第九章 统计 学案

第九章 | 统计

9．1　随机抽样

9．1.1　简单随机抽样

知识点一　全面调查和抽样调查

(一)教材梳理填空

(二)基本知能小试

1．判断正误：

(1)在总体规模比较大的调查中，抽样调查比全面调查更合理．     (√)

(2)某学校在给学生制作校服前进行尺寸大小的调查，可以采用抽样调查的方法． (×)

(3)某工程从1 000件产品中抽出40件进行质量合格检查，样本是40.    (×)

2．下列调查方式中，适合用普查的是            (　　)

A．调查春节联欢晚会的收视率

B．了解某渔场中青鱼的平均质量

C．了解某批次手机的使用寿命

D．了解一批汽车的刹车性能

答案：D

3．(多选)某校共1 005名高三学生参加2020年下学期开学考试，为了了解这1 005名学生的数学成绩，决定从中抽取50名学生的数学成绩进行统计分析．下列叙述正确的是(　　)

A．总体是1 005名学生的数学成绩

B．样本量是50

C．个体是每一名学生

D．样本是50名学生的成绩

答案：ABD

知识点二　简单随机抽样

(一)教材梳理填空

1．简单随机抽样的概念：

2．抽签法：

先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数．

3．随机数法：

(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数．

(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数．

[微提醒]　抽签法与随机数法的优缺点

4．总体平均数与样本平均数：

续表

(二)基本知能小试

1．判断正误：

(1)抽签法和随机数法都适用于总体容量和样本容量较小时的抽样．    (√)

(2)利用随机数法抽取样本时，选定的初始数是任意的，但读数的方向只能是从左向右读．                                                                                                                                                          (×)

(3)利用随机数法抽取样本时，若一共有总体容量为100，则给每个个体分别编号为1,2,3，…，100.                                                                                                                                                          (×)

2．使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是 (　　)

A．抽签法　　　　　　　　　 B．随机数法

C．随机抽样法  D．以上都不对

答案：B

3．已知一组数据 2,3,5,7,9，那么这组数的平均数为________．

答案：5.2

题型一　简单随机抽样的判断

【学透用活】

[典例1]　判断下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？

（1）福利彩票用摇奖机摇奖

（2）从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；

（3）某班有56名同学，指定身高排在前5名的同学参加学校组织的篮球赛；

（4）环保局人员取河水进行化验；

（5）从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编号）.

[解]　 （2）（3）（4）中都不是简单随机抽样，这是因为：（2）中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取，（3）（4）中“指定身高排在前5名的同学”“取河水”，不存在随机性，不是等可能抽样．(1)（5）是简单随机抽样.

[方法技巧]

(不放回)简单随机抽样的特征

(1)有限性：被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；

(2)逐一性：抽取的样本是从总体中逐个抽取的；　

(3)等可能性：简单随机抽样是一种等可能的抽样；

(4)不放回性：如无特殊声明，本章所称简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．

如果以上特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．　　

【对点练清】

下列抽样中，是简单随机抽样的是          (　　)

A．从无数个个体中抽取50个个体作为样本

B．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查

C．某班从50名同学中，选出数学成绩前5名的同学代表本班参加数学竞赛

D．一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签

解析：选D  根据简单随机抽样的特点逐个判断.A不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.B不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.C不是简单随机抽样.因为5名同学是前5名，不存在随机性，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求. D是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．

题型二　抽签法的应用

【学透用活】

[典例2]　某大学为了支持运动会，从报名的60名大三学生中选10人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．

[解]　第一步：将60名大学生编号，编号为1,2，3，…，60；

第二步：将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；

第三步：将60个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀；

第四步：从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号；

第五步：所得号码对应的学生，就是志愿小组的成员．

[方法技巧]

一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅拌均匀．一般地，当总体容量和样本容量都较少时可以用抽签法．

抽签法的步骤流程：

→→→→　　

【对点练清】

　2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎，某医院为了支援湖北，现从报名的18名医护人员中选取6人组成志愿小组到武汉某医院工作，请用抽签法设计抽样方案．

解：方案如下：

第一步，将18名志愿者编号，号码为01,02,03，…,18；

第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签；

第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀；

第四步，从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号；

第五步，与所得号码对应的志愿者就是小组成员．

题型三　随机数法的应用

[探究发现]

(1)某工厂有2 000名工人，从中选取20人参加职工代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数法？为什么？

提示：采用随机数法，因为工人人数较大，制作号签比较麻烦，所以用随机数法抽样比较方便．　　　

(2)某工厂的质检人员采用随机数法对生产的100件产品进行检查，若抽取10件进行检查，应如何对100件产品编号？

提示：可对这100件产品编号为：001,002,003，…，100.　　　

【学透用活】

[典例3]　某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验．

(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？

(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．

162,277,943,949,545,354,821,737,932,354,873,520,964,384,263,491,648,642,175,331,572,455,068,877,047,447,672,172,065,025,834,216,337,663,013,785,916,955,567,199,810,507,175,128,673,580,667.

[解]　(1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002，…，500；

第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数；

第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本；

第四步，重复上述过程，直到产生的不同编号等于样本所需要的数量．

(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：162,277,354,384,263,491,175,331,455,068.

[方法技巧]

随机数法抽样的3个步骤

(1)编号：将总体中N个个体依次编号为0,1,2，…，N－1.

(2)利用随机数法确定抽取个体编号：利用工具(转盘、科学计算器或计算机等)产生0,1,2，…，N－1中的随机数，产生的数是几，就选第几号个体．

(3)获取样本：读数在总体编号内的取出，而读数不在总体编号内的和已取出的跳过，依次下去，直至得到容量为n的样本．　　

【对点练清】

总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为                                                                                                                                            (　　)

A.08　　　　　　　　　 B．07

C．02  D．01

解析：选D　从左到右符合题意的5个个体的编号分别为：08,02,14,07,01，故第5个个体的编号为01.

题型四　利用样本平均数估计总体平均数

【学透用活】

求和符号∑的性质

(1)(xi＋yi)＝i＋i.

(2)(kxi)＝ki.

(3)＝nt.

[典例4]　(1)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．

(2)某校组织了一次关于“生活小常识”的知识竞赛．在参加的所有学生中随机抽取100位学生的回答情况进行统计，具体如下：答对5题的有10人；答对6题的有30人；答对7题的有30人；答对8题的有15人；答对9题的有10人；答对10题的有5人．则在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为________．

[解析]　(1)由平均数公式可得＝＝6.

(2)抽取的100位学生答对题目的平均数是＝7，

因此在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为7.

[答案]　(1)6　(2)7

[方法技巧]

样本均值与总体均值的关系

(1)在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体均值．

(2)总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性．

(3)一般情况下，样本容量越大，估计值越准确．　　

【对点练清】

1．已知数据x1，x2，…，xn的平均数为＝5，则数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________．

解析：所求平均数为2＋1＝2×5＋1＝11.

答案：11

2．已知x1＝－1，x2＝0，x3＝1，x4＝2，x5＝3，y1＝－2，y2＝0，y3＝2，y4＝4，y5＝6，则(xi＋yi)＝________，iyi＝________.

解析：(xi＋yi)＝i＋i＝(－1＋0＋1)＋(－2＋0＋2)＝0，iyi＝2＋0＋2＋8＋18＝30.

答案：0　30

【课堂思维激活】

一、综合性——强调融会贯通

1．某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程．

解：(1)利用抽签法步骤如下：

第一步，将这50名学生编号，编号为1,2,3，…，50；

第二步，将50个号码分别写在50张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；

第三步，将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；

第四步，从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码．

对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．

(2)利用随机数法步骤如下：

第一步，将这50名学生编号，编号为01,02,03，…，50；

第二步，用随机数工具产生1～50范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本；第三步，重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数．

对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．

二、创新性——强调创新意识和创新思维

2．如图，由均匀材质制成的一个正20面体(每个面都是正三角形)，将20个面平分成10组，第1组标上0，第2组标上1，…，第10组标上9.

(1)投掷正20面体，若把朝上一面的数字作为投掷结果，则出现0,1,2，…，9是等可能的吗？

(2)三个正20面体分别涂上红、黄、蓝三种颜色，分别代表百位、十位、个位，同时投掷可以产生一个三位数(百位为0的也看作三位数)，它是000～999范围内的随机数吗？

解：(1)因为是由均匀材质制成的一个正20面体(每个面都是正三角形)，则出现0,1,2,3,4，…，9是等可能的，可能性为＝.

(2)三个正20面体分别涂上红、黄、蓝三种颜色，同时投掷产生一个三位数，最小为000，最大为999，它是000～999范围内的随机数．

课时跟踪检测

层级(一)　“四基”落实练

1．下列调查方式中合适的是          (　　)

A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用全面调查方式

B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式

C．调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式

D．调查全市中学生每天的就寝时间，采用全面调查方式

解析：选C　要了解节能灯的使用寿命，由于调查具有破坏性，所以宜采取抽样调查的方式；要调查所在班级同学的身高，由于人数较少，宜采用全面调查的方式；对全市中学生每天的就寝时间的调查不宜采用全面调查的方式．故选C.

2．新华中学为了了解全校302名高一学生的身高情况，从中抽取30名学生进行测量，下列说法正确的是                                                                                                                                             (　　)

A．总体是302名学生　　　　 B．个体是每1名学生

C．样本是30名学生  D．样本量是30

解析：选D　本题是研究学生的身高，故总体、个体、样本数据均为学生身高，而不是学生．

3．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性       (　　)

A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些

B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等

C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些

D．每个个体被抽中的可能性无法确定

解析：选B　在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．

4．抽签法中确保样本代表性的关键是          (　　)

A．制签  B．搅拌均匀

C．逐一抽取  D．抽取不放回

答案：B

5．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：①01,02,03，…，100；②001,002,003，…，100；③00，01,02，…，99.其中正确的序号是                                                                                                                                            (　　)

A．①②  B．①③

C．②③  D．③

解析：选C　根据随机数表的要求，只有编号时数字位数相同，才能达到随机等可能抽样．

6．要从100位同学中抽取10位同学调查其期末考试的数学成绩，如图是电子表格软件生成的部分随机数，若从第一个数71开始抽取，则抽取的10位同学的编号依次为_________．

解析：抽取的10位同学的编号依次为71,7,4,1,15,2,3,5,14,11.

答案：71,7,4,1,15,2,3,5,14,11

7．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，从该中学抽取一个容量为n的样本，每人被抽取的可能性均为0.2，则n＝________.

解析：∵＝0.2，∴n＝200.

答案：200

8．某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小，得到如下数据：

估计这50个零件的直径大约为________ cm.

解析：＝＝12.84(cm)．

答案：12.84

9．某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人抽查学习负担情况．用抽签法设计一个抽样方案．

解：第一步，编号，把43名运动员编号为1～43；

第二步，制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这43个数；

第三步，搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌；

第四步，抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取5次(不放回抽样)，从而得到容量为5的入选样本．

10．现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数法设计抽样方案？

解：第一步，将元件的编号调整为010,011,012，…，099,100，…，600；

第二步，用随机数工具产生010～600范围内的整数随机数；

第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的元件进入样本；

第四步，重复上述过程，直到抽足容量为6的样本．

如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生不同的编号个数等于样本所需要的个数．

层级(二)　能力提升练

1．从一群做游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为

            (　　)

A.  B．k＋m－n

C.  D．不能估计

解析：选C　设参加游戏的小孩有x人，则＝，x＝，故选C.

2．某学校抽取100位老师的年龄，得到如下数据：

则估计这100位老师的样本的平均年龄为           (　　)

A．42岁  B．41岁

C．41.1岁  D．40.1岁

解析：选C　＝×(32×2＋34×4＋38×20＋40×20＋42×26＋43×10＋45×8＋46×6＋48×4)＝41.1(岁)，即这100位老师的样本的平均年龄约为41.1岁．

3．为了调查某市城区某小河流的水体污染状况，就某个指标，某学校甲班的同学抽取了样本量为50的5个样本，乙班的同学抽取了样本量为100的5个样本，得到如下数据：

据此可以认定______班的同学调查结果能够更好地反映总体，这两个班的同学调查的该项指标约为________．

解析：由抽样调查的意义可以知道，增加样本量可以提高估计效果，所以乙班同学的调查结果能更好地反映总体，由表可知，该项指标约为120.1. （答案不唯一）

答案：乙　120.1

4．一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________；第三次抽取时，剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是________．

解析：因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性为＝，所以某一特定小球被抽到的可能性是.因为此抽样是不放回抽样，所以第一次抽样时，每个小球被抽到的可能性均为；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为.

答案：　

5．为了鼓励市民节约用水，制定阶梯水价，同时又不加重居民生活负担，某市物价部门在8月份调查了本市某小区300户居民中的50户居民，得到如下数据：

物价部门制定的阶梯水价实施方案为：

(1)计算这50户居民的用水的平均数．

(2)写出水价的函数关系式，并计算用水量为28 m3时的水费．

(3)物价部门制定水价合理吗？为什么？

解：(1)＝×(18×2＋19×4＋20×4＋21×6＋22×12＋23×10＋24×8＋25×2＋26×2)＝22.12 m3.

(2)设月用水量为x，

则水价为f(x)＝

当x＝28时，f(28)＝4.5×28－31.5＝94.5元．

(3)不合理．从时间上看，物价部门是在8月份调查的居民用水量，而这个月，该市的居民用水量普遍偏高，不能代表居民全年的月用水量，从居民比例上看，仅仅有16户居民，即32%的居民月用水量没有超过21 m3，加重了大部分居民的负担．

8．5.3　平面与平面平行

知识点一　平面与平面平行的判定定理

(一)教材梳理填空

　[微思考]　如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？

提示：平行．

(二)基本知能小试

1．判断正误：

(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．  (×)

(2)若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．  (√)

(3)三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行．(√)

(4)若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(√)

2．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是                                                                                                                                             (　　)

A．一定平行　　　　　　　   B．一定相交

C．平行或相交     D．以上判断都不对

答案：C

3．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为__________．

答案：a⊂β或a∥β

知识点二　平面与平面平行的性质定理

(一)教材梳理填空

[微思考]　两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？

提示：不一定．因为两个平面平行，所以分别在这两个平面内的任两条直线无公共点，它们平行或异面．

(二)基本知能小试

1．判断正误：

(1)若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.       (×)

(2)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.     (√)

(3)夹在两平行平面间的平行线段相等．           (√)

2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是        (　　)

A．平行   B．相交

C．异面   D．平行或异面

答案：A

题型一　平面与平面平行的判定

【学透用活】

(1)应用平面与平面平行的判定定理，必须具备两个条件：

①平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P；

②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.

(2)转化关系：线面平行⇒面面平行．

[典例1]　如图，在四棱锥P­ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.

求证：平面EFO∥平面PCD.

[证明]　因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．

又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.

因为OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

所以OF∥平面PCD.

因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC.

因为OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，

所以OE∥平面PCD.

又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，

所以平面EFO∥平面PCD.

[方法技巧]

平面与平面平行的判定方法

(1)定义法：两个平面没有公共点．

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．

(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.

(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.　　

【对点练清】

1．已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β 的是    (　　)

A．α，β都平行于直线l，m

B．α内有三个不共线的点到β的距离相等

C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β

D．l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

解析：选D　对于A，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β；

对于B，当α∩β＝a，且在平面α内同侧有两点，另一侧有一个点，三点到平面β的距离相等时，不能推出α∥β；

对于C，当l∥m时，不能推出α∥β；

对于D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，故可得α∥β.故选D.

2.

如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，   C1D1，D1A1的中点．

求证：(1)E，F，B，D四点共面；

(2)平面MAN∥平面EFDB.

证明：(1)连接B1D1.

∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，

∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，

∴BD∥EF.

∴E，F，B，D四点共面．

(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，

∴MN∥BD.

又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，

∴MN∥平面EFDB.

连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，

∴MF綉A1D1.又AD綉A1D1，∴MF∥AD且MF＝AD.

∴四边形ADFM是平行四边形．∴AM∥DF.

又AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB，

∴AM∥平面EFDB.

又∵AM∩MN＝M，AM⊂平面MAN，

MN⊂平面MAN，∴平面MAN∥平面EFDB.

题型二　平面与平面平行的性质

【学透用活】

(1)应用平面与平面平行的性质定理，必须具备三个条件：

①平面α和平面β平行，即α∥β；

②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；

③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.

以上三个条件缺一不可．

(2)转化关系：面面平行⇒线线平行．

[典例2]　如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.

[证明]　如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.

∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC.

则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC.

∵α∥β，∴AC∥DE.

又P，N分别为AE，CD的中点，

∴PN∥DE.又PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α.

又M，P分别为AB，AE的中点，

∴MP∥BE.又MP⊄α，BE⊂α，∴MP∥α.

∵MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α.

又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.

[方法技巧]

应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤

【对点练清】

1.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为                                                                                     (　　)

A．2∶5　　　　　　　 B．2∶7

C．4∶49   D．9∶25

解析：选C　∵平面α∥平面ABC，A′B′⊂α，AB⊂平面ABC，

∴A′B′∥AB.∴A′B′∶AB＝PA′∶PA.

又PA′∶AA′＝2∶5，∴A′B′∶AB＝2∶7.

同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7.

∴△A′B′C′∽△ABC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49.故选C.

2．[变条件]若将本例中的条件“M，N分别为AB，CD的中点”换为“M，N分别在线段AB，CD上，且＝”，其他不变．求证：MN∥平面α.

证明：

过点A作AE∥CD交α于点E，连接AC，BD，如图．

∵α∥β且平面AEDC与平面α，β的交线分别为ED，AC，∴AC∥ED.

∴四边形AEDC为平行四边形．

作NP∥DE交AE于点P，连接MP，BE，于是＝.

又∵＝，∴＝，∴MP∥BE.

而BE⊂α，MP⊄α，∴MP∥α.同理PN∥α.

∵MP∩NP＝P，∴平面MPN∥平面α.

又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.

题型三　平行关系的综合应用  

[探究发现]

(1)线线、线面、面面平行之间有什么联系？

提示：可以相互转化，如图：

(2)证明线面平行的方法有哪些？

提示：①利用线面平行的定义(无公共点)；

②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；

③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；

④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．　　　

【学透用活】

[典例3]　如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求PQ的长；

(3)求证：EF∥平面BB1D1D.

[解]　(1)证明：如图，连接AC，CD1.

∵四边形ABCD是正方形，且Q是BD的中点，∴Q是AC的中点．

又P是AD1的中点，∴PQ∥CD1.

又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1.

(2)由(1)易知PQ＝D1C＝a.

(3)证明：法一：取B1D1的中点O1，

连接FO1，BO1，则有FO1∥B1C1且FO1＝B1C1.

又BE∥B1C1且BE＝B1C1，∴BE∥FO1，且BE＝FO1.

∴四边形BEFO1为平行四边形．∴EF∥BO1.

又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，

∴EF∥平面BB1D1D.

法二：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，

则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1.

又FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1⊂平面EE1F，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.

又EF⊂平面EE1F，∴EF∥平面BB1D1D.

[方法技巧]

解决平行关系的综合问题的策略

(1)在遇到线面平行时，常需作(或找)出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．　　

(2)线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，要灵活应用，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．　　

【对点练清】

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，如图．

(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；

(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并

证明：A1E＝EF＝FC.

解：(1)证明：因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD綉B1C1，

所以四边形AB1C1D是平行四边形．所以AB1∥C1D，

又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，

所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.

又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.

(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内．

所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．

连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F.同理可得点F就是A1C与平面C1BD的交点．

下面证明A1E＝EF＝FC.

因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，

平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，

平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.

在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，

所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.

同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，

即CF＝FE.所以A1E＝EF＝FC.

【课堂思维激活】

一、综合性——强调融会贯通

1.如图，E，F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F.

求证：四边形EBFD1是平行四边形．

证明：∵平面A1D∥平面B1C，平面A1D∩平面BFD1E＝D1E，平面     B1C∩平面BFD1E＝BF，∴D1E∥FB.同理可得D1F∥EB.

∴四边形EBFD1是平行四边形．

分析以上解题过程是否正确，若错误请指出错因，并给出正确的解题过程．

提示：学生在解答中盲目地认为E，B，F，D1四点共面，但由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件AE＝C1F也没有用到．

正解如下：

如图，在棱BB1上取点G，使B1G＝C1F＝AE，连接A1G，GF，则GF綉B1C1綉A1D1，

所以四边形GFD1A1为平行四边形．

所以A1G綉D1F.

因为A1E＝AA1－AE，BG＝B1B－B1G，AA1綉BB1，所以A1E綉BG.

所以四边形EBGA1为平行四边形．

所以A1G綉EB.所以D1F綉EB.

所以四边形EBFD1是平行四边形．

二、应用性——强调学以致用

2．高鹏同学家购买了一套新房，为了充分利用自己的房间，他想靠墙角设计一个双层床，上层摆放自己的玩具等物品，但装修师傅却问道：我怎样装修才能使双层床的各层面与地面平行呢？大家想想，装修师傅应该怎样装修？

解：如图，假设A点是墙角，α，β是床面，γ是地面．根据面面平行的判定定理，装修师傅只需在两面墙上画MN∥AB，MQ∥AD，则平面α∥平面γ，同理平面β∥γ.

课时跟踪检测

层级(一)　“四基”落实练

1．已知平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是       (　　)

A．平行　　　　　　　　　 B．相交

C．异面   D．平行或异面

解析：选D　∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵a⊂α，b⊂β，∴直线a，b没有公共点．∴直线a，b的位置关系是平行或异面．故选D.

2．已知l∥α，m∥α，l∩m＝P且l与m确定的平面为β，则α与β 的位置关系是   (　　)

A．相交   B．平行

C．相交或平行   D．不确定

解析：选B　因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.又因为l∥α，m∥α，l∩m＝    P，所以β∥α.故选B.

3．在正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是(　　)

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

解析：选A　在平面E1FG1与平面EGH1中，因为E1G1∥EG，FG1∥EH1，且E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，所以平面E1FG1∥平面EGH1.故选A.

4．已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，则a与b的位置关系可能是 (　　)

A．平行或相交   B．相交或异面

C．平行或异面   D．平行、相交或异面

解析：选D　当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，

显然满足题目条件；在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β、平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件．故选D.

5．(多选)已知α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是                                                                                                                              (　　)

A.⇒a∥b B.⇒a∥b

C.⇒α∥β  D.⇒α∥a

解析：选BCD　由基本事实4及平行平面的传递性知A正确．举反例知B、C、D不正确．B中a，b可以相交，还可以异面；C中α，β可以相交；D中a可以在α内．故选B、C、D.

6.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．

解析：由夹在两平行平面间的平行线段相等可得．

答案：平行四边形

7.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1  平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________.

解析：∵平面MNE∥平面ACB1，

由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A.

又∵E为BB1的中点，

∴M，N分别为BA，BC的中点．

∴MN＝AC，即＝.

答案：

8.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.

求证：EC∥A1D.

证明：∵BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，∴BE∥平面AA1D.

∵BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，

∴BC∥平面AA1D.

又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，

∴平面BCE∥平面AA1D.

又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，

平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，∴EC∥A1D.

层级(二)　能力提升练

1．(多选)如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，正确命题的是     (　　)

A．BM∥平面DE

B．CN∥平面AF

C．平面BDM∥平面AFN

D．平面BDE∥平面NCF

解析：选ABCD　以ABCD为下底面还原正方体，如图．

则易判定四个命题都是正确的．

2．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为                                                                                                                                            (　　)

A. B.

C.  D.

解析：

选B　取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，

由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝BC1＝，MC1＝BN＝，所以梯形的高为，

所以梯形的面积为(＋2)×＝.

3．(多选)

如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1.则以下四个说法中正确的是                                                                                                                (　　)

A．MN∥平面APC

B．C1Q∥平面APC

C．A，P，M三点共线

D．平面MNQ∥平面APC

解析：选BC　A：MN∥AC，连接AM，CN，得AM，CN交于点P，即MN⊂平面PAC，

所以MN∥平面APC是错误的；

B：平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，

所以C1Q∥平面APC是正确的；

C：由BP＝BD1，以及B知△APB∽△D1PM，

所以A，P，M三点共线是正确的；

D：直线AP延长到M，则M既在平面MNQ内，

又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．

4.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.

求证：N为AC的中点．

证明：∵平面AB1M∥平面BC1N，

平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，

平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，

∴C1N∥AM.又AC∥A1C1，

∴四边形ANC1M为平行四边形．

∴AN＝C1M＝A1C1＝AC.

∴N为AC的中点．

5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点，

所以QB∥PA.

因为QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，

所以QB∥平面PAO.

连接DB.因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以PO为△DBD1的中位线．

所以D1B∥PO.

因为D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，