共线时，等号成立，

由①②得：，

由椭圆方程可得：，即，

由椭圆定义可得：，

所以，.

故选：A.

17．D

【分析】设椭圆右焦点为，容易判断点A在椭圆内部，进而根据椭圆定义得到，最后求出答案.

【详解】因为，所以在椭圆的内部，设椭圆右焦点为，易得，则，由椭圆定义可知：，所以，因为，所以.

故选：D.

18．B

【解析】由椭圆定义得，然后由基本不等式可得结论．

【详解】解：由题意，，

，当且仅当时等号成立，

故选：B．

19．B

【分析】表示的是椭圆的部分，而是椭圆的左焦点，设为椭圆的右焦点，为直线的倾斜角，则由椭圆的性质和定义可得结论

【详解】解：表示的是椭圆的部分，而是椭圆的左焦点，

设为椭圆的右焦点，为直线的倾斜角，则

，当且仅当轴时取等号，则只与有关，

故选：B

20．A

【分析】设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.

【详解】设椭圆的左焦点为，则，可得，

所以，

如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，

此时取得最小值，

又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．

故选：A．

21．CD

【分析】由椭圆方程可确定，根据离心率，焦点三角形周长为可确定AB错误；

当为椭圆短轴端点时最大，由此可确定，知C正确；

根据可知D正确.

【详解】对于A，由椭圆方程知：，，离心率，A错误；

对于B，由椭圆定义知：，，

的周长为，B错误；

对于C，当为椭圆短轴端点时，，

，，即，

，C正确；

对于D，，，，D正确.

故选：CD.

22．9

【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.

【详解】∵在椭圆上

∴

∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.

故答案为：9.

23．##

【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.

【详解】依题意，椭圆方程为，所以，

所以是椭圆的右焦点，设左焦点为，

根据椭圆的定义可知，

，

所以的最大值为.

故答案为：

24．3

【解析】由圆的性质结合平面向量的线性运算、数量积运算可得，再由椭圆的性质可得，即可得解.

【详解】椭圆的焦点为，,半焦距，

圆的圆心，半径为1，

AB为圆M的直径，可得，

则

，

又P为椭圆上一点，M为椭圆的右焦点，可得，

当P为椭圆的左顶点时，上式取得等号，

则，所以即.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了圆与椭圆性质的综合应用及平面向量的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.

25．

【分析】由题意可知椭圆C中，要使离心率最大，只需最小，即最小，求出点关于直线的对称点，求出的坐标，即可得最小为，即可求解.

【详解】点关于直线的对称点为，

则解得：，即

连接交直线与点，

则椭圆C的长轴长的最小值为，所以，

即，

所以椭圆C的离心率，

所以椭圆C的离心率的最大值为，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是求出椭圆C的长轴长的最小值，即可得离心率的最大值.

26．

【解析】先设椭圆的下焦点为，由椭圆的定义知：，利用，即可得到的最大值．

【详解】解：如图所示：

设椭圆的下焦点为，

，

，，

又，

即，

，

又，

当且仅当，，共线且在线段上时等号成立，

，

，

，

的最大值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是数形结合，根据三角形的三边性质及椭圆的定义即可得到最值.

27．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）若垂直于右准线于，由题设有，则，易知当共线时有最小值，即可求最小值.

（2）设，，，联立椭圆方程并应用韦达定理可求、，写出直线、的方程，令求对应的纵坐标，利用作差法判断它们是否相等，即可证结论.

【详解】（1）由题设知：的右准线为且，若垂直于右准线于，如下图示：

∴，即，

∴，故当且仅当共线时最短，即为到右准线的距离.

∴的最小值.

（2）由题意，可设，联立椭圆方程并整理得：，

若，，则，，

而，，则，，

∴当时，，，

而，即.

∴直线与的交点在椭圆的右准线上，得证.

【点睛】关键点点睛：第二问，设直线，联立椭圆方程，结合韦达定理得到、，再写出直线、的方程，当横坐标为4时判断它们的纵坐标是否相等即可.

28．16.

【分析】根据已知条件，作出图形，的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为，即可求出的值.

【详解】由得：，

设分别是椭圆C的左、右焦点，

M关于的对称点为A，关于的对称点为B，为线段的中点，

由已知条件，易得分别是线段的中点，

则在和中，有，

又由椭圆的定义，得，

所以．

故答案为：16

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的运用，三角形的中位线的性质，属于中档题.

29．(1)证明见解析

(2)4

【分析】（1）证明椭圆M上任意一点到圆心C的距离大于半径1即可解决；

（2）以设而不求的方法得到△面积的表达式，再去求最大值即可.

(1)

圆心，半径．设为椭圆M上一点，

则．

∵，∴当时，有最小值．

而，即，故点A总在圆C外．

∴圆C在椭圆M内．

(2)

若直线m斜率不存在，m不能过点，则m的方程只能为，

，．

若直线m斜率存在，设m的方程为．

由直线m与圆C相切得，化简得，则．

由得，

则．

又到直线m的距离．

设，则，

．

综上，面积的最大值为4．

30．（1）；（2）是，定点为和.

【分析】（1）的三边有一边已经确定，问题转化为，何时另外两边之和最大，结合椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边即可确定思路；

（2）分直线斜率存在与不存在分别研究，不存在容易得出定点，存在时，可以设出斜率，再联立椭圆方程，求出坐标，最后求出以为直径的圆的方程，方程里面含有，再令即可.

【详解】（1）设右焦点为，则

即点为与椭圆的交点时，周长最大

所以

所以椭圆的标准方程为

（2）由（1）知，设，则

当直线斜率存在时，设其方程为

联立得

令，得

同理得

设中点为，则

所以以为直径的圆得方程为

即

即

令，得

所以过点和，且为定点.

当直线斜率不存在时，容易知道

此时

所以以为直径的圆是以原点为圆心，为半径的圆，显然也过定点 和

综上，此圆过定点和

【点睛】方法点睛：对于过定点的问题，可以先通过特殊情况得到定点，再去证明一般得情况.