微专题 辅助角公式的应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

微专题：辅助角公式的应用

【考点梳理】

辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，

或tanφ＝.

【典例分析】

典例1．已知函数，．

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数在上的单调区间．

典例2．已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数的单调递增区间；

(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.

典例3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，求周长的取值范围．

【双基达标】

4．若向量，，的最大值为．

(1)求的值；

(2)求图像的对称中心．

5．已知函数.

(1)求的最小正周期和最小值；

(2)若，求的值．

6．已知中，角所对边分别为，已知

(1)求角的大小.

(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围.

7．已知函数．

(1)求函数的单调增区间；

(2)若，且，求的值．

8．已知向量，，设函数．

(1)求函数在上的零点；

(2)当时，关于x的方程有2个不等实根，求m的取值范围．

9．已知向量.

(1)若，求x的值；

(2)记，求的最大值和最小值以及对应的x的值.

10．已知函数.

(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；

(2)中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A为锐角，若，求的面积.

11．已知函数．

(1)求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；

(2)当时，求的值域．

12．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)若，且，求的值.

13．已知函数．

(1)当时，求的值域；

(2)若关于x的方程在区间上恰有三个不同的实根，求实数m的取值范围．

14．已知函数．

(1)若，求的值；

(2)求的最大值．

15．已知O为坐标原点，，，若

(1)求函数的对称轴方程；

(2)当时，求函数的值域.

16．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，且．

(1)求角的大小；

(2)若，为平面ABC上外一点，，，求四边形ABDC面积的最大值.

17．设的内角、、所对的边分别为、、，已知，且.

(1)求角的大小；

(2)若向量与互相垂直，求、的值.

18．在锐角三角形中，角满足.

(1)求；

(2)若，求该三角形周长的取值范围.

19．设向量，，令，的最小正周期为.

(1)求的最小值，并写出此时的取值；

(2)若时，恒成立，求的取值范围.

20．设函数．

(1)求的周期和最值；

(2)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，，，，求线段CD的长．

21．在中，角所对的边为，且

(1)求角的大小；

(2)设向量，试求的最小值．

22．在中，角的对边分别为，设向量满足.

(1)求；

(2)若，当取最小值时，求的周长；

(3)求的取值范围.

23．已知函数.

(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间；

(2)当，时，恒成立，求a的最大值.

24．已知函数．

(1)求的最小正周期及最大值；

(2)若，求x的取值范围．

25．已知函数．

(1)求函数的最大值，并求出函数取得最大值时的值；

(2)求函数的单调递减区间及对称轴方程．

26．已知向量，，设

(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；

(2)已知角为锐角，，，，求的值．

27．已知，，函数.

(1)求的最小正周期；

(2)已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b、c，若a，b、c成等比数列，为函数的最大值，试判断的形状.

28．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求角A的大小；

(2)若，求△ABC周长的取值范围．

29．已知函数．

(1)求的单调递增区间；

(2)求不等式的解集．

30．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)设，若函数在区间上单调递增，求的最大值.

参考答案

1．(1)

(2)单调增区间为，单调递减区间为

【解析】

【分析】

（1）利用辅角公式，可得，再根据正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．

（2）由题知，再根据正弦函数的性质求解单调区间即可.

（1）解：∵，∴，即函数的最小正周期为．

（2）解：在区间上，，∴当，即时，单调递增；当，即时，单调递减；∴在上的单调增区间为，单调递减区间为

2．(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简，用周期的计算公式即可求解；（2）整体代入正弦函数的单调递增区间中，求解不等式即可；（3）画出图象，根据图象交点个数即可求解.

（1）由得，故最小正周期为,

（2）由，解得，故的单调递增区间为

（3）令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故

3．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理结合向量平行的坐标表示即可得出答案.

（2）由正弦定理可得，根据的范围求出的值域，即可求出周长的取值范围.

(1)

∵，∴，

由正弦定理，得．

又，∴，

由于，∴．

(2)

∵，，

由正弦定理，得，．

．

∵，∴，则．

∴．

∴，则．

故周长的取值范围为．

4．(1)

(2)，

【解析】

【分析】

（1）根据题中函数解析式，结合向量数量积的坐标运算公式、辅助角公式，进行化简即可；

（2）根据三角函数对称中心公式计算即可.

（1）由题意得，，因为的最大值为，所以，即.

（2）令得：，，所以的对称中心为，.

5．(1)，最小值

(2)

【解析】

【分析】

（1）由二倍角公式以及辅助角公式化简，进而可求最小值和周期，（2）由二倍角公式以及诱导公式即可求解.

(1)

由题意得，

的最小正周期为．

令,则（）时，有最小值．

(2)

由得，

所以，

所以．

6．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理得解；（2）由正弦定理及三角形面积公式化简，再根据三角函数的性质求解.

【详解】

解：（1）由正弦定理，得

，又因为，故

（2）由正弦定理

因为为锐角三角形，所以

7．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，再由可求出函数的增区间，

（2）由可得，然后求出的范围，再求出的值，而，两边取余弦化简可求得结果

(1)

令，，得，

所以函数的单调增区间为，．

(2)

由可得，

又因为，所以

而，所以，

所以；

所以

；

8．(1)零点为π，，0，，π

(2)

【解析】

【分析】

（1）先利用向量的数量积公式和三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得，然后令可求得函数的零点，

（2）令，求出的解析式，求出其单调区间及最值，将问题转化为的图象与直线有两个不同的交点，从而可求出m的取值范围

(1)

令，则，

所以或，

所以或，

所以在上零点为π，，0，，π；

(2)

令，则

，

所以在上递增，在上递减，

因为，，，

所以若有2个不等实根，则，

所以

9．(1)或

(2)当时，有最大值，最大值为；当时，有最小值，最小值0

【解析】

【分析】

（1）由可得，从而可求出x的值；

（2）由向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式可得，由得，再利用正弦函数的性质可求出函数的最值

(1)

∵

∴

当时，

当时，，又

∴

∴或

(2)

∵，

∴

∵∴

∴，

∴

当，即时，有最大值，最大值为；

当，即时，有最小值，最小值0.

10．(1)最小正周期，对称轴方程为

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用三角函数恒等变换公式对于函数化简变形得，然后再求函数的周期和对称轴方程，

（2）由求出角，然后利用余弦定理结合已知条件可求出，从而可求出三角形的面积

(1)

由得，

∴函数的最小正周期，

的对称轴方程为；

(2)

由，

∵A为锐角，∴，

由余弦定理得：

又，

∴三角形的面积.

11．(1)最小正周期为，图象的对称轴方程为，

(2)

【解析】

【分析】

（1）先对函数化简变形得，从而可求出其最小正周期和对称轴方程，

（2）由，求出的范围，再利用正弦函数的性质可求出其值域

(1)

，

所以的最小正周期为，

由，得，

所以图象的对称轴方程为

(2)

由，得，

所以，

所以，

所以，

所以的值域

12．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题知，进而整体代换求解即可；

（2）由题知，再根据，并结合余弦差角公式求解即可.

(1)

解：，

令，则，

所以，函数的单调递增区间为

(2)

解：因为，即，所以，

因为，所以，

所以，

所以 ，

13．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用二倍角公式及辅角公式对函数进行化简，并把看成整体结合正弦函数性质在定区间内求值域；（2）首先把转化为：，又只有一个实根，故在有两个不相等的实根，再结合正弦函数图象进行求解.

(1)

．

，，

因此可得：，

故的值域为．

(2)

，，

或，故或．

，，

只有1个实根，有2个不同的实根，

结合正弦函数图象可知，解得，故实数m的取值范围是．

14．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由已知条件结合辅助角公式可得出，其中为锐角，且，，结合诱导公式可求得、的值，再利用二倍角的正弦公式可求得结果；

（2）设，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.

(1)

解：因为，可得，

其中为锐角，且，，

所以，，则，

所以，，

，

因此，.

(2)

解：因为，

，

令，则，

则

，

当且仅当时，取最大值.

15．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用向量的数量积运算及辅助角公式求出函数最简形式，再利用三角函数的性质求出函数的对称轴方程；

（2）把看成整体求其范围，利用正弦函数性质在定区间内求值域.

(1)

函数的对称轴满足，   

即函数的对称轴方程为：，；

(2)

由，得 故：

则 ，因此可得：

即函数的值域为：

16．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据余弦定理及三角形面积公式可得.

（2）根据余弦定理及三角形面积公式，结合辅助角公式计算可得.

(1)

由题意，即，

∴，即．

∵，∴．

(2)

由（1）知，又，∴为等边三角形．

设，则，

∴

∴当时，四边形ABDC的面积取得最大值，最大值为．

17．(1)

(2)，

【解析】

【分析】

（1）利用三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）由平面向量垂直的坐标表示以及正弦定理可得出，再利用余弦定理可求得、的值.

(1)

解：因为，

所以，，

，则，，解得.

(2)

解：由已知，则，

由余弦定理可得，

因此，，.

18．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据角的范围，先求出，然后由可得出答案.

（2）由正弦定理可，从而三角形的周长为，由焦点关系和范围结合辅助角公式化为，从而可得出答案.

(1)

由题意角为锐角,即，则

所以

(2)

由（1）有，可得，，则

由正弦定理可得

所以

则三角形的周长

设，由此可以取

则周长

由为锐角三角形，则

则,则，所以

则, 则

所以

所以的周长的范围是：

19．(1)-2，，

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据向量数量积的坐标运算，以及辅助角公式即可化简，根据最小正周期可求，进而整体法求最小值时的自变量值；（2）将恒成立转化为最值问题即可求解.

(1)

 ,故

,此时 ，

(2)

恒成立            

，所以        

20．(1)．，

(2)

【解析】

【分析】

(1)对 作恒等变换，将 表示为单个三角函数的解析式即可求解；

(2)先算出角B，再运用余弦定理求出c，再根据D点的位置即可求解.

(1)

∵

，

∴，∴，；

(2)

∵，，∴，

∵，

∴，       

∴（舍）．

∵，∴，

∴，

∴；

综上， 的周期为 ，最大值为2，最小值为-2，.

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理边角互化即可得，进而可求角；（2）根据向量的坐标运算，利用坐标表示模长，利用二倍角公式以及和差角公式，辅助角公式进行化简，根据余弦最小即可求解.

(1)

由正弦定理得：,

,且,因此得:,由于为三角形的内角，故

(2)

由得,所以,因为,所以,故,当时，，此时有最小值，故此时取最小值，且最小值为.

22．(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据数量积的坐标运算以及正弦定理即可求解.（2）由二倍角公式可将其化为，利用二次函数即可求最值，进而可求出此时，继而可求.（3）根据和差角公式以及二倍角公式化简得到，然后根据角的范围即可求解．

(1)

由题意可得，

由正弦定理可得，

所以.

因为，所以，

又，故.

(2)

，

由可得，因此，

当且仅当时，取得最小值，此时，

因为，所以由正弦定理可得，

则的周长为.

(3)

因为，所以，所以，

因此，所以，

即的取值范围是.

23．(1)最小正周期，单调递增区间为，

(2)最大值为0

【解析】

【分析】

（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简为，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间,（2）根据的范围可求，进而可求的值域，故可求的范围.

(1)

故函数的最小正周期.

由得.

∴函数的单调递增区间为，.

(2)

∵，∴，

∴，.

由恒成立，得，即.故a的最大值为0.

24．(1)最小正周期，最大值为2

(2)，

【解析】

【分析】

（1）由辅助角公式化简，可求出的最大值，由周期的定义可求得的最小正周期.

（2）由得，解三角函数不等式即可得出答案.

(1)

，

∴的最小正周期，的最大值为2．

(2)

由得，即．

可得，，

解得，．

25．(1)最大值是，；

(2)单调递减区间：对称轴方程：

【解析】

【分析】

（1）先通过辅助角公式将函数化为正弦型函数，进而结合正弦函数的性质求得答案；

（2）结合（1），通过正弦函数的单调性和对称轴求得答案即可.

(1)

因为，

所以当，即时，有最大值是.   

所以函数的最大值是，取得最大值时的值是.

(2)

由，所以

所以的单调递减区间是由，

所以的对称轴方程是

26．(1)最小正周期π；单调递增区间为

(2)

【解析】

【分析】

（1）结合平面向量数量积的坐标运算以及辅助角公式化简整理，再结合正弦函数的图像与性质即可求出结果；

（2）结合题意分别求出和的正余弦的值，进而结合两角和的正弦公式即可求出结果.

(1)

（1）∵

∴

∴的最小正周期；

由得，

所以单调递增区间为

(2)

由题意，∴，

∵，∴，

∵，，且，∴，

∴，

∴

．

27．(1)

(2)等边三角形.

【解析】

【分析】

(1)由题可得=+1，再根据周期公式求解即可；

(2)根据为函数的最大值，求得，又由a，b、c成等比数列，可得，由余弦定理可得，联立即可得，即可判断的形状.

(1)

解：因为====+1，

所以；

(2)

解：由题意可知=+1=3，

所以，解得，

又因为a，b、c成等比数列，

所以，

由余弦定理可得=，

所以=，

即，

所以，

所以为等边三角形.

28．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用同角平方关系及正弦定理边角关系可得，结合余弦定理即可求A的大小；

（2）由正弦定理可得，由（1）及差角正弦公式、辅助角公式、正弦型函数性质求范围，即可求△ABC周长的范围．

(1)

由题意，，

则，

所以，故，

又

所以．

(2)

由正弦定理得：，

所以，

．

又，则，所以，又，

所以△ABC周长的取值范围是．

29．(1)，；

(2)，．

【解析】

【分析】

（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得，再由，可求出函数的增区间，

（2）由，得，再根据正弦函数的性质可求得答案

(1)

．

令，，

解得，，

即的单调递增区间为，．

(2)

因为，所以，

则，，

解得，，

即不等式的解集为，．

30．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用和角正弦公式、辅助角公式可得，即可求最小正周期；

（2）由题设，根据正弦型函数的性质求a的范围，即可得最大值.

(1)

由题设，，

所以的最小正周期.

(2)

当且，则，且在上单调递增，

所以，则，

综上，，故最大值为.