2022-2023学年上海市长宁区高三上学期12月教学质量调研（一模）数学试题（word版）
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上海市长宁区2022-2023学年高三上学期12月教学质量调研
数学
参考答案与评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）．
1. 2.． 3. . 4. 3. 5.3. 6. ①④.
7.180. 8. 4. 9. . 10.. 11. 12.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）．
13. A 14. C 15. D 16. C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
解：（1），，
因为，所以，
得，，，
所以数列的公比为3，数列的通项公式为.
（2）因为数列的公差为2，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
得.
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
解：（1）因为我
所以，
又因为，
所以，
因为，所以.
（2）因为，所以，
因为，
所以，
得，进而，
因为，所以.
19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
（1）证明：因为、分别为棱、的中点.
所以，
因为平面，不在平面上，
所以平面.
（2）因为平面平面， ，
所以平面，
所以，
因为，，所以平面.
（3）因为平面，
所以即为直线与平面所成的角，得
所以，
因为平面，
所以即为直线与平面所成的角，得
所以，
因为平面，所以，又，
所以即为二面角的平面角，
由，得，得
所以二面角的大小为.
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）.
解：（1），双曲线的半焦距
双曲线的的标准方程为,
所以，得，
所以
（2）解法一：的准线方程为，
设点，因为，
所以，得
因为，所以，所以，
因为在第一象限，所以点的坐标为，
所以直线的斜率为
直线的方程为.
解法二：的准线方程为，
过点作的准线的垂线，垂足为，则，
因为，所以，
因为在第一象限，所以直线的倾斜角为，
所以直线的方程为
（3）设点，，
由已知直线的方程为，
将代入抛物线方程得，
所以，
因为直线的方程为，直线的方程为，
所以的纵坐标分别为，，
得圆方程为，
因为，所以整理得,
令，得或，
所以圆过定点和.
21．（本题满分16分，第1小题①题满分4分，第1小题②题满分6分，第2小题满分8分）.
解：（1），所以，
所以曲线在点处切线的斜率为1，
进而曲线在处的切线方程为.
（2），，
令，得，，
列表如下：
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
所以函数的单调减区间为，
函数在处取得极小值上.
（3）解：
等价于，
若存在，使得，
则当时，，
此时在上有最小值，与已知矛盾，
所以对任意，都有；
即对任意，都有
若存在，使得，
则当时，，与已知矛盾，
所以即对任意，都有，
当 时，，
由
得.
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