微专题 指数函数的图象及应用 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 指数函数的图象及应用 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共35页。

微专题：指数函数的图象及应用
【考点梳理】
1.指数函数
定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数
图象
0＜a＜1
a＞1



定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
减函数
增函数
2. 指数函数相关结论
(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线.
(2)作指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(0，1)，(1，a).
(3)当x>0时，底大图高，即由图象判断底数大小时，在第一象限按照逆时针方向观察，底数逐渐增大.


【题型归纳】
题型一：判断指数型函数的图象形状
1．在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
2．函数的图像大致是（       ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，函数的图像是（       ）
A． B．
C． D．

题型二：根据指数型函数图象判断参数的范围
4．函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（       ）

A．， B．， C．， D．，
5．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
6．已知且，，当时均有，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．


题型三：指数型函数图象过定点问题
7．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（       ）
A． B．0 C．7 D．
8．已知函数（，且）的图象过定点，则（       ）
A． B． C． D．
9．函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为（       ）
A．-8 B．-9 C． D．


题型四：指数函数图像应用
10．已知正数满足，，，则下列判断正确的是（       ）
A． B． C． D．
11．已知过原点的直线与函数的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（       ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

【双基达标】
13．如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（     ）
A． B．
C． D．
14．已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
15．函数（且）与函数（且）在同一个坐标系内的图象可能是（       ）
A． B． C． D．
16．函数且的图象恒过定点（       ）
A．(－2，0) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(－1，－2)
17．函数的大致图像为（       ）
A． B．
C． D．
18．函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（       ）
A． B．
C． D．
19．已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（       ）

A． B． C． D．
20．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（       ）
A．2020 B．1010 C．1012 D．2022
21．在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（       ）．
A． B． C． D．
22．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为（       ）
A． B．
C． D．
23．已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
24．函数的图象大致是（       ）
A． B．
C． D．
25．幂函数在上单调递增，则过定点（       ）
A． B． C． D．
26．函数的图象如图所示，则（　　）

A．， B．， C．， D．，
27．设、、依次表示函数，，的零点，则、、的大小关系为（       ）．
A． B． C． D．
28．设函数，则满足成立的的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
29．对任意实数且关于x的函数图象必过定点(       )
A． B． C． D．
30．函数的图像大致形状是（       ）
A． B．
C． D．

【高分突破】
一、 单选题
31．已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
32．已知函数，则在区间上的零点的个数为（        ）
A． B． C． D．
二、多选题(共0分)
33．函数，存在实数使得，则下列关系式中成立的是（       ）
A． B． C． D．
34．已知正实数x，y，z满足，则下列关系式中可能成立的是（       ）
A． B．
C． D．
35．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
36．若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（       ）
A．2 B． C． D．
37．(多选)已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（       ）
A． B．
C． D．
38．（多选）在同一直角坐标系中，函数（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题(共0分)
39．函数的图象恒过定点_____________.
40．不论为何值时，函数且恒过定点__________．
41．若函数，则不等式的解集为___________.
42．已知函数，则它的反函数过定点___________．
43．已知函数，的图象不经过第四象限，则a的取值范围为__________．
44．已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.
45．已知函数y＝ax－m＋2的图象过定点(2，3)，则实数m＝________．
46．已知函数f(x)＝ax－3＋2的图像恒过定点A，则A的坐标为___________．
四、解答题(共0分)
47．已知函数f（x）＝ax﹣2（a＞0且a≠1）．
(1)求证函数f（x+1）的图象过定点，并写出该定点；
(2)设函数g（x）＝log2（x+2）﹣f（x﹣1）﹣3，且g（2），试证明函数g（x）在x∈（1，2）上有唯一零点．
48．通过对数一节的学习，我们可以借助常用对数把任意一个正数写成以10为底的幂．例如，．进而，利用正数以a为底（常数且）的对数就可以把任意一个正数转化为以a为底的幂．
(1)运用对数的概念，并借助计算器，试把0.7、0.4写成以0.84为底的幂的形式（幂指数保留两位小数）．
(2)利用上面的思想，并借助函数图象的平移，试在下面的平面直角坐标系中画出函数的大致图象．思考：一般地，函数（且）与（且，且）的图象之间具有怎样的关系？

49．已知函数，

（1）求的值；
（2）画出函数的图像；
（3）求函数的单调区间，并写出函数的值域.
50．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）有两个不等实根时，求的取值范围.
51．根据函数的图像，画出下列函数的图像．
（1）；   （2）；   （3）．

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
讨论时和时，函数的图象增减即可判断出可能的图象，即得答案.
【详解】
当时，为指数函数，且递减，
为幂函数，且在时递增，递增的幅度随x的增大而增加的更快，故A错误，B正确；
当时，为指数函数，且递增，
为幂函数，且在时递增，递增的幅度越往后越平缓，故C,D错误,
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
根据解析式判断定义域，由奇偶性定义判断对称性，再结合的符号，即可确定图象.
【详解】
由，
所以的定义域是，
又，
所以是奇函数，图象关于原点对称，且.
故选：C
3．B
【解析】
【分析】
将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.
【详解】
，
时，时，.
故选：B.
4．D
【解析】
【分析】
由函数的单调性得到的范围，再根据函数图像平移关系分析得到的范围.
【详解】
由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；
分析可知：

函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
作出函数和函数的图象，在轴右侧，的图象上存在点在图象下方，由此可得参数范围．
【详解】
作出函数和函数的示意图，其中的图象是过点的直线，是直线的斜率，的图象与轴交于点，
，
题意说明在轴右侧，的图象上存在点在图象下方，
由图象可知只要，即可满足题意．
故选：B．

6．C
【解析】
【分析】
由题意只需对一切恒成立，作出与的图象，数形结合即可求解．
【详解】
只需对一切恒成立，作出与的图象如下：

由图象可得：当时，，解得.
当时，，解得
故选：C
7．D
【解析】
【分析】
由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.
【详解】
解:令得,故定点为,
所以由三角函数定义得，
所以
故选：D
8．D
【解析】
【分析】
根据解析式，结合指数的性质易知过定点，结合已知即可求.
【详解】
由解析式知：，故过定点.
∴，则.
故选：D
9．A
【解析】
令，可得点，设，把代入可得，从而可得的值.
【详解】
∵，令，得，
∴，
∴的图象恒过点，
设，把代入得，
∴，∴，∴.
故选：A
10．A
【解析】
【分析】
先化简，再根据可分别看作直线和，，的图象的交点的横坐标，数形结合分析即可
【详解】
由已知条件可得，，.可分别看作直线和，，的图象的交点的横坐标，画出直线和，，的大致图象，如图所示，由图象可知.

故选：A
11．B
【解析】
【分析】
画出函数图象并分别求出和两段图象的切线方程，由交点个数即可求出斜率的范围.
【详解】
设过原点与相切的于点，
，则斜率为，此切线方程为，
将原点带入得，即斜率为，当斜率时函数与过原点的直线有两个公共点，
设过原点与相切的于点，
，则斜率为，此切线方程为，
将原点带入得，即斜率为，
当斜率时函数与过原点的直线有两个公共点，
故选：B.

12．D
【解析】
【分析】
函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围.
【详解】
函数有两个不同的零点，
即为函数与直线有两个交点，
函数图象如图所示：

所以，
故选：D.
13．C
【解析】
【分析】
由已知可得．再由由点在圆内部或圆上可得．由此可解得点在以和为端点的线段上运动．由表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项．
【详解】
函数恒过定点．将点代入直线可得，即．
由点在圆内部或圆上可得，
即．或．所以点在以和为端点的线段上运动．
表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以，．所以．
故选：C．


【点睛】
关键点点睛：解决本题类型的问题，关键在于由已知条件得出所满足的可行域，以及明确所表示的几何意义.
14．A
【解析】
【分析】
由不等式可知，或，结合图象，分析可得的取值范围.
【详解】
当时，，得，，不能满足都有解；
当时，，得或，
如图，当或时，只需满足或，满足条件.

所以，时，满足条件.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据不等式成立，求参数的取值范围，本题的关键是利用数形结合理解，分析，.
15．C
【解析】
【分析】
由二次函数图象过点特殊点，排除AD，再根据二次函数图象的对称轴和指数函数的单调性分类讨论判断．
【详解】
两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A，D；
二次函数图象的对称轴为直线，当时，指数函数递减，，C符合题意；
当时，指数函数递增，，B不符合题意．
故选：C．
16．A
【解析】
【分析】
根据指数函数的图象恒过定点，即求得的图象所过的定点，得到答案．
【详解】
由题意，函数且，
令，解得，
，
的图象过定点．
故选：A
17．B
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数排除C，取特殊值排除AD得到答案．
【详解】
当，，函数为奇函数，排除C；
，排除AD；
故选：B.
18．B
【解析】
利用函数是增函数，排除A，C，然后分别对B，D的图象分析，假设函数的图象是正确的，从而可得的范围，进而可得指数函数的图象
【详解】
解：对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误；
对于B，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是正确的，所以B正确；
对于D，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是增函数，所以D错误，
故选：B
19．C
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的图象与性质，作出函数的图象，然后比较可得．
【详解】
很显然均大于1；
与的交点在与的交点上方，
故，综上所述:.
故选:C.

【点睛】
本题考查指数函数的图象与性质，掌握指数函数是解题关键．在同一坐标系中作出两个函数的图象，然后分析比较即可得．
20．A
【解析】
【分析】
根据条件先得出函数的周期性和对称性，然后再利用函数与函数的图像交点研究问题即可.
【详解】
因为是定义在上的奇函数，
所以，即当时，
由已知，
，
，故是周期函数，且对称轴为，
又，即，
所以函数关于对称
如图函数和函数在上的图像

在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，
在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，
所以函数和函数在和上都有个交点，
根据对称性可得所有交点的横坐标之和为.
故选：A.
21．A
【解析】
【分析】
根据幂函数和指数函数的图象，即可逐项判断，得出结果.
【详解】
为幂函数，为指数函数
A. 过定点，可知，，的图象符合，故可能.
B. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
C. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
D.图象中无幂函数图象，故不可能.
故选：A
【点睛】
本题考查了幂函数和指数函数的图象，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
22．C
【解析】
根据指数函数和对数函数的图像，即可容易判断.
【详解】
∵a>1，∴0<<1，
∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，
故选：C.
【点睛】
本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.
23．D
【解析】
【分析】
根据已知求出，再分析出函数的周期性和对称性，作出函数的图象分析即得解.
【详解】
解：因为是定义在R上的奇函数，所以.
所以当时，.
因为，则关于对称，
因为关于对称，有6个不相同的根，
∴在有三个不同的根，
表示过定点的直线系，

.
作出在上的图象,如图所示，


时，，又,
则；
时，;
时，显然不满足题意.
∴m的取值范围.
故选：D．
24．D
【解析】
【分析】
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由观察图像的变化情况或取特殊值即可得答案
【详解】
由为偶函数可排除A，C；
当时，图象高于图象，即，排除B；
故选：D．
【点睛】
识图常用的方法：
（1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
（2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
（3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
25．D
【解析】
利用已知条件得到求出的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可.
【详解】
由题意得：
或，
又函数在上单调递增，
则，
则，
当时，
，
则过定点.
故选：D.
26．D
【解析】
根据函数图象，以及解析式，得到，结合函数对称轴，即可判断出结果.
【详解】
由图可知，，故，故，故排除A B；
又函数关于对称，由图象可知，，故C错，D正确；
故选：D.
27．D
【解析】
【分析】
根据题意可知，的图象与的图象的交点的横坐标依次为，作图可求解.
【详解】
依题意可得，的图象与的图象交点的横坐标为，
作出图象如图：

由图象可知，，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于中档题.
28．D
【解析】
【分析】
结合图象化简，由此确定正确选项.
【详解】
画出图象如下图所示，
由于，
所以或，这两个不等式组无解，
所以满足成立的的取值范围是空集.
故选：D

29．C
【解析】
【分析】
根据指数函数过定点(0，1)可求解.
【详解】
∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函数是指数函数，过定点(0，1)，则过定点(0，5).
故选：C.
30．C
【解析】
【分析】
分和 两种情况，然后根据指数函数图像和对称性进行判断.
【详解】
解：令，则
当时，在第一象限内的图像一样；
当时，其图像与 的图像关于轴对称；
故选：C
31．B
【解析】
【分析】
首先根据指数函数的性质求定点，即得函数的解析式，再判断函数的图象经过的象限.
【详解】
且恒过定点则函数恒过定点且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.
故选：B
32．B
【解析】
【分析】
将问题转化为函数与函数的图像交点个数，画出图像即可观察出答案.
【详解】
由已知在区间上的零点的个数即为函数与函数的图像交点个数，
两个函数在同一坐标系下的图像如下：

明显函数与函数的图像在上有2个交点
故选：B.
33．AB
【解析】
【分析】
作出函数图象，得关系，对每个选项逐一判断
【详解】
作出函数的图象如图所示：

存在实数使得，
由图可知：，即，A正确；
函数在上为增函数，则，
，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选：AB．
34．ABCD
【解析】
【分析】
在同一坐标系中画出（）的图象，并画出直线的图象，根据图象可判断的大小
【详解】
在同一坐标系中画出（）的图象，如图所示

的关系有四种情况 ：，
所以AB正确，
的关系有四种情况：，
所以CD正确，
故选：ABCD
35．BD
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.
【详解】
当时，在单调递增且其图象恒过点，
在单调递增且其图象恒过点，
则选项B符合要求；
当时，在单调递减且其图象恒过点，
在单调递减且其图象恒过点，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
36．CD
【解析】
【分析】
分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．
【详解】
由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，

当时，的图象如图（1）所示，
由已知得，；
当时，的图象如图（2）所示，
由已知可得，
，结合可得无解．
综上可知的取值范围为．
故选：．
37．ABC
【解析】
【分析】
先判断函数图象恒过的定点A，再逐一判断选项函数是否过该定点A即可.
【详解】
令，得，即函数的图象恒过点．
选项A中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；
选项B中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；
选项C中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；
选项D中，函数，令，得，此时函数图象不过点，不满足题意．
故选:ABC．
38．AC
【解析】
对a进行讨论，结合指数函数，对数函数的性质即可判断；
【详解】
由函数，
当a＞1时，可得是递减函数，图象恒过（0，1）点，
函数，是递增函数，图象恒过，
当1＞a＞0时，可得是递增函数，图象恒过（0，1）点，
函数，是递减函数，图象恒过；
∴满足要求的图象为：A，C
故选：AC
【点睛】
本小题主要考查指数函数、对数函数图象与性质.
39．（1,3）
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，即可得答案.
【详解】
令，可得，
所以，即图象恒过定点（1,3）.
故答案为：（1,3）
40．
【解析】
【分析】
将函数变形为，由恒等式可得.
【详解】
因为，恒成立，所以恒过定点．
故答案为：
41．
【解析】
【分析】
作出函数的图像，进而可得，然后利用图像解不等式即可
【详解】
函数的图像如图中的“实线”所示.

从而的图像如图中的“实线”所示，为解不等式，需观察图像，易解得与的交点为和.

故不等式的解集为，即.
故答案为：
42．
【解析】
【分析】
首先求出原函数过定点坐标，再根据反函数的性质得解；
【详解】
解：函数，令，即时，，即原函数过定点，则其反函数过定点
故答案为：
43．.
【解析】
根据和两种情况讨论，令，得出不等式，即可求解.
【详解】
当时，令，可得，此时不等式的解集为空集，（舍去）；
当时，令，可得，即，即实数的取值范围，
综上可得，实数的取值范围.
故答案为：.
44．
【解析】
结合指数函数和幂函数的性质求解．
【详解】
时，，所以函数图象恒过定点．
故答案为：．
45．2
【解析】
【分析】
根据指数函数的图象所过定点求解．
【详解】
由，得m＝2.
故答案为：2
46．(3，3)
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质a0＝1，令 x－3＝0，即得解
【详解】
由a0＝1知，当x－3＝0，即x＝3时，f（3）＝3，
即图像必过定点(3，3)．
故答案为：(3，3)
47．(1)证明见解析，（﹣1，﹣1）
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由指数函数的图象恒过定点（0，1），令x+1＝0，即可得到所求定点；
（2）由已知条件，解方程可得a，判断g（x）的单调性，求得g（1），g（2）的符号，由函数零点存在定理，即可得证．
(1)
函数f（x）＝ax﹣2（a＞0且a≠1），可得y＝f（x+1）＝ax+1﹣2，
由x+1＝0，可得x＝﹣1，y＝1﹣2＝﹣1，可得函数f（x+1）的图象过定点，
该定点为（﹣1，﹣1）；
(2)
设函数g（x）＝log2（x+2）﹣f（x﹣1）﹣3，且g（2），
可得g（x）＝log2（x+2）﹣ax﹣1﹣1，又g（2）＝log24﹣a﹣1，
解得a，则g（x）＝log2（x+2）﹣（）x﹣1﹣1，
由y＝log2（x+2）和y＝﹣（）x﹣1﹣1在（1，2）递增，
可得g（x）在（1，2）递增，又g（1）＝log23﹣1﹣1＜0，g（2）＝log2410，即g（1）g（2）＜0，由函数零点存在定理可得，函数g（x）在x∈（1，2）上有唯一零点．
48．(1)，
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）直接书写即可.
（2）依据，以及平移的知识可得图象，然后根据，最后依据平移知识简单判断即可.
(1)
，；
(2)
由，将函数的图象向左平移4个单位可得
如图

一般地，指数函数的图象与函数的图象之间总是差一个平移变换．
由，若记，则有，
因此函数的图象可视作由函数的图象平移个单位所得
（时向左，时向右）．
49．（1）；（2）图象见解析；（3）的单调递增区间是和，单调递减区间是，值域是.
【解析】
（1）根据分段函数，先求，再求即可.
（2）根据指数函数和二次函数的图象和性质画出函数的图象.
（3）由（2）中函数的图象，写出单调区间和值域即可.
【详解】
（1）因为函数，
所以，
所以，
即.
（2）画函数图象如图所示：

（3）由图象知：函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.
函数的值域是.
50．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
(1)由函数解析式可知定点为(2, 2)，代入即可求得的值；
(2)根据在定义域上单调递增即可求得不等式解集；
(3)方程有两个实根转化为两个函数的图象有两个交点，结合函数图形确定范围即可求参数范围
【详解】
解：（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为(2, 2)
又因为A点在上，则：
（2）由题意知：
而在定义域上单调递增，知
，即
∴不等式的解集为
（3）由知：，方程有两个不等实根
若令，有它们的函数图像有两个交点，如下图示

由图像可知：，故b的取值范围为
【点睛】
本题考查了函数过定点求参数，根据对数函数的单调性求解集，方程的根转化为函数图象的交点问题，结合函数图象求参数范围
51．见解析
【解析】
【分析】
根据各个函数与函数的图像的对称性，即可画出图像.
【详解】
（1）函数的图像与的图像关于轴对称

（2）函数的图像与的图像关于直线对称

（3）将的图像位于轴左侧的图像去掉，
再将轴右侧的图像对称过来，