湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

长郡中学2022年下学期高二期中考试

数学

本试卷共8页，时量120分钟，满分150分

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在数列中，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在棱长为1的正方体中，（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

3. 在平面直角坐标系中， 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 若一个椭圆长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S，体积为V，则当取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，点N，M分别为和的重心，P为线段CM上一点．（    ）

A. 的最小为2

B 若DP⊥平面ABC，则

C. 若DP⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为

D. 若F为线段EN的中点，且，则

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知直线，则（    ）

A. 直线过定点               B. 当时，

C 当时，                  D. 当时，两直线之间的距离为1

10. 若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（    ）

A.     B.      C. (为常数)      D.

11. “堑堵”“阳马”和“鳖臑””是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.

若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项正确的是（    ）

A  B.

C.  D.

12. 已知是抛物线的焦点， 是抛物线上的两点，为坐标原点，则（    ）

A. 曲线的准线方程为             B. 若，则的面积为

C. 若，则

D. 若，的中点在的准线上的投影为，则

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 椭圆与双曲线有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_________．

14. 已知，若三向量共面，则实数_____.

15. 在平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过、、三点，则圆的面积最小值为_________.

16. 已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．

（1）求异面直线EF与所成角的大小．

（2）证明：平面．

18. 已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等.

（1）求曲线方程；

（2）求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程.

19. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．

（1）求BC边上的中线AD的所在直线方程；

（2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．

20. 已知各项均不为零的数列的前n项的和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足的前n项和为，证明．

21. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．

（1）若为棱的中点，求证：平面；

（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

22. 已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；

（1）求双曲线的方程；

（2）过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．

长郡中学2022年下学期高二期中考试

数学

本试卷共8页，时量120分钟，满分150分

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

【1题答案】

【答案】D

【2题答案】

【答案】B

【3题答案】

【答案】A

【4题答案】

【答案】B

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】D

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

【9题答案】

【答案】CD

【10题答案】

【答案】BCD

【11题答案】

【答案】ACD

【12题答案】

【答案】BCD

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

【13题答案】

【答案】24

【14题答案】

【答案】1

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】    ①.     ②. 6

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

【17题答案】

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【18题答案】

【答案】（1）   

（2）或或

【19题答案】

【答案】（1）   

（2）

【20题答案】

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【21题答案】

【答案】（1）证明见解析；   

（2）存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.

【22题答案】

【答案】（1）   

（2）