数学湘教版第1章 直角三角形1.1 直角三角形的性质与判定（Ⅰ）第2课时同步达标检测题

1.1  直角三角形的性质和判定（Ι）

第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用

要点感知1  在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________.

预习练习1-1  已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm，则斜边的长为(    )

  A.2 cm            B.4 cm            C.6 cm           D.8 cm

要点感知2  在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于__________.

预习练习2-1  在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，∠B的度数为(    )

  A.30°            B.45°           C.60°            D.75°

知识点1  在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

1.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4 cm，最长边AB的长是(    )

  A.5 cm            B.6 cm            C.7 cm             D.8 cm

2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(    )

  A.3.5             B.4.2              C.5.8                 D.7

第2题图                     第4题图

3.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2 cm，则AB的长度是(    )

  A.2 cm               B.4 cm               C.8 cm                  D.16 cm

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB=8，则DE的长度是__________.

5.在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长.

知识点2  在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°

6.在直角三角形中，最长边为10 cm，最短边为5 cm，则这个三角形中最小的内角为__________度.

7.在△ABC中,如果∠A+∠B=∠C,且AC=AB,那么∠B=__________.

8.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是(    )

  A.30°            B.60°        C.30°或150°           D.不能确定

9.如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求CD的长.

知识点3  含30°锐角的直角三角形的应用

10.如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上.该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上.船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点.求船从A到D一共走了多少海里？

11.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则(    )

  A.AB=2AC           B.AC=2AB          C.AB=AC               D.AB=3AC

12.等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10 cm，那么底边上的高为(    )

  A.10 cm              B.5 cm             C.6 cm               D.8 cm

13.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A等于(    )

  A.25°             B.30°            C.45°             D.60°

14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，且BD∶DC=2∶1，则∠B满足(    )

  A.0°＜∠B＜15°         B.∠B=15°        C.15°＜∠B＜30°         D.∠B=30°

第14题图                            第16题图

15.在△ABC中，已知AB=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC=__________.

16.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.

17.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，周长为3+3，AC=3，求BC的长.

18.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点.

求证：CD⊥AB.

19.等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一条边长度的一半，则其顶角为(    )

  A.30°          B.30°或150°          C.120°或150°          D.30°或120°或150°

20.已知如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AC,CD=2,BD=1,求∠C的度数.

参考答案

要点感知1  一半

预习练习1-1  B

要点感知2  30°

预习练习2-1  C

1.D  2.D  3.C  4.2

5.设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，

  ∵x+2x+3x=180°，∴x=30°.∴∠C=90°.

  ∵AB=8 cm，∴BC=4 cm.

  故最短的边的长是4 cm.

6.30    7.30°    8.C

9.在Rt△AEC中，∵2CE=AC，

  ∴∠1=∠2=30°.

  ∵AD=BD=4，

  ∴∠B=∠2=30°.

  ∴∠ACD=180°-30°×3=90°.

  ∴CD=AD=2.

10.由题意知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°.

  在△BCD中，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°.

  ∴AB=BC=2BD.

  ∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，

  ∴BD=80海里.

  ∴AB=BC=160海里.

  ∴AD=160+80=240(海里).

  因此船从A到D一共走了240海里.

11.A  12.B  13.B  14.D    15.10    16.12

17.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,

  ∴AB=2BC.

  ∴AB+BC+AC=3BC+3=3+3.解得BC=,

  即BC的长为.

18.证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，

∴CM=AB=BM.

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴CB=AB=BM.

∴CM=CB.

∵D为MB的中点，

∴CD⊥BM，

即CD⊥AB.

19.D

20.取CD的中点E,连接AE,

  ∵AD⊥AC,∴∠CAD=90°.

  ∵E是CD的中点,CD=2,

  ∴AE=CD=DE=CE=×2=1.

  ∵BD=1,∴BE=CD.

  ∵AB=AC,∴∠B=∠C.

  又∵AB=AC,

  ∴△ABE≌△ACD（SAS）.

  ∴AD=AE=1=CD.

  又∵∠CAD=90°,

  ∴∠C=30°.