微专题 抛物线焦点弦的性质 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 抛物线焦点弦的性质 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共40页。学案主要包含了考点梳理，典例剖析，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：抛物线焦点弦的性质

【考点梳理】
抛物线焦点弦的性质
直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有：
(1)通径的长为2p.
(2)焦点弦长：＝x1＋x2＋p(|AF|＝x1＋).
(3)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
(5)若α为弦AB的倾斜角，则|AF|＝，|BF|＝；|AB|＝；＋＝；以AF或BF为直径的圆与y轴相切.



【典例剖析】
典例1．已知F是抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，且，则（       ）
A． B．
C． D．
典例2．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（       ）
A．2 B． C． D．4
典例3．已知抛物线的焦点为，若，是抛物线上一动点，则的最小值为（       ）
A． B．2 C． D．3
典例4．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（       ）
A． B．4 C． D．2
典例5．已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（       ）
A． B． C．2 D．
典例6．已知直线l过抛物线的焦点，并且与抛物线C交于不同的两点A、B，若为线段的中点，则的值为（       ）
A．4 B．5 C．6 D．8



【双基达标】
7．已知M是抛物线C：上的一点，F为抛物线C的焦点，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，)，则点M的横坐标为（       ）
A．－3 B．－2 C．－4 D．－2
8．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限）．若直线的斜率为，点的纵坐标为，则的值为（       ）
A． B． C．1 D．2
9．定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，则M到y轴距离的最小值为（       ）
A． B． C．2 D．
10．己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（       ）
A．24 B．22 C．20 D．16
11．已知F是抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线交于点M，若，则（       ）
A． B． C． D．3
12．抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（       ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为4，则的值为（       ）
A． B． C． D．
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N．下列说法正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则平分
C．若，则 D．若，延长AO交直线于点D，则D，B，N三点共线
15．已知直线过抛物线：的焦点，且与该抛物线交于两点.若线段的长为16，的中点到轴距离为6，则（为坐标原点）的面积是（       ）
A． B． C． D．
16．抛物线：的焦点为，直线过点，斜率，且交抛物线于，（点在轴的下方）两点，抛物线的准线为，为坐标原点，作于，于，小明计算得出以下三个结论：①；②平分；③．其中正确的结论个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
17．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（       ）
A．2 B．4 C．6 D．8
18．过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（       ）
A．或 B．或 C．或 D．与p值有关
19．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线和之间的距离为，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4
20．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为（       ）

A．11 B．12 C．13 D．14
21．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A(点A在第一象限)，两点，且，则(为坐标原点)的面积是(       )
A． B． C．2 D．4
22．直线与抛物线交于，两点，则（       ）
A． B． C． D．
23．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于､两点，若，则直线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
24．已知抛物线为坐标原点，过其焦点的直线交抛物线于两点，满足则的面积为（       ）
A． B． C． D．
25．直线l过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|=4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【高分突破】
一、 单选题
26．已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（        ）
A．10 B．14 C．12 D．16
27．抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于y轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点（       ）
A． B． C． D．
28．设抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（　　）
A． B． C． D．
29．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于两点，且，则直线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
30．阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（   　   ）
A． B．
C． D．
31．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于PQ两点，若以线段PQ为直径的圆与直线相切，则（       ）
A．8 B．7 C．6 D．5

二、多选题
32．已知直线：与抛物线C：相交于A，B两点，点A在x轴上方，点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（       ）
A． B． C． D．
33．已知曲线，则以下说法正确的是（       ）
A．最小值为
B．两曲线有且仅有2条公切线，记两条公切线斜率分别为，则
C．当轴时，
D．
34．已知抛物线C：的焦点为，点A，B为C上两个相异的动点，则（       ）
A．抛物线C的准线方程为
B．设点，则的最小值为4
C．若A，B，F三点共线，则的最小值为2
D．若，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则
35．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴交于点P，直线与抛物线交于M，N两点，则下列说法正确的是（       ）
A． B．
C．若，则 D．若，则∠MPF的最大值为

三、填空题
36．直线过抛物线的焦点为，且与抛物线交于、两点，则的最小值为_______．
37．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且，则p的值为______．
38．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，若，且，则到的距离为______.
39．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A（点A在第一象限），B两点，且，则（O为坐标原点）的面积是______．
40．过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，若两点的横坐标之和为5，则___________.
41．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点到直线的距离为 __________．
42．已知抛物线及圆，过的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为___________.
43．已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为__________．

四、解答题
44．已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5.

（1）求的值；
（2）如图，已知为抛物线上过焦点的任意一条弦，弦的中点为垂直与抛物线准线交于点，若，求直线的方程.
45．在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.

(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
46．设抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，若的中点到准线l的距离为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设P为l上任意一点，过点P作C的切线，切点为Q，试判断F是否在以为直径的圆上．
47．在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③MN的方程为.
(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线的标准方程；
(2)设直线与相交于A，B两点，线段AB的中点为，且与相切于点，与直线交于点，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线.
48．已知直线与抛物线交于两点．
(1)若，直线 过抛物线 的焦点，线段中点的纵坐标为2，求的长；
(2)若交于，求的值．

参考答案
1．A
【分析】设出交点坐标，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理写出，根据抛物线的定义可知，结合已知条件，即可得出正确选项.
【详解】设，，由，得，则．
又，即．
故选：A．
2．B
【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及，联立可得，进而可用对勾函数的性质求的最值，进而可求.
【详解】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：
所以.∵，
当时，，当时，，
∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.
∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，
故选：B.
解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，
故选：B.
3．B
【分析】利用抛物线的定义，利用几何法求最值.
【详解】根据题意,作图如下：

设点P在其准线x=-1上的射影为A,由抛物线的定义得:.
所以要使取得最小值,只需最小.
因为(当且仅当M,P,A三点共线时取“=”),
此时点P的纵坐标为1,设其横坐标为x0.
因为P(x0,1)为抛物线上的点,则有，解得：.
当P为(,1)时, 取得最小值2.
故选：B．
4．A
【分析】利用抛物线的定义结合条件可得，，进而可得.
【详解】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，

则，，
因为，
所以，所以，所以，
所以，，
所以.
因为，
所以，
解得，所以，点F到AM的距离为，
所以.
法二：因为，
所以，所以，即.
连接FM，又，
所以为等边三角形.
易得，所以.
故选：A.
5．C
【分析】设直线l的倾斜角为，求得．过A作准线于，过B作准线于，过B作于.由抛物线定义求出和.
在直角三角形ABC中，利用余弦的定义表示出,即可解得．
【详解】设直线l的倾斜角为，根据条件可得，则可得．

过A作准线于，过B作准线于，过B作于.
由抛物线定义可得：.
因为，所以.
而.
在直角三角形ABC中，,解得：．
故选：C
6．C
【分析】先求出抛物线的准线方程，分别过作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得出答案.
【详解】抛物线的准线方程为：
分别过作准线的垂线，垂足分别为
则点到准线的距离为
根据抛物线的定义可得,且
所以
故选：C

7．A
【分析】设，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，)，所以有，求出，又因为M是抛物线C上的一点，代入抛物线方程即可求出答案.
【详解】设，因为以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，)，由抛物线性质知，则，代入抛物线C：，得．
故选：A.
8．C
【分析】设，由抛物线的定义可得，由焦半径公式可得，从而可得，进而可求出的值
【详解】解：由题意得，抛物线焦点在轴上，准线方程为，
设，则，设直线的倾斜角为，则，
因为，所以
所以，
所以，解得，
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的定义的应用和焦半径公式的应用，解题的关键是分别用抛物线的定义和焦半径公式表示出，从而可列方程求出的值，考查转化思想和计算能力，属于中档题
9．C
【分析】利用抛物线的定义结合梯形中位线公式得到M到y轴距离，当三点共线时即得到M到y轴距离的最小值．
【详解】解：抛物线的焦点为F，则抛物线的准线，
设在准线上的垂足分别为,连接,如图所示.
所求的距离
因为抛物线的通径为,
所以定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动时可以经过焦点,
此时三点共线，，，
则点M到y轴的最短距离为2，
故选：.

10．A
【分析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得.
【详解】设直线，的斜率分别为，
由抛物线的性质可得，，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
11．B
【分析】过点作准线的垂线交于点，则，过点作准线的垂线交于点，则，利用三角形相似即可求解．
【详解】解：如图，过点作准线的垂线交于点，由抛物线的定义有，过点作准线的垂线交于点，则，
，，
根据，可得，
．，即，
，

故选：B．
12．C
【分析】结合抛物线的定义求得，由此求得线段的中点到准线的距离．
【详解】抛物线方程为，则，
由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，
即，
所以线段的中点到准线的距离为.
故选：C．
13．B
【分析】方法一：根据题意，，进而设直线：，，，进而联立方程，结合韦达定理得，，再根据面积比得，进而结合焦半径公式得，再解方程组即可得答案；
方法二：设直线AB的倾斜角为，进而根据面积比得，根据焦半径与倾斜角的关系得，，进而得，，即可得答案.
【详解】解：解法一：
由抛物线得，
设直线：，，，
故联立方程得
所以，
由已知和抛物线定义知：，
所以，故由焦半径公式得：，即，
故，解方程组得.
故选：B
方法二：
由已知和抛物线定义知：
设直线AB的倾斜角为，则，，
所以，解得，所以．
故选：B．

14．D
【分析】根据求出焦点为、点坐标，可得直线的方程与抛物线方程联立得点坐标，由两点间的距离公式求出可判断AC；
时可得，．由可判断B；
求出点坐标可判断D.
【详解】如图，若，则，C的焦点为，因为，所以，
直线的方程为，整理得，与抛物线方程联立得
，解得或，所以，
所以，选项A错误；

时，因为，所以．又，
，所以不平分，选项B不正确；

若，则，C的焦点为，因为，所以，
直线的方程为，所以，
所以，选项C错误；

若，则，C的焦点为，因为，所以，
直线的方程为，所以，直线的方程为，延长交直线于点D，所以则，
所以D，B，N三点共线，选项D正确；

故选： D.
15．B
【分析】设，的坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，可得的表达式，再由的中点到轴的距离是6可得，的横坐标之和，进而可得的值，求出抛物线的方程，设直线的方程，与抛物线联立，结合韦达定理可求出三角形的面积．
【详解】设，，，，
由抛物线的定义可得，
又因为的中点到轴的距离是6，所以，
所以，
所以抛物线的方程为：，
设直线的方程，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得，
，
所以，
解得，所以的方程为：，
.
故选：B
16．D
【分析】对于①：设直线m的倾斜角为α，利用抛物线的焦点弦的弦长公式即可求解；
对于②：利用几何法证明；
对于③：由抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】由抛物线的方程可得焦点F（1，0），准线方程为：x=-1，如图

对于①：令直线m的倾斜角为α，∵，∴，∴，①正确；
对于②：∵，∴∠AA1F=∠AFA1，又∵AA1∥OF，∴∠AA1F=∠A1FO，
∴∠A1FA=∠A1FO，∴A1F平分∠OFA，②正确；
对于③：由抛物线的性质可得，，
，
∴，，
∴|AA1|·|BB1|=|AA1|+|BB1|，③正确.
故选:D．
17．B
【分析】根据，，三点共线，结合点到准线的距离为2，得到，再利用抛物线的定义求解.
【详解】如图所示：

∵，，三点共线，
∴是圆的直径，
∴，轴，
又为的中点，且点到准线的距离为2，
∴，
由抛物线的定义可得，
故选：B.
18．C
【分析】根据题意画出图形，根据抛物线的定义和相似三角形列出比例式，再利用直角三角形的边角关系求出直线的倾斜角.
【详解】如图所示，

由抛物线的焦点为，准线方程为，
分别过A，B作准线的垂线，垂足为，，直线l交准线于，如图所示：
则，，，
所以，，
所以，即直线l的倾斜角等于，
同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为，
故选：C．
19．B
【分析】写出直线AF、BF的方程，求出，，由，解出p.
【详解】抛物线的焦点.
由,所以直线AF的方程为，即，
联立，得，解得：或，可得：.
同理直线BF的方程为，即，
联立，解得：.
所以，解得：.
故选：B
20．B
【分析】设出B、C坐标，由坐标和焦点弦公式表示出三条线段直接可得.
【详解】设，，所以，，，所以该光线经过的路程为12.
故选：B
21．B
【分析】由题意可得，设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，得到根与系数的关系，结合即可求出A、B纵坐标，.
【详解】由题意可得，设直线的方程为．
联立整理得．
设，，则，，．
∵，∴，则，解得，从而，
故的面积是．

22．D
【分析】焦点弦长度等于.
【详解】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则
由得：，
所以，，
所以，
故选：D.
23．C
【解析】设点､的坐标分别为，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及焦半径公式，结合题中条件，列出方程求解，即可得出直线斜率，进而可得直线方程.
【详解】设点､的坐标分别为，，
由题意，点的坐标为，设直线的方程为，
联立方程.消去后整理为，
有，
由抛物线的性质，有，可得，
解得，有，解得，故直线的方程为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：
求解抛物线焦点弦问题时，一般先设弦所在直线方程，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及焦半径公式，结合所给条件，求出斜率，即可得出焦点弦所在直线方程；要求学生要熟记抛物线的性质等.
24．A
【分析】设与抛物线联立，转化，结合韦达定理可得，求解原点O到的距离，利用即得解
【详解】
由题意
若直线的斜率不存在，则方程为，此时，不成立；
故直线的斜率存在，设，由题意
，

由于直线过焦点，由抛物线定义



故原点O到的距离：

故选：A
25．B
【解析】设直线方程：，，联立直线与抛物线可得的值，由的中点的横坐标为，的中点到轴的距离为，代入可得答案.
【详解】解：由题意设直线方程：，，
联立直线与抛物线的方程可得：，所以，,由可得，即，
的中点的横坐标为，的中点到轴的距离为，
所以，所以，解得，
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦的性质，联立直线与抛物线是解题的关键，属于基础题.
26．C
【分析】确定抛物线的准线方程，由抛物线定义可得，结合条件可得，结合抛物线的几何性质可得当且仅当A，F，B三点共线时，即可得答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，则,焦准距,准线方程为，
根据抛物线的定义得，．
又，所以．
因为，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即，
所以的最大值为12，
故选：C
27．D
【分析】求出、坐标可得直线的方程，与抛物线方程联立求出，根据选项可得答案,
【详解】把代入得，所以，
所以直线的方程为即，
与抛物线方程联立解得，所以，
因为反射光线平行于y轴，根据选项可得D正确,
故选：D.

28．A
【分析】设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理、抛物线的定义及，联立即可求得的值．
【详解】设方程为，
由，
消去得，
则有①，
由得，
即②，
由①②解得
，
故选：A
29．B
【分析】设直线倾斜角为，由，及，可求得，当点在轴上方，又，求得，利用对称性即可得出结果.
【详解】设直线倾斜角为，由，所以，由，
，所以，当点在轴上
方，又，所以，所以由对称性知，直线的斜率.
故选：B.
30．A
【分析】首先根据题意可得到点在抛物线的准线上，又在直线上，从而可求出点的坐标；根据，即可求出直线的斜率，从而可求出直线的方程.
【详解】根据题意，可知点在抛物线的准线上，又点在直线上，
所以，又，所以，
因为，所以，所以直线的方程为，即.
故选：A.
31．C
【分析】依据抛物线定义可以证明：以过抛物线焦点F的弦PQ为直径的圆与其准线相切，则可以顺利求得线段的长.
【详解】抛物线的焦点F，准线
取PQ中点H，分别过P、Q 、H作抛物线准线的垂线，垂足分别为N、M、E

则四边形为直角梯形，为梯形中位线，
由抛物线定义可知， ,，则
故，即点H到抛物线准线的距离为的一半，
则以线段PQ为直径的圆与抛物线的准线相切. 又以线段PQ为直径的圆与直线相切，
则以线段PQ为直径的圆的直径等于直线与直线间的距离.
即
故选：C
32．ABC
【分析】由题意可知，抛物线的准线为，利用抛物线的几何性质求出和抛物线的方程和焦点坐标，结合直线的方程可知，直线经过焦点，利用抛物线的定义表示出以为直径的圆的半径和圆心,由得到关于的方程，解方程求出，利用抛物线的定义求得焦半径计算可判断的对错.
【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确；
因为，所以抛物线的方程为：，其焦点为，
又直线 ，所以直线恒过抛物线的焦点，
设点，因为两点在抛物线上，
联立方程，两式相减可得，，
设的中点为，则，因为点在直线上，
解得可得，所以点是以为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆的半径，
因为，所以，
解得，故选项B正确；
因为，,所以，故选项C正确；
过做轴，过做轴，抛断线的准线交轴与点，设,
，，
，，
又，，则，
则D错误.
故选：ABC

【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的性质、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握直线与抛物线的位置关系和抛物线的几何性质、圆的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.
33．ABC
【分析】对选项A，利用抛物线的焦半径公式转化求得最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对选项B，先找到是其中的一条公切线，分别在两个曲线上设切线方程，然后根据公切线定义，则设立的两个切线方程重合而建立方程，然后将方程转化为函数，研究该函数的零点即可；对选项C，先设动点（）的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可；对选项D，考虑轴时，进而建立目标函数（），通过求该函数的最小值就能说明
【详解】

对选项A，如图所示，易知，根据抛物线的焦半径公式可得：
故有：
，则有：
设点的坐标为：
则有：
令，则可得：
再次求导可得：
故在区间上单调递增
又
可得：当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；
故
则
故
故选项A正确；
对选项B，不妨设外公切线分别与，（）切于点，
则曲线的切线为：
则曲线的切线为：
根据与表示同一直线，则有：
解得：
令（）
则有：
可得：在区间上单调递增；在区间上单调递减
则有：，，（注意：实际上取不到该点）
，因为，故
根据零点存在性定理可知：在区间上存在一个零点，即存在一条公切线；
当时，，则在函数的处的切线方程为：
联立
可得：，故此时与切于点，也满足
由图易知：当时，不可能存在公切线
综上可得：两曲线有且仅有2条公切线不妨取（）
则有：
又，可得：
在上单调递增，则有：
故选项B正确；
对选项C，当轴时，设（），则
则有：
记，则有：
令，解得：
故当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故有：
故
故选项C正确；
对选项D， 不妨设（）上点，（）上点
则有：，
可得：
若轴时，（）
令 （）
则有：
易知：在区间上单调递增
可得：
令，下面证明：
可化简为
进而可化简为：
故在区间存在一个零点，令
则当时，，即在区间上单调递减；
当时，，即在区间上单调递增；
故
而
又
下面证明：

即证：
只需证明：
又：
故成立
从而，而且以上还仅仅考虑轴时的情况，故选项D错误
故答案选：ABC
【点睛】求函数最值和值域的常用方法：
（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
34．ABD
【分析】对于A，由抛物线的焦点可求出抛物线的准线方程，对于B，过点作垂直准线于，则，从而可求出其最小值，对于C，由抛物线的性质可判断，对于D，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理可得，然后在利用余弦定理结合基本不等式可判断
【详解】对于A，因为抛物线C：的焦点为，所以抛物线C的准线方程为，所以A正确，
对于B，由题意可得抛物线的方程为，则点在抛物线外，如图，过点作垂直准线于，则，当三点共线时，取得最小值，最小值为4，所以B正确，

对于C，由抛物线的性质可得当A，B，F三点共线，且 轴时，弦最短为抛物线的通径，所以C错误，
对于D，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理可得，设，则，在中由余弦定理得，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当时取等号，所以D正确，

故选：ABD
35．AC
【分析】将抛物线方程和直线方程联立，令判别式大于零，即可判断A;由过抛物线焦点弦的性质可判断B;根据，可得直线的方程为，联立抛物线方程，利用根与系数的关系可判断C; 当与抛物线相切时，最大，由此利用判别式等于零可求出切线斜率，得到∠MPF的最大值，判断D.
【详解】由抛物线的方程可得准线方程为，
则，联立，整理可得，
则，可得，所以正确；
只有直线过焦点时，，由题意不能确定直线过焦点，所以不正确；
中，当，则，，三点共线，此时直线过点，即有，
，，
则直线的方程为：，代入抛物线的方程可得，
设，，，，
可得，，，
由，可得，，，则可得，
所以，
，
所以，故正确；
当与抛物线相切时，最大，
设过的抛物线的切线为，
，消去整理得，
所以得，
解得，
所以的最大值为，故错误；
故选：．
36．##
【分析】推导出抛物线的焦半径的性质，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】易知，可得，所以，抛物线的方程为.
若直线与轴重合时，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立可得，即，，
由韦达定理可得，.
所以，
，
所以，，则
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
37．3
【分析】根据抛物线焦点弦性质求解，或联立l与抛物线方程，表示出，求其最值即可.
【详解】已知，设，，，
则，
∵，所以，，
∴，当且仅当m=0时，取.
.
故答案为：3.
38．12
【分析】过点作于点，根据题意和抛物线的定义可得，
进而得到关于p的方程，解方程即可.
【详解】由知，为线段上靠近的三等分点，
过点作于点，
∴，
∵，
∴，解得.
故答案为：12
39．##
【分析】计算出，联立直线和抛物线得到与，结合求出，进而求出的面积.
【详解】由题意可得，则，解得：，故直线的方程为．
联立整理．
设，，则，．
因为，所以，所以，则，解得:，
从而，故的面积是
故答案为：．
40．7
【分析】根据抛物线定义即可求出.
【详解】由抛物线方程可得，
则由抛物线定义可得.
故答案为：7.
41．5
【分析】分别过点作准线的垂线，利用梯形的中位线定理，结合抛物线的定义可求得答案.
【详解】如图，为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点,
则抛物线准线方程为,

分别过点作准线的垂线，垂足为C,D,N，
则有 ,
又M为AB的中点，故 ,
即线段的中点到直线的距离为5，
故答案为：5.
42．13
【分析】根据圆心即为抛物线C的焦点F，利用抛物线的定义，结合基本不等式求解.
【详解】解：如图所示：

圆心即为抛物线C的焦点F.
所以，
由抛物线的定义，，
所以，
又易知：，
所以，
当且仅当，即时等号成立.   
所以的最小值为13，
故答案为：13
43．1
【分析】先确定抛物线的方程，然后设直线的方程，二者联立可得，再利用抛物线的性质将的表达式整理化简，即可得答案.
【详解】因为抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，
所以 ，故 ，

设 ，
当直线斜率不存在时， ，则 ，
直线斜率存在时，设其方程为 ，和联立，
整理得： ，
故，
由抛物线性质可得：
，
所以 ，
故答案为：1.
44．（1）；（2）.
【分析】（1）由抛物线的定义可得，由此即可求解；
（2）先设出直线：，与联立，再由根与系数的关系，结合垂直平分线的性质与点到直线的距离公式即可求解
【详解】（1）抛物线（）的焦点为，准线方程为，由抛物线定义得：

，所以.
（2）由（1）得抛物线方程为
设直线：，与联立，消去x，整理得：，
设，，，有，
则弦长，弦中点
故弦的垂直平分线方程为
令得，即
故点P到直线的距离.
所以
所以，直线方程为
45．(1)抛物线的焦点或抛物面的焦点
(2)答案见解析

【分析】（1）结合通径的特点可猜想得到结果；
（2）将问题转化为当时，只要过点，则中点到的距离最小，根据，结合抛物线定义可得结论.
(1)
根据通径的特征，知通径会经过抛物线的焦点达到静止状态，
则可猜想细棒交汇点位置为：抛物线的焦点或抛物面的焦点.
(2)
解释上述现象，即证：当（为抛物线通径）时，只要过点，则中点到的距离最小；
如图所示，记点在抛物线准线上的射影分别是，

，
由抛物线定义知：，
当过抛物线焦点时，点到准线距离取得最小值，最小值为的一半，此时点到轴距离最小.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用问题，解题关键是能够将问题转化为抛物线焦点弦的中点到轴距离最小问题的证明，通过抛物线的定义可证得结论.
46．(1)
(2)F在以为直径的圆上

【分析】（1）根据点差法可得,再由抛物线的定义及中点坐标公式建立方程求出即可；
（2）设，切线的方程为，利用直线与抛物线相切求出, ,根据向量的数量积即可判断.
(1)
设，则
所以，整理得，
所以．
因为直线的方程为，
所以．
因为的中点到准线l的距离为4，
所以，得，
故抛物线C的方程为．
(2)
设，可知切线的斜率存在且不为0，
设切线的方程为，
联立方程组得，
由，得，即，
所以方程的根为，
所以，即．
因为，所以，
所以，即F在以为直径的圆上．
47．(1)②③；
(2)证明见解析

【分析】（1）若同时满足①②，则可推出，故不符合题意；
若同时满足①③，则也是推出，不符合题意；由此可得同时满足条件②③，求得p的值，可得答案;
（2）设切点P的坐标为，利用导数的几何意义求得AB的斜率，设线段AB的中点为G，进而利用点差法求得，结合题意可得，求得E的坐标为，可得OE的斜率为，从而证明结论.
(1)
若同时满足①②，由②得 ,
可得MN过焦点 ，
则， 故①②不能同时满足；
若同时满足①③，由③可得MN过焦点 ，则，
所以①③不能同时满足；
由以上可知，只能同时满足条件②③，
由②得，可得MN过焦点 ，
且 ，
故抛物线的标准方程为 ；
(2)
证明：设切点P的坐标为 ，
因为抛物线的标准方程为，则 ，
所以直线AB的斜率为 ，设 ，
则有 ，两式相减得，
所以，
设线段AB的中点为G，则有 ，
l与直线 交于点Q，以PQ为直径的圆与直线交于Q,E两点，
所以 ,故点E的坐标为 ，
所以直线OE的斜率为 ，
则有 ,所以：O，G，E三点共线..
【点睛】本题考查了抛物线方程的求解，以及直线和抛物线的位置关系，证明三点共线问题，综合性强，计算量较大，解答的关键是明确解题的思路，准确计算，即求出点的坐标，表示出直线OE,OG的斜率，证明斜率相等即可.
48．(1)6
(2)2

【分析】（1）通过作辅助线，利用抛物线定义，结合梯形的中位线定理，可求得答案；
（2）根据题意可求得直线AB的方程为y=x+4，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，由OA⊥OB，得，根据数量积的计算即可得答案.
(1)
取AB的中点为E，当p=2时，抛物线为C：x2=4y，焦点F坐标为F（0，1），过A，E，B分别作准线y=-1的垂线，重足分别为I，H，G，
在梯形ABGI中（图1），E是AB中点，则2EH=AI+BG，
EH=2-（-1）=3，因为AB=AF+BF=AI+BG，
所以AB=2EH=6.

(2)
设，由OD⊥AB交AB于D（-2，2）,（图2），
得kOD=-1，kAB=1，则直线AB的方程为y=x+4，
由得，
所以，
由，得，即，
即，可得，
即，所以p=2.