微专题 构造函数解抽象不等式 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 构造函数解抽象不等式 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共28页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：构造函数解抽象不等式
【考点梳理】
解函数不等式关键是研究函数单调性，通过单调性将原问题转化为关于自变量的不等关系，要注意将常数y0写成f(x0)的形式.
常见类型如下：
(1)对于不等式f′(x)>k(k≠0)，构造函数g(x)＝f(x)－kx＋b.
(2)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0，构造函数g(x)＝xf(x)；对于不等式xf′(x)－f(x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0).
(3)对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，构造函数g(x)＝xnf(x)；对于不等式xf′(x)－nf(x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0).
(4)对于不等式f′(x)＋f(x)>0，构造函数g(x)＝exf(x)；对于不等式f′(x)－f(x)>0，构造函数g(x)＝.
(5)对于不等式f′(x)sinx＋f(x)cosx>0(或f(x)＋f′(x)tanx>0)，构造函数g(x)＝f(x)sinx；对于不等式f′(x)cosx－f(x)sinx>0(或f′(x)－f(x)tanx>0)，构造函数g(x)＝f(x)cosx.



【题型归纳】
题型一：构造函数解抽象不等式
1．定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（       ）
A． B． C． D．
2．定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（　　）
A． B． C． D．
3．设函数是奇函数（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【双基达标】
4．已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（       ）
A． B． C． D．
5．已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
6．已知函数满足：，，且．若角满足不等式，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
7．若函数在R上可导，且满足，则（       ）
A． B．
C． D．
8．定义域为R的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
9．已知定义在R上的可导函数满足，设，，则a，b的大小关系是（       ）
A． B． C． D．不确定
10．已知是定义在R上的可导函数，且满足，，，若，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
11．已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的x的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
12．已知是定义在上的函数，是其导函数，若，且，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
13．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，，且f（3）＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（       ）
A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)
14．已知定义在R上的函数的导函数为，且，为偶函数，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
15．已知定义在R上的函数的导函数为，且，为偶函数，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
16．已知定义在上的函数，其导函数为.若，且当时，，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
17．已知函数为奇函数，且当时，，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
18．已知函数在上可导，其导函数为，且对于任意，恒成立，则下列结论正确的是（       ）（是自然对数的底数）
①；②；③；④.
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
19．已知定义在上的连续函数，其导函数，当时，恒有成立．设，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
20．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

【高分突破】
21．已知定义在R上的偶函数满足：当时，恒有．若，，，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
22．定义在R上的函数满足：，，则关于不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
23．定义在R上的可导函数满足，若，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
24．已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（       ）
A． B．
C． D．
25．已知定义在R上的函数的导函数为，若，则（       ）．
A． B．
C． D．
26．已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，，设，，，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
27．已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是（       ）
A． B．
C． D．
28．已知定义在上的函数的导函数为，且，则（       ）
A． B．
C． D．
29．若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
30．已知偶函数的定义域为R，导函数为，若对任意，都有恒成立，则下列结论正确的是（       ）
A． B． C． D．
31．定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
32．已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（       ）
A． B．
C． D．
33．已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（       ）
A． B． C． D．
34．设为函数的导函数，已知，则（       ）
A．在单调递增
B．在单调递减
C．在上有极大值
D．在上有极小值
35．是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
36．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
37．已知函数的定义域为，图象关于y轴对称，且当时，恒成立，设，则，，的大小关系为（       ）
A．
B．
C．
D．
38．定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（       ）
A． B．0 C．1 D．2
39．已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有，且，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
40．双曲余弦函数是高等数学中重要的函数之一.定义在R上的函数的图象关于点对称，且当时，，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
41．已知是函数的导函数，，若对任意，，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
42．已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
43．已知上的函数满足，且，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先把原不等式转化为，令，利用导数判断出在上单调递减，且即可求解.
【详解】
因为函数为上的奇函数，则，所以.
原不等式可化为，即.
令，则，
故在上单调递减，且由所以.
故选：B.
2．D
【解析】
【分析】
构造新函数，利用导数说明其单调性，将变形为，利用函数的单调性即可求解.
【详解】
令 ，
则，由于,
故,故在单调递增，
而 ，
由，得 ，
∴ ，即 ,
∴不等式的解集为,
故选：D．
3．D
【解析】
【分析】
构造函数，求导结合题意可得的单调性与奇偶性，结合求解即可
【详解】
由题意设，则
∵当x＞0时，有，
∴当x＞0时，，
∴函数在（0，+∞）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数，
∴g（﹣x）＝g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
g（x）在（﹣∞，0）上递减，
由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，
∵不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0，
∴或，
即有x＞1或﹣1＜x＜0，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故选：D．
4．B
【解析】
【分析】
先得到为偶函数，再构造函数，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系.
【详解】
函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，
当，，故在上单调递减，
且易知为奇函数，故在上单调递减，由，
所以.
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
由条件得出关于成中心对称，进一步得出函数的单调性，然后再根据题意可得，或，从而可得出答案.
【详解】
由得关于成中心对称．
令，可得
当时，则在上单调递增.
由关于成中心对称且，故在上单调递增
由，则，或
解得，或，故
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
构造函数，，并判断函数为上的奇函数，再根据，可得在上单调递减，最后进行求解得的取值范围.
【详解】
解：构造函数，，
由化为：，
，\函数为上的奇函数，
则，在上单调递减．
若角满足不等式，则，
即，，解得：．
故选：A.
7．A
【解析】
【分析】
构造函数，根据函数在上可导，且满足，利用导数研究其单调性即可得出．
【详解】
构造函数，
函数在上可导，且满足，
，
时，函数单调递增，
（3）（2），
即，即，
故选：A
8．C
【解析】
【分析】
构造函数，不等式可转化为，根据判断F(x)的单调性即可求解不等式.
【详解】
令，则，
∴在R上单调递减，又∵，
∴，即，
∴.
故选：C.
9．B
【解析】
【分析】
构造函数，求导，结合已知可得单调性，然后利用单调性可得.
【详解】
记，因为，所以，
则在R上单调递减，
因为，所以
所以，即，
整理得，即.
故选：B
10．C
【解析】
【分析】
由已知条件求得，不等式变形为，构造函数，由导数确定其单调性，然后解函数不等式可得．
【详解】
不等式可化为，令，由，
得，所以是减函数，
因为，所以的图象关于点对称，即，
又，
分别令，，，，，得，，，，，
结合对称性有，
，，
所以，从而，
因此不等式为，所以．
故选：C．
11．D
【解析】
【分析】
根据，可设，根据的奇偶性及零点，可求出的奇偶性及零点，即可进一步通过的符号求得的单调性，最后对分类讨论，结合的单调性与零点，即可求得所需范围
【详解】
由已知可设，是定义域为的偶函数，可知为奇函数，，即.
又，故当时，，故在单调递增，结合为奇函数，故在也单调递增.
综上，要使，当时， ，根据的单调性与零点易得；
同理，当时， ，根据的单调性与零点易得.
故使得成立的x的取值范围是，
故选：D
12．B
【解析】
【分析】
根据给定条件，构造函数，再利用导数探讨函数的单调性，借助单调性解不等式作答.
【详解】
设函数，则，即函数在上单调递增，
而，即，又，因此
，则有，解得，
所以原不等式的解集为．
故选：B
【点睛】
思路点睛：求某些函数不等式解集，将不等式等价转化，构造新函数，借助函数的单调性分析求解.
13．D
【解析】
【分析】
构造函数,根据题意分析的单调性与奇偶性，进而得到的解集即可.
【详解】
构造函数,
因为,故为奇函数.
又.
故当时,,单调递增.
又，所以在上为增函数，且，
当时，，此时f(x)g(x)<0，
因为函数为奇函数，
当时，，此时f(x)g(x)<0，
综上，不等式的解集是(－∞，－3)∪(0，3).
故选：D
14．C
【解析】
【分析】
由已知条件构造函数，求导后可得在上单调递减，再判断的奇偶性，然后利用其单调性和奇偶性比较大小即可
【详解】
令，当时，．
因为，所以，
所以在上单调递减．
因为为偶函数，
所以，
所以为偶函数，
所以，，，
所以．
故选：C
15．B
【解析】
【分析】
构造函数，先判断时的单调性，再结合为偶函数，得到的图象关于直线对称比较即可.
【详解】
解：令，
当时，，
∵，
∴，
∴在上单调递减.
又为偶函数，
∴的图象关于直线对称.
∴，，，
所以.
故选：B
16．A
【解析】
【分析】
设，先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的单调性解不等式得解.
【详解】
解：设，则，
由已知，
所以，即为奇函数，
而，则在上单调递增，
因为，
即
即，所以.
故选：A
17．D
【解析】
【分析】
先判断函数在上为增函数，由于函数为奇函数，得在上单调递增，再由奇函数的性质对变形得，从而得，进而可求得解集
【详解】
，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以，所以在上单调递增，
因为函数为奇函数，所以在上单调递增，
由，得，
因为函数为奇函数，所以，
因为在上单调递增，所以，得
故选：D.
18．B
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数判断出在上单调递减.对照四个选项，利用单调性比较大小，分别判断，即可得到答案.
【详解】
构造函数，则，在上单调递减.
，即，，①正确；
，即，，②错误；
，即，，③错误；
，，即.
，④正确.
故选：B
19．C
【解析】
【分析】
令，求出函数的导函数，结合已知可得的单调性，即可判断；
【详解】
解：令，则，
当时，恒有成立，
当时， ，即在上单调递减．
则，，，
，即，
故选：C．
20．A
【解析】
【分析】
构造，求导分析函数的单调性与最值可得，故函数在R上为增函数，再根据在R上恒成立求解即可
【详解】
设，则．
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增．
∴，故．
又∵对任意恒成立，∴函数在R上为增函数，
∴在R上恒成立，∴在R上恒成立，即，
∴，∴实数的取值范围为．
故选：A．
21．A
【解析】
【分析】
构造函数，由已知条件可得单调性和奇偶性，利用函数的性质可判断a，b，c的大小关系.
【详解】
当时，有，可得，
构造函数，，
即函数在上单调递减，
函数为偶函数，由可知函数为偶函数，
，，，
由单调性可得，
故选：A
22．D
【解析】
【分析】
构造函数,由得的单调性,再将不等式转化为,由构造函数的单调性与即可求解．
【详解】
设，则,
, , 又，
所以, 在定义域上单调递增,
对于不等式转化为，
又，,
, 而在定义域上单调递增,
故选：D
23．B
【解析】
【分析】
构造函数，求导由题设得到单调性，将转化为，结合单调性即可求解.
【详解】
令，则，则在R上单减，又等价于，
即，由单调性得，解得.
故选：B.
24．B
【解析】
【分析】
构造函数，由得，即，即可得到单调性，再结合的奇偶性，即可对选项进行判断
【详解】
构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.
偶函数在上为增函数，在上为减函数，

，故B正确；
，，故C错误；
，，故D错误.
故选：B
25．D
【解析】
【分析】
根据题意构造函数，求导，可得在R上单调递增，，，，则可判断A、B、C；当时，，则可判断D.
【详解】
令函数，则，
所以在R上单调递增．
又，所以当时，，，
则，故，A不正确．
的符号不确定，B，C不正确．
当时，，则，故，D正确．
故选：D.
26．C
【解析】
【分析】
构造函数，由已知可判断出函数的奇偶性与单调性，进而判断，，的大小．
【详解】
解：令，则，
当时，，
函数在上为增函数，且函数图象过原点，
又函数是定义在实数集上的奇函数，即，
所以，
是定义在实数集上的偶函数，
又，，
所以，所以，
；
故选：C．
27．D
【解析】
【分析】
构造函数，由已知条件可得函数的单调性和奇偶性，利用函数的单调和奇偶性解不等式即可.
【详解】
令，是定义在上的奇函数，所以，所以是上的偶函数，
当时，，所以在上单调递增，所以在上单调递减.因为，所以，则.
对于不等式，当时，，即，解得；
当时，，即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：D.
28．C
【解析】
【分析】
易判断，构造函数可得在上单调递增，∴，即.
【详解】
∵，∴在上单调递减
∴，
构造函数，则
∴在上单调递增，∴
即.
故选：C.
29．A
【解析】
【分析】
由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，根据函数的单调性建立不等式可得选项.
【详解】
由题可设，因为，
则，
所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
∴，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：A.
30．C
【解析】
【分析】
令，结合条件可判断出在上单调递增，且函数为偶函数，进而可得.
【详解】
令，则，则A错误；
令，则，
当时，由，
，则在上单调递增，
又因为偶函数的定义域为R，
∴为偶函数，在上单调递增，
，，故B错误；
，，故C正确；
由题意，不妨假设(c为常数)符合题意，此时，故D错误.
故选：C.
31．B
【解析】
【分析】
由题目中的条件变形为，进一步转化为，构造函数，利用导数和函数之间的关系处理单调性即可求解.
【详解】
由，即，
即，即对恒成立，
令，则在上单调递增，
∵，∴，
由即，即，
因为在上单调递增，∴
故选：B.
32．B
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数判断函数单调性，根据单调性建立不等式求解即可.
【详解】
令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，解之得或，即原不等式的解集为，
故选：B.
33．A
【解析】
【分析】
根据题意得函数关于直线对称，，进而构造函数，易得其关于点对称，在上单调递增，再分时和时两种情况讨论求解即可.
【详解】
解：因为定义在上的函数满足为偶函数，
所以函数关于直线对称，即.
因为当，有，即，
故令，则在上单调递增，
因为，
所以关于点对称，
所以在上单调递增，
因为，所以
所以，当时，，所以.
当时，，所以且，即无解.
所以，不等式的解集是
故选：A
34．D
【解析】
【分析】
令，由即可得到函数单调性，判断A、B选项；由单调性结合求得，即可判断C、D选项.
【详解】
由题意知：，，令，则，显然当时，，单减，
当时，，单增，故A，B错误；在上有极小值，令，则，
又，则，故在上有极小值，C错误；D正确.
故选：D.
35．C
【解析】
【分析】
根据不等式构造函数，然后利用函数单调性解不等式即可.
【详解】
由，得
构造函数，，
所以函数在上单调递增，
因为，所以
不等式等价于
即，所以
故选：C.
36．B
【解析】
【分析】
设，求其导数结合条件得出单调性，再结合的奇偶性，得出的函数值的符号情况，从而得出答案.
【详解】
设，则，
∵ 当时，，
当时，，即在上单调递减.
由于是奇函数，所以,是偶函数，所以在上单调递增.
又，所以当或时，；
当或时，.
所以当或时，.
故选：B.
37．B
【解析】
【分析】
令，判断函数的奇偶性和单调性，再比较得到，再利用函数的单调性得解.
【详解】
解：∵当时，恒成立，∴，∴，
令，∴，∴，∴在上单调递减，
∵，∴，∴为奇函数，在上单调递减．
∵比较，，的大小，
∴，，
∵，∴，
∴，
.
∴，∴，
∴，
即．
故选：B．
38．D
【解析】
【分析】
有题干条件构造函数，得到其单调性，从而进行求解.
【详解】
构造函数，则，
因为，所以，所以单调递减，
又，所以，
不等式变形为，即，
由函数单调性可得：
故选：D
39．B
【解析】
【分析】
依题意原等价于不等式，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解；
【详解】
解：不等式，等价于不等式，
构造函数，则，
若对任意实数都有，
则，在上单调递增，
又，
故即，
故不等式的解集是，
故选：B．
40．A
【解析】
【分析】
先推出的图象关于点对称，则，再将不等式化为，然后根据导数判断函数的单调性，利用单调性可解得结果.
【详解】
因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
所以，所以，
所以，
所以不等式等价于，
因为
当时，，，所以在上单调递增，
当时，，，
所以在上单调递增，
又因为的图象连续不断，所以在上单调递增，
所以等价于，得，
所以不等式的解集为.
故选：A
41．A
【解析】
【分析】
令，利用导数说明函数的单调性，即可得到不等式的解集；
【详解】
解：令，则，
，
，
，即在上单调递减，
又，，
当时，即，即，
的解集为．
故选：A．
42．D
【解析】
【分析】
根据已知构造函数，得出，进而得出的单调性，再结合不等式将不等式转化为，再利用单调性即可求解.
【详解】
设，则.
因为定义在上的函数满足，所以，
所以函数在上单调递增.
又不等式可化为，
即，所以，解得.
所以不等式的解集为.
故选：D.
43．C
【解析】
【分析】
令，从而求导可判断导数恒成立，从而可判断函数的单调性，从而可得当时，，从而得到不等式的解集．
【详解】
解：令，
则，
又的导数在上恒有，
恒成立，
是上的减函数，
又，
当时，，即，
即不等式的解集为；
故选：C．