微专题 等差数列的判定与证明 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

微专题：等差数列的判定与证明

【考点梳理】

等差数列的四个判定方法：①定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数；②等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2；③通项公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常数)；④前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常数).

【典例剖析】

典例1．已知数列满足.

(1)求证：是等差数列；

(2)若，求的通项公式.

典例2．数列满足，．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）求数列的前项和，并证明：．

典例3．已知数列中，，，且满足．

(1)设，证明：是等差数列；

(2)若，求数列的前n项和．

【巩固训练】

4．已知数列满足，且．

（1）求数列的前三项，，．

（2）是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（3）求数列的通项公式．

5．数列满足，.

(1)求，；

(2)证明是等差数列，并求的通项公式.

6．已知数列前n项积为，且．

(1)求证：数列为等差数列；

(2)设，求证：．

7．已知正项数列，其前n项和满足.

(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；

(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.

8．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.

(1)证明：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

9．已知数列，满足，，.

(1)证明：数列为等差数列；

(2)求数列的前项和.

10．数列满足，已知．

（1）求，；

（2）若，则是否存在实数t，使为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

11．已知数列的各项均为正数，前项和为，且．

（1）求证：为等差数列；

（2）设，求数列的前项和．

12．已知数列满足：，，且，.

（1）求，，，的值及数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

13．已知数列满足，，．

(1)设，，求证：数列为等差数列；

(2)求证：，．

14．已知数列满足，其中.

（1）求证是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，若对任意的恒成立，求p的最小值.

15．已知数列的首项为3，且．

(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

16．记为数列{}的前项和，已知

(1)证明：{}是等差数列；

(2)若，，成等比数列，求的最小值.

17．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.

(1)证明：是等差数列；

(2)若可构成三角形的三边，求的取值范围.

18．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

19．已知数列中，，设数列满足：

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的通项公式

（3）若数列满足，求数列的前项和；

参考答案：

1．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）将原递推关系式变形即可证明；

（2）先求得，再用累加法即可求解.

(1)

由题，即，

是公差为4的等差数列.

(2)

，累加可得

，当时也满足上式

.

2．（1）证明见解析；（2），证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据递推公式，得到，即可证明结论成立；

（2）根据（1）的结论，先求出，再由等差数列的求和公式，得到，根据放缩法，化，再由裂项求和，即可得出结论成立.

【详解】

（1）证明：∵，

∴，化简得，

即，

故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．

（2）由（1）知，

所以，．

因此

．

【点睛】

本题主要考查证明数列是等差数列，考查裂项相消的方法求数列的和，属于常考题型.

3．(1)证明见详解；

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列的定义可证得数列是等差数列；

（2）求出数列的通项公式，可求得数列的通项公式，可得出，再利用等比数列的求和公式可求得.

(1)

证明：，

，所以，，即，

又

所以数列是以为首项，公差的等差数列；

(2)

由（1）可得：，所以，

整理可得，所以数列是以为首项，公比的等比数列，

所以，则，

所以①

②

①－②得．

．

4．（1），，；（2）存在，；（3）．

【解析】

【分析】

（1）赋值法，可求出数列的前三项；（2）不妨先假设存在这样的实数，根据等差数列定义去计算，如果能算出来，则存在这样的实数，否则不存在；（3）利用上一问得到的递推关系容易得出答案.

【详解】

（1）由题意知，∴．

同理可得，．

（2）假设存在实数满足题意，则必是与无关的常数，

而，∴．

∴存在实数，使得数列为等差数列，且．

（3）由（2）知数列是等差数列，其首项为2，公差为1，

则，

∴．

5．(1)，

(2)证明见解析，

【解析】

【分析】

（1）根据数列的递推式，分别令n=1,n=2，可求得结果；

（2）根据可得，然后证明等于常数，继而求得数列的通项公式.

(1)

由，，

，,

，;

(2)

证明：由已知得，

∵

，

又∵，

∴是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴，

解得：

6．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由已知得，，两式相除整理得，从而可证得结论，

（2）由（1）可得，再利用累乘法求，从而，然后利用放缩法可证得结论

（1）因为，所以，所以，两式相除，得，整理为，再整理得，．所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．

（2）因为，所以，由（1）知，，故，所以．所以．又因为，所以．

7．(1)证明见解析，；

(2)不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据给定递推公式，结合“当时，”建立与的关系即可推理作答.

（2）由（1）求出，利用反证法导出矛盾，推理作答.

(1)

依题意，正项数列中，，即，当时，，即，

整理得，又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

则，因为是正项数列，即，

所以.

(2)

不存在，

当时，，又，即，都有，

则，

假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，

则，即，

两边同时平方，得，即，

整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的，

所以数列中不存在满足要求的连续三项.

8．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）要证明{bn}是等差数列，即证明－等于一个常数即可.

（2）由（1）知bn＝n＋，又因为bn＝，即可求出{an}的通项公式.

(1)

证明：∵(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)

－＝＝，

∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是以首项为b1＝＝＝1，公差为的等差数列．

(2)

由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.

9．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由来证得数列为等差数列；

（2）利用并项求和法求得.

(1)

依题意，，

两边除以得，即，

所以数列是首项，公差为的等差数列.

所以.

(2)

，

所以

.

10．（1）；；（2）存在；．

【解析】

【分析】

（1）代入，进入，结合，即得解；

（2）利用等差数列定义，要使为等差数列，则为常数，分析即得解

【详解】

（1）当时，．

当时，，

∴．

∴，解得．

（2）当时，

．

要使为等差数列，则为常数，即，

即存在，使为等差数列．

11．（1）证明见解析；（2）()．

【解析】

【分析】

（1）当时，，得，当时，，整理得，根据数列的各项均为正数，可得，从而证明为等差数列；

（2）根据，分为奇数和偶数两种情况讨论，结合奇偶并项即可求解.

【详解】

（1）证明：当时，，又数列各项均为正数，则，

当时，，

则，

化简得，即，

∵数列各项均为正数，，

∴数列为首项是，公差为的等差数列，∴；

（2）解：由（1）可知：，

当为偶数时，

，

当为奇数时，

，

综上所述，()．

12．（1），，，，（2）

【解析】

【分析】

（1）分别令n= 1,2,3,能得到，，，的值，分n为奇数偶数求出数列的通项公式；

（2）由知，利用错位相减法求数列的和即可.

【详解】

（1），，且，

则，解得，

，解得，

，解得，

，解得，

当为奇数时，，；

当为偶数时，，.

即有（）；

（2）由于为奇数，则，

由于为偶数，则.

因此，.

，

，

两式相减得，

，

化简可得，.

【点睛】

本题考查数列的求值、求解通项公式的方法和用错位相减法求解通项公式的方法，解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活运用，属于中档题.

13．(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由整理得，进而得，由等差数列定义得证；

（2）先求出，进而得到，，按照裂项相消求和求出即可得证.

(1)

由得，

 ，即，又，故数列是以4为首项，2为公差的等差数列；

(2)

由（1）知：，化简得，故，.

14．（1）证明见解析，；（2）最小值为1.

【解析】

【分析】

（1）根据，可得，从而可得，即可得出结论，再根据等差数列的通项即可求得数列的通项公式；

（2），即，设，利用作差法证明数列单调递减，从而可得出答案.

【详解】

（1）证明：∵，

∴，

∵，∴，

∴是以1为首项，1为公差的等差数列.

，∴.

（2）解：∵，

∴，

即对任意的恒成立，

而，

设，

∴，

，

∴，

∴数列单调递减，

∴当时，，∴.

∴p的最小值为1.

15．(1)证明见解析；

(2)

【解析】

【分析】

(1)对条件进行代数变换，即可证明 是等差数列；

(2)对 裂项求和即可.

(1)

因为 ，所，

则，所以数列是以 为首项，公差等于1的等差数列，

∴，即；

(2)

，

则；

综上，， .

16．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用与的关系结合等差数列的定义即可证明；

（2）利用等差数列的通项公式与等比中项的性质求出，从而得到，再结合基本不等式求解即可.

（1）由已知①∴②由①-②，得即∴，且∴是以2为公差的等差数列.

（2）由（1）可得，∵，，成等比数列，∴即，解得∴∴当且仅当，即时，的最小值为

17．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列定义和可得答案；

（2）由可构成三角形的三边可得，利用又，根据的范围可得答案.

（1）（1）因为是公差为的等差数列，时，，即，所以，又，所以，所以是等差数列.

（2）因为可构成三角形的三边，所以，即，又，且，所以.

18．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;

（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.

【详解】

（1）[方法一]：

由已知得,且，,

取,由得,

由于为数列的前n项积，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

[方法二]【最优解】：

 由已知条件知       ①

于是．            ②

由①②得．        ③

又，            ④

由③④得．

令，由，得．

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

[方法三]：

   由，得，且，，．

又因为，所以，所以．

在中，当时，．

故数列是以为首项，为公差的等差数列．

[方法四]：数学归纳法

   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．

下面用数学归纳法证明．

当时显然成立．

假设当时成立，即．

那么当时，．

综上，猜想对任意的都成立．

即数列是以为首项，为公差的等差数列．

（2）

由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,

,

当n=1时，,

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴.

【整体点评】

（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；

方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；

方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．

（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；

19．（1）证明见解析，；（2）；（3）答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）由已知得，可得可得答案；

（2）由（1）得，

两式相减可得答案；

（3）由（1）（2）得，分、、求和可得答案.

【详解】

（1）证明

由已知得，

所以，，

又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，

，所以.

（2）由（1）得①，

②，

①-②得，所以.

（3）由（1）（2）得，

当时，，

.

当时，，

当时，，

综上所述，

，

【点睛】

本题考查了球数列的通项公式、求数列和的问题，解题的关键点是求出，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及分类讨论的思想.