微专题 抛物线的中点弦问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 抛物线的中点弦问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共30页。学案主要包含了考点梳理，典例剖析，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：抛物线的中点弦问题
【考点梳理】
1、有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2、中点弦问题还经常运用到点差法，设而不求，利用抛物线方程作差有效地简化了计算量，从而到达所需的变量等式，此方法在椭圆和双曲线中也广泛运用.



【典例剖析】
典例1．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（       ）
A．4 B．2 C．1 D．
典例2．已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（       ）
A． B．
C． D．
典例3．已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则(       )
A．6 B．7 C．9 D．10
典例4．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（       ）
A． B． C． D．
典例5．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若，则线段的中点到y轴的距离为（       ）
A．8 B．6 C．4 D．2
典例6．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（       ）
A． B． C．3 D．4


【双基达标】
7．在平面直角坐标系中，已知是抛物线的焦点，过点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线交于点和，记的中点为，的中点为，则的最小值是（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知抛物线，过其焦点且斜率为的直交抛物线于､两点，若线段的中点的横坐标为，则该抛物线的准线方程为（       ）
A． B．
C． D．
9．如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（       ）
A． B．
C． D．
10．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（     ）
A． B．
C．的面积为 D．
12．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点.若点是线段的中点，则直线的斜率是（       ）
A． B． C． D．
13．已知抛物线内一点，过点的直线交抛物线于，两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
14．若斜率为（）的直线 l 与抛物线和圆M：分别交于A，B和C，D．且，则当面积最大时k的值为（       ）
A． B． C． D．
15．已知抛物线y2＝4x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为（　　）
A．2 B． C． D．1
16．已知斜率为的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，是线段的中点，是的焦点，的面积等于3，则（       ）
A． B． C． D．
17．已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
18．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（       ）
A． B． C． D．
19．已知直线l过抛物线的焦点，并交抛物线C于A、B两点，，则弦AB中点M的横坐标是（       ）
A．3 B．4 C．6 D．8
20．已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
21．已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（       ）
A． B．2 C．3 D．
22．已知抛物线，倾斜角为的直线交于两点.若线段中点的纵坐标为，则的值为（       ）
A． B．1 C．2 D．4
23．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的倾斜角为，则线段的中点到轴的距离是（       ）
A． B． C． D．
24．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（       ）
A．12 B．18 C．16 D．8
25．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（       ）
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．过抛物线的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M，若，则线段FM的长度为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．直线与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则的值为（       ）
A．或 B． C． D．
28．已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于A，两点，线段中点的纵坐标为，则（       ）
A． B．4 C．8 D．24
29．直线l与抛物线相交于A，B两点，线段AB的中点为M，点P是y轴左侧一点，若线段PA，PB的中点都在抛物线上，则（       ）
A．PM与y轴垂直 B．PM的中点在抛物线上
C．PM必过原点 D．PA与PB垂直

二、多选题
30．设，是抛物线上的两点，，是坐标原点，下列结论成立的是（       ）
A．直线过定点 B．到直线的距离不大于1
C．线段中点的轨迹为抛物线 D．
31．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，点为线段AB的中点，且，则下列结论正确的为（       ）
A．N为的外心 B．M可以为C的焦点
C．l的斜率为 D．可以小于2
32．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足为，，P为线段的中点，O为坐标原点，则（　　）
A．线段长度的最小值为4 B．为锐角
C．A，O，三点共线 D．P的坐标可能为
33．已知直线与抛物线交于两点，若线段的中点是，则（       ）
A． B．
C． D．点在以为直径的圆内

三、填空题
34．过点作抛物线的弦，若弦恰好被点平分，则弦所在直线的方程为______．
35．已知为抛物线的焦点，过点的直线交该抛物线于，两点，若点在第一象限，且，则线段的中点坐标为__________.
36．已知抛物线为过焦点的弦，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则下列结论正确的有________．
①若直线的斜率为-1，则弦；
②若直线的斜率为-1，则；
③点恒在平行于轴的直线上；
④若点是弦的中点，则．
37．已知抛物线C：与直线l交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则l的倾斜角为_____.
38．已知抛物线上有3点A，B，C，且直线AB，BC，AC的斜率分别为，2，3，则的重心的纵坐标为______．
39．若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.
40．已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线与C交于两点，若线段中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为_______．
41．已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于，且，点是弧（为原点）上一动点，以为圆心的圆与直线相切，当圆的面积最大时，圆的标准方程为__________.

四、解答题
42．已知直线l的抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点．
(1)若直线AB的斜率为1，求点M的横坐标；
(2)若，求点M纵坐标的最小值．
43．已知抛物线的准线方程为，过其焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为.
(1)求实数p的值；
(2)求的面积.
44．已知抛物线：（），过点的直线与抛物线交于，两点（在的左侧），为线段的中点.当直线斜率为时，中点的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段上存在点，使得，求点的轨迹方程.
45．已知抛物线，点，过M的直线l交抛物线C于A，B两点，
(1)若线段中点的横坐标等于2，求直线的斜率；
(2)设点A关于x轴的对称点为，求证：直线过定点．
46．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．

参考答案
1．B
【分析】设，，代入抛物线方程相减可得．
【详解】设，，∵是AB的中点，∴，
由，相减得，
所以直线的斜率，
故选：B．
2．A
【分析】设点、，则，利用点差法可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，则，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，
由已知，两式作差可得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
3．D
【分析】设的中点为，则﹒根据A和B在抛物线上，满足抛物线方程得到两个方程，两个方程作差即可得到直线l斜率，故可得直线l方程，从而可求M的横坐标，从而可求．
【详解】焦点为，p＝4，设的中点为，
∴，
∴，即，故，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，故，
故，∴，
∴．
故选：D．
4．A
【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果.
【详解】设，，则，，所以，
即，
因为AB的中点为，，
所以直线的斜率，所以直线的方程为，
所以焦点到直线的距离，
故选：A.
5．C
【分析】由椭圆定义及其组成的直角梯形的几何特征，得到线段的中点到准线的距离，再减去准线到轴的距离，即可得到结果
【详解】
由图，中点为，分别垂直准线于，交轴于，易得为直角梯形的中位线，则，
由椭圆定义易得，，，又准线为，，
故线段的中点到y轴的距离，
故选：C
6．D
【分析】根据已知及抛物线的几何性质求出，再由已知求出的值.
【详解】由题意可得抛物线的焦点.
弦AB的中点M的横坐标为，
由已知条件可知直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为，，
则联立，消去y得，
∴，又因为弦AB的中点M的横坐标为，
∴，∴，，
∴点A到准线的距离为，
点B到准线的距离为，
所以∴，
又，故.
故选：D
7．C
【分析】设出的方程，分别与抛物线联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出，的坐标，进而可以求出，利用基本不等式求其最小值．
【详解】解：由是抛物线的焦点，得，
设，
联立，消去得，
,


设，
联立，消去得，
,


．
故选：C．
【点睛】本题考查直线和抛物型的位置关系，利用韦达定理解决中点坐标问题，中档题，注意计算的准确性．
8．D
【解析】先将抛物线方程写成标准方程形式，直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求，再求抛物线的准线方程.
【详解】抛物线的标准方程是，焦点坐标是，
则直线的方程是，与抛物线方程联立得，
，因为线段的中点的横坐标为2，所以，得，
所以该抛物线方程，则准线方程.
故选：D
9．B
【分析】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则，利用点差法可得答案.
【详解】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则
因为，两式相减可得，，即
由中点公式可得，所以，即，
所以AB所在直线方程为，即．
故选：B．
10．D
【分析】设直线AB的方程为x＝y+1，联立，得到AB的中点坐标，然后过P作PH垂直准线于点H，再利用抛物线的定义，由三点共线时求得最小值求解.
【详解】如图所示：

由题意，得F（1，0），故直线AB的方程为x＝y+1，
联立，得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，x1+x2＝（y1+y2）+2＝14，
所以Q（7，2），
过P作PH垂直准线于点H，
由抛物线的定义得：|PF|+|PQ|＝|PH|+|PQ|≥|QH|＝7+1＝8，
当三点共线时，等号成立，
所以|PF|+|PQ|的最小值为8，
故选：D.
11．C
【分析】求出抛物线的准线方程，可求得的值，可判断A选项的正误；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得的值，可判断B选项的正误；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断CD选项的正误.
【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确；
因为，所以抛物线的方程为，其焦点为，
又直线，即，所以直线恒过抛物线的焦点，
设点、，因为、两点在抛物线上，
联立方程，两式相碱可得，，
设的中点为，则，
因为点在直线上，解得，
所以点是以为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆的半径.
因为，所以，
解得，故选项B正确；
因为，所以，直线为，即，
由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为，
所以，故选项C错误，D正确.
故选：C.
12．D
【分析】设，，代入抛物线方程，相减，利用中点坐标公式可得直线斜率．
【详解】设，，因为，是抛物线上的点，所以，则.
因为点是线段的中点，所以，所以，则，即直线的斜率是.
故选：D．
13．B
【解析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
则直线方程为，即.
故选：B.
14．C
【分析】由条件可得的中点与的中点重合，设此点为，则，求出当面积最大时的长，结合此时列出不等式，解出，得出答案.
【详解】因为，则的中点与的中点重合，设此点为，

则

当，即，时，取最大值，
令，，，
,
由,得，
由，得，
.
故选：C．
15．D
【分析】设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程，由韦达定理及直线斜率公式即可求解.
【详解】设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l与抛物线方程，化简可得，y2﹣4my﹣4n＝0，
由韦达定理可得，y1+y2＝4m，
∵，
∴4m＝4，即m＝1，
∴直线l的方程为y＝x﹣n，
∴k＝1．
故选：D
16．B
【解析】先求出F,设出A、B、M，用“点差法”找出，利用的面积等于3计算出，求出斜率k.
【详解】由抛物线知：焦点
设
因为是线段的中点，所以
将和两式相减可得：，
即
∵
∴,
.
故选：B
【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.
17．D
【解析】设弦与抛物线的交点为，则，根据弦的中点是，利用点差法求解.
【详解】设弦与抛物线的交点为，
则，
两式相减得：，
所以，
因为弦的中点是，
所以，
则，
所以这条弦所在直线的方程为，
即，
故选：D
18．C
【分析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得的值，即可得出直线的斜率.
【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，
设点、、，
联立可得，，，
所以，，
，，
直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以，，
因为，则，因为，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：C.
19．C
【解析】根据抛物线方程画出图像,结合抛物线定义及梯形中位线性质,即可求得AB中点M的横坐标.
【详解】直线l过抛物线的焦点, 交抛物线C于A、B两点
则其焦点坐标为,准线方程为
过向准线作垂直交准线于点,过向准线作垂直交准线于点,过向准线作垂直交准线于,交轴于,如下图所示:

设
由抛物线定义可知,
由,可知
因为为的中点,
由梯形的中位线性质可知
则
即M的横坐标是
故选:C
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,过焦点的直线与弦长关系,中点坐标公式及梯形中位线性质的应用,属于基础题.
20．C
【分析】设，则，两式作差算出直线的斜率即可.
【详解】设，则
两式相减得，
∴直线的方程为，即，
故选：C
21．C
【分析】根据点差法和中点坐标公式即可求出；
【详解】解：设，，，，
由，，
相减可得，
，
，
故选：C．
22．C
【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和中点公式可求的值.
【详解】设直线方程为，联立得，
设，则，
因为线段中点的纵坐标为，所以，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用弦中点求解参数时，一般利用待定系数法，结合韦达定理及中点公式可得结果，侧重考查数学运算的核心素养.
23．D
【分析】由题设知直线为，联立抛物线方程，应用韦达定理易得的中点横坐标，根据中点在直线上求纵坐标，即可得线段的中点到轴的距离.
【详解】由题意，抛物线为，则，即直线为，
∴将直线方程代入抛物线整理得：，令，，
∴，故线段的中点的横坐标为代入直线，得：.
∴线段的中点到轴的距离是.
故选：D
24．C
【分析】设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由的中点的坐标，求出参数的值，即可得到，再根据焦点弦的性质计算可得；
【详解】解：由条件得，设，，直线的方程为：，
联立得，
∴，由得.
∴，所以.
故选：C
25．B
【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的问题得，进而再求解准线方程即可.
【详解】解：根据题意，设，
所以①，②，
所以，①②得：，即，
因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，
所以，即，
所以抛物线，准线方程为.
故选：B
26．B
【解析】先设点，点，则，再把的中点坐标和斜率表示出来，
进一步可以求出线段AB的中垂线的方程，只需令，则的横坐标，故可计算出线段FM的长度为.
【详解】设，，由抛物线性质可知.

，由题可知.
，即
设线段AB的中垂线的斜率为，则.
所以AB的中垂线方程为：
令，则的横坐标
则
所以线段FM的长度为2.
故选：B.
【点睛】（1）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，
若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
（2）本题还运用到点差法，设而不求，利用抛物线方程作差有效地简化了计算量，从而到达所需的变量等式，此方法在椭圆和双曲线中也广泛运用.
27．B
【分析】联立直线与抛物线的方程，然后利用韦达定理，根据中点坐标公式，可得结果.
【详解】解：设，由，
消去y得，
由题意得，
∴，.
故选：B
28．C
【分析】点差法求得，然后利用直线AB方程求得中点横坐标，根据抛物线定义可得.
【详解】记AB中点为，设，则，显然，所以由点差法得，由题知，，所以，易得直线AB方程为，则，即，所以.
故选：C
29．A
【解析】设,得出线段PA，PB的中点坐标，代入抛物线方程，得到，从而得到答案.
【详解】设
则线段PA，PB的中点坐标分别为
线段PA，PB的中点都在抛物线上.
则，即
所以是方程的两个实数根
所以，所以,即PM与y轴垂直
故选：A
【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA，PB的中点都在抛物线上得到，所以是方程的两个实数根，即，属于中档题.
30．BCD
【解析】设方程为，可得，利用可求出，得出定点，判断A；利用点到直线距离公式可求出距离范围判断B；利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去可得轨迹，判断C；利用，结合基本不等式可求判断D.
【详解】由题可知，直线AB的斜率存在且不过原点，设方程为，，
联立直线与抛物线方程，可得，
则，
，，
解得（舍去）或，
则直线AB方程为，恒过定点，故A错误；
点到直线的距离，故B正确；
设线段中点坐标为，
则，消去可得，
故线段中点的轨迹为抛物线，故C正确；
，则，


，当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
31．AC
【分析】由可得，即可判断A选项；设出直线，联立抛物线，由求出，即可判断B选项；由点差法即可求出l的斜率判断C选项；求出即可判断D选项.
【详解】

由可得，则N为的外心，A正确；
易得直线斜率不为0，设，，联立可得，
，则，则，由可得，
即，则，则焦点为，B错误；
由作差得，即，C正确；
，则，D错误.
故选：AC.
32．ACD
【分析】根据抛物线的性质判断A；根据抛物线的定义和平行线的性质判断B；设直线AB和点A、B的坐标，联立抛物线方程，结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等，判断C；结合C选项可判断D.
【详解】由题意知，抛物线C的方程为，
线段长度的最小值为通径，A正确；
，轴，∴，
同理，∴，B错误；
设直线，
联立抛物线并整理，得，
设，，
则，，
∵，∴，A，O，三点共线，C正确；
设的中点，
则，，
取时，，D正确；
故选：ACD
33．AB
【分析】直线与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标可构造方程求得，知A正确；
将中点坐标代入直线方程即可求得，知B正确；
根据直线过抛物线焦点，根据抛物线焦点弦长公式可知C错误；
根据长度关系可确定，由此可确定D错误.
【详解】对于A，设，，
由得：，，
又线段的中点为，，解得：，A正确；
对于B，在直线上，，B正确；
对于C，过点，为抛物线的焦点，
，C错误；
对于D，设，则，又，
，，在以为直径的圆上，D错误.
故选：AB.
34．
【分析】只需求出的斜率即可得到直线方程，设出，，利用“点差法”解决.
【详解】显然不垂直于轴，故，设，，则，两式相减得．
∵点是弦的中点，∴，于是，即直线的斜率，
故弦所在直线的方程为，即．
故答案为：
35．
【分析】根据抛物线方程及几何关系画出图形，由抛物线定义及几何关系可求得直线的方程，联立抛物线方程，结合韦达定理可求得线段中点的横坐标，再代入直线的方程即可求得纵坐标，进而得线段的中点坐标.
【详解】根据题意和抛物线几何关系，画出几何关系如下图所示：

如图所示，过分别作准线的垂线，垂足分别为，过作的垂线，垂足为.
设，则，.
由抛物线的定义知，
故在中，有，所以，即直线的倾斜角为.
所以可设直线的方程为，
代入，有，
设，中点为.
则，
所以，
所以.
故中点坐标为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了抛物线性质及定义的应用，三角形几何关系的应用，直线与抛物线交点弦的中点坐标求法，属于中档题.
36．①③④
【解析】设PA的方程与抛物线方程联立，利用判别式求出，可得PA的方程，同理可得PB的方程,联立与的方程求出点的坐标，可知④正确；设直线的方程为，与抛物线方程联立，当时，利用韦达定理求出与可知②错误，③正确；当时，利用抛物线的定义和韦达定理可得弦长，可知①正确．
【详解】设PA方程与抛物线方程联立得，
由得，
方程为，同理得PB方程，
联立，解得，
所以交点P，即，所以④正确；
根据题意直线的斜率必存在，设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，所以③正确；
当t=-1时，，所以②错误，
当t=-1时，根据抛物线的定义可得

，所以①正确．
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：设出切线方程，利用判别式等于0，求出切线方程，联立切线方程求出交点的坐标是解题关键.
37．##
【分析】结合点差法求得直线的斜率，从而求得其倾斜角.
【详解】设，，则，，
两式相减可得，
则，
故的斜率为1，则的倾斜角为.
故答案为：
38．
【分析】设，，，利用点差法和两点坐标表示直线斜率可得，同理可得、，进而可得，结合三角形重心的坐标表示即可得出结果.
【详解】设，，，
则，两式相减得，
所以直线AB的斜率，所以．
同理，直线BC的斜率，
所以，直线AC的斜率，
所以．所以，
，，
所以的重心的纵坐标为．
故答案为：.
39．
【分析】设出点A，B的坐标，再求出弦AB的垂直平分线的方程，将代入计算作答.
【详解】设点、的坐标分别是、，则，，
两式相减得，因，即有，
设直线的斜率是，弦的中点是，则，
从而的垂直平分线的方程为，
又点在直线上，所以，而，解得，
弦中点的横坐标为2.
故答案为：2
40．
【分析】设、，利用点差法可得出，最后根据线段中点的纵坐标为即可求出结果.
【详解】设，，则，，
两式相减得，即，
因为、两点在斜率为的直线上，所以，
所以由得，
因为线段中点的纵坐标为，所以，
则，，
所以F到C的准线的距离为.
故答案为：.
41．
【分析】设，代入抛物线方程，结合斜率公式，求得直线的斜率，得出的方程为，联立方程组，求得的坐标，根据点在上一动点，利用点到直线的距离公式，得到时，，进而求得圆的方程.
【详解】设，
因为点在抛物线上，可得，
两式相减可得，所以，
由因为，所以，所以直线的方程为，
联立方程组，可得，解得或，
即或，
设点，因为点在（为原点）上一动点，
所以且，
当点到直线的距离为，
当时，，所以圆的方程为.
故答案为：.
42．(1)2
(2)3

【分析】（1）设，代入抛物线的方程中作差可得答案.
（2）设直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，根据弦长公式求得，再由中点坐标公式和基本不等式可求得答案.
(1)
解：设，则，所以，即，
又直线AB的斜率为1，所以，所以线段AB的中点M的横坐标为2；
(2)
解：设直线AB的方程为，与抛物线联立整理得，则，
所以，
又，所以，整理得，解得，
设线段AB的中点M的坐标为，则，所以
，当且仅当，即时取等号，
所以点M纵坐标的最小值为3．
43．(1)
(2)

【分析】（1）由题意得到关于的方程，解方程可得的值；
（2）设直线的方程为，， 与抛物线方程联立，结合韦达定理得到关于的方程，解方程即可确定直线方程，再利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，最后利用面积公式计算可得．
(1)
解：由准线方程为知，，故.
(2)
解：由（1）知，抛物线方程为，
设直线的方程为，，
联立抛物线方程，化简得.
则，
由线段的中点为，知，
，代入韦达定理知，
，解得，
故直线的方程为.
所以，
因此的面积.
44．(1)；
(2).

【分析】（1）设，，由题设得直线，联立抛物线方程，由韦达定理及中点M纵坐标求参数p，即可得抛物线方程.
（2）由，设、直线为：并联立抛物线，根据根的个数、韦达定理求t的范围及，再由已知条件可得，结合在线段上得到关于t的参数方程，进而可得的轨迹方程.
(1)
设，，
由题意，直线，即.
由，消去得：，故，
，则抛物线的方程为：.
(2)
设，由（1），点坐标为，
由题意，直线得斜率不为0，设直线为：.
联立直线与抛物线的：，消去得：，
因为方程有两个不等实根，故或，
由韦达定理知：，
因为，即，而，，，四点共线，在线段上；
所以，化简得：，即，
所以，，，消去参数得：.
由或，可得：.
从而点的轨迹方程为：
【点睛】关键点点睛：第二问，设直线联立抛物线，应用判别式求参数范围，由韦达定理得到相关点坐标与参数关系，再由及点共线求得点N横纵坐标关于t的参数方程.
45．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理结合中点坐标即可求出；
（2）表示出直线方程，根据坐标关系化简可得直线方程为，即可得出.
(1)
设直线斜率为，则直线方程为，
联立方程，可得，
因为，且，可得，
设，则，
因为线段中点的横坐标等于2，所以，解得，符合.
(2)
由题可得，则直线的方程为，
又，所以，
因为，且同号，所以，
所以直线的方程为，
所以直线恒过定点.
46．(1)
(2)2

【分析】（1）根据抛物线上点到焦点的距离关于p的方程可求出得抛物线方程；
（2）联立直线方程与抛物线方程得一元二次方程，由韦达定理及中点坐标公式即可求解.
(1)
由题意设抛物线方程为，其准线方程为，
∵到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴
∴
∴抛物线C的方程为
(2)
由消去y，得   ,
∵直线与抛物线相交于不同两点A、B，
则有,
解得且，
又，
解得 ，或（舍去）
∴的值为．