第六章测评卷

过关综合测评

第六章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2021安徽庐阳校级期末)下列说法正确的是(　　)

A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b

B.若a,b互为相反向量,则a+b=0

C.零向量是没有方向的向量

D.若a,b是两个单位向量,则a=b

答案B

解析当|a|=|b|时,a,b可能不共线,故A错误;若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0,故B正确;零向量的方向不确定,为任意方向,不能说零向量没有方向,故C错误;若a,b是两个单位向量,则|a|=|b|,而方向可能不同,故D错误.故选B.

2.(2021安徽庐阳校级期末)已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量同向的单位向量是(　　)

A. B.

C. D.

答案A

解析∵A(4,1),B(7,-3),∴=(3,-4),故与向量同向的单位向量为.故选A.

3.(2021全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(　　)

A.1 B. C. D.3

答案D

解析设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos 120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D.

4.(2021北京朝阳校级月考)已知a=(1,-2),b=(-2,m),若a⊥(a+2b),则实数m的值为(　　)

A. B. C.1 D.2

答案A

解析∵a=(1,-2),b=(-2,m),∴a·b=-2-2m.又a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=a2+2a·b=5-4-4m=0,解得m=.故选A.

5.(2021四川巴中模拟)已知向量=(1,-2),=(2,-3),=(3,t).若A,B,C三点共线,则实数t=(　　)

A.-4 B.-5 C.4 D.5

答案A

解析向量=(1,-2),=(2,-3),=(3,t).若A,B,C三点共线,则存在实数x,使=x+(1-x),即解得故选A.

6.(2021湖南郴州期末)已知平面向量满足||=||=1,=-.若||=1,则||的最大值为(　　)

A.-1 B.-1

C.+1 D.+1

答案D

解析∵||=||=1,=-,

∴cos∠APB==-,

∴∠APB=π.由余弦定理,得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=1+1+1=3.∴AB=,则||=.∴当同向共线时,||有最大值+1.故选D.

7.(2021北京模拟)在等腰梯形ABCD中,=-2,M为BC的中点,则=(　　)

A. B.

C. D.

答案B

解析如

图所示,在等腰梯形ABCD中,=-2,

∴=-,

.

又M为BC的中点,∴=0.

又,

∴2=()+()

=,

∴.

故选B.

8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,BC边上的高为1,则△ABC面积的最小值为(　　)

A.2- B.2-

C.2+ D.2+

答案B

解析设△ABC的面积为S,BC边上的高为h,则h=1,

∴S=bcsin A=bc,即bc=4S.

又S=ah=a,

∴S2=a2=(c2+b2-2bccos A)=(c2+b2-bc)≥(2bc-bc)=bc=×4S=(2-)S,当且仅当b=c时,等号成立.∴S≥2-,

故△ABC面积的最小值为2-.故选B.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),则下列选项正确的有(　　)

A.(a+2b)∥c B.(a+2b)⊥c

C.|a+c|= D.|a+c|=2|b|

答案AD

解析a+2b=(-3,5),故A正确,B错误;|a+c|==2=2|b|,故C错误,D正确.故选AD.

10.(2021广东宝安校级期末)设P是△ABC所在平面内的一点,=3,则(　　)

A.=0 B.=0

C. D.=0

答案CD

解析因为=3,所以-3=0,即=0,故D正确,A,B错误;易知C正确.故选CD.

11.(2021江苏建邺校级月考)已知满足C=30°,AB=4,AC=b的△ABC有两个,那么b可能是(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

答案ABC

解析在△ABC中,C=30°,AB=4,AC=b,由正弦定理,得,即,解得sin B=.由题意知,当sin B∈时,满足条件的△ABC有两个,即<1,解得4<b<8,所以b可能是5,6,7.故选ABC.

12.(2021江苏常州期末)在△ABC中,满足cos2A+cos2B=1,则下列说法正确的是(　　)

A.A+B=

B.|tan A|=

C.若A,B为不同象限的角,则tan(A+B)+的最大值为-2

D.=4

答案BC

解析对于A,由cos2A+cos2B=1,得|cos B|=|sin A|,可得A+B=或A-B=,故A错误;对于B,由|cos B|=|sin A|,得|tan A|=,故B正确;对于C,因为A,B为不同象限的角,所以tan Atan B=-1,所以A,B中必有一角大于,所以C∈0,,tan C>0,所以tan (A+B)+=-tan C+=-≤-2,当且仅当tan C=1时,等号成立,故C正确;对于D,因为sin 2A+sin 2B+sin 2C=sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin 2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=2sin Ccos(A-B)-2sin Ccos(A+B)=4sin Asin Bsin C,所以=4tan Atan B=±4,故D错误.故选BC.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(2021湖南怀化期末)在水流速度为4 km/h的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8 km/h的速度(船在静水中的速度)航行,则船实际航行的速度的大小为　　　　　 km/h. 

答案4

解析由

题意,如图,表示水流速度,表示船在静水中的速度,则表示船的实际速度.

则||=4,||=8,∠AOB=90°,∴||==4,

∴实际速度的大小为4 km/h.

14.(2021全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　　. 

答案2

解析由题意可知△ABC的面积S=acsin 60°=,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12.

因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×cos 60°=8,所以b=2.

15.(2021安徽芜湖模拟)已知a,b,c是单位向量,a+b+c=0,则|a-b|=　　　　. 

答案

解析由a+b+c=0,得a+b=-c,∴(a+b)2=(-c)2.

∵a,b,c是单位向量,∴a·b=-,

∴|a-b|=.

16.(2021浙江卷)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=2,则AC=　　　,cos∠MAC=　　　　. 

答案2

解析由

题意作出图形,如图,在△ABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM·BA·cos B,

即12=4+BM2-2BM×2×,

解得BM=4(负值舍去),

所以BC=2BM=2CM=8.

在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=4+64-2×2×8×=52,

所以AC=2.

在△AMC中,由余弦定理的推论,得cos∠MAC=.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知平面上点A(4,1),B(3,6),D(2,0),且.

(1)求||;

(2)若点M的坐标为(-1,4),用基底{}表示.

解(1)设点C的坐标为(x,y),已知点A(4,1),B(3,6),D(2,0),所以=(x-3,y-6),=(-2,-1).

又,所以解得

所以点C的坐标为(1,5),=(-3,4),

所以||==5.

(2)已知点M(-1,4),所以=(-5,3),

=(-1,5),=(-2,-1).

设=λ+μ,即解得+2.

18.(12分)(2021安徽定远校级期末)已知向量a=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c.

(1)求b与c;

(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.

解(1)由a∥b,得x-2×3=0,解得x=6.

由a⊥c,得1×2+2y=0,解得y=-1.

故b=(3,6),c=(2,-1).

(2)∵m=2a-b=(-1,-2),n=a+c=(3,1),

∴m·n=-1×3-2×1=-5,|m|=,|n|=,

∴cos<m,n>==-.

又0≤<m,n>≤π,∴向量m,n的夹角为.

19.(12分)(2021安徽瑶海月考)已知海岛A四周8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,在B处望见岛A在北偏东75°,航行20 海里后,在C处望见此岛在北偏东30°,若货轮不改变航向继续前进,有没有触礁危险?请说明理由.

解没

有触礁危险,理由如下:如图所示,由题意知,∠ABC=15°,∠ACD=60°,

∴∠BAC=45°.

在△ABC中,BC=20,由正弦定理得AC==40sin 15°=10().

在直角三角形ACD中,AD=AC•sin 60°=15-5>8,

从而可知货轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.

20.

(12分)(2021浙江北仑校级期中)如图,在直角梯形ABCD中,角B是直角,=2,AB=AD=2,E为AB的中点,=λ(0≤λ≤1).

(1)当λ=时,用表示;

(2)求||的最小值并求出相应的实数λ的值.

解(1)当λ=时,,

故)=)==.

(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则=(2,0),=(-1,2).

因为=λ=(-λ,2λ),0≤λ≤1,

所以=(2-λ,2λ),P的坐标为(2-λ,2λ).

因为E的坐标为(0,1),所以=(λ-2,1-2λ),||=,

当λ=时,|PE|取得最小值.

21.(12分)(2021浙江期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+2c)cos B+bcos A=0.

(1)求角B的大小;

(2)若b=3,求△ABC的周长的最大值.

解(1)已知(a+2c)cos B+bcos A=0,

则(sin A+2sin C)cos B+sin Bcos A=0,

即sin Acos B+cos Asin B+2sin Ccos B=0,

sin(A+B)+2sin Ccos B=0,sin C+2sin Ccos B=0,

∵sin C>0,∴cos B=-.

∵0<B<π,∴B=.

(2)∵b=3,sin B=,∴由正弦定理得=2,即a=2sin A,c=2sin C,

∴△ABC周长为a+b+c=2(sin A+sin C)+3=2sin A+sin+3=2sin+3.

∵0<A<,∴<A+,

∴sin,即2sin+3∈(6,2+3],则△ABC周长的最大值为2+3.

22.(12分)(2021新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.

(1)证明:BD=b;

(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.

(1)证明由正弦定理,得BD·b=ac=b2,则BD=b.

(2)解由(1)知BD=b,∵AD=2DC,

∴AD=b,DC=b.

在△ABD中,由余弦定理的推论,得cos∠BDA=,

在△CBD中,由余弦定理的推论,得cos∠BDC=.

∵∠BDA+∠BDC=π,

∴cos∠BDA+cos∠BDC=0.

即=0,得33b2=9c2+18a2.

∵b2=ac,∴9c2-33ac+18a2=0.

∴c=3a或c=a.

在△ABC中,由余弦定理的推论知,cos∠ABC=,

当c=3a时,cos∠ABC=>1(舍);

当c=a时,cos∠ABC=.

综上所述,cos∠ABC=.