高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图优秀一课一练

第八章立体几何初步

8.2　立体图形的直观图

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(多选题)(2021浙江北仑校级期中)给出以下关于斜二测画法的结论,其中正确的是(　　)

A.水平放置的角的直观图一定是角

B.相等的角在直观图中仍然相等

C.相等的线段在直观图中仍然相等

D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行

答案AD

解析水平放置的角的直观图仍然是角,故A正确;利用斜二测画法画水平放置的90°角的直观图是45°角或135°角,故B错误;平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的长度变为原来的一半,故C错误;根据斜二测画法知,直观图中平行关系不会改变,故D正确.故选AD.

2.如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,其中A'B'=A'C',A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,则△ABC是(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.钝角三角形

答案B

解析∵A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,∴AB⊥AC.

又AC=2A'C'=2AB,∴△ABC是直角三角形,不是等腰三角形.

3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是(　　)

A.AB B.AD

C.BC D.AC

答案D

解析△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,则AC>AB,AC>AD,AC>BC,故AC是最长的线段.

4.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C',其中梯形的上底长是下底长的.若原平面图形OABC的面积为3,则O'A'的长为(　　)

A.2 B. C. D.

答案D

解析设O'A'=x,则O'B'=x,在原图形中OB=2O'B'=2x,BC=B'C'=,OA=O'A'=x,OB为原图形中梯形的高,

故原平面图形OABC的面积S=×x+x×2x=3,解得x=.

5.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为(　　)

A.a2 B.a2 C.a2 D.a2

答案D

解析如图①②所示的分别是实际图形和直观图.

由斜二测画法可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',

则C'D'=O'C'=a.所以S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2.

6.

已知一个水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形,如图,其中有一边长为4,则此正方形的面积是　　　　　. 

答案16或64

解析若O'A'=4,则正方形边长为4,其面积为16;若O'C'=4,则正方形边长为8,面积为64.

7.按如图的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.

画法(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.

(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.

(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,在y'轴上取O'E'=OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上沿y轴正方向取G'A'=GA,H'D'=HD.

(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).

8.用斜二测画法画出棱长为2 cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.

画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

①

(2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD.

②

(3)画侧棱.过A,B,C,D分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD'.

(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).

关键能力提升练

9.(多选题)水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么原△ABC是一个(　　)

A.等边三角形 B.直角三角形

C.三边互不相等的三角形 D.面积为的三角形

答案AD

解析由题中图形知,在原△ABC中,AO⊥BC.

∵A'O'=,∴AO=.

∵B'O'=C'O'=1,∴BC=2,AB=AC=2,

∴△ABC为等边三角形.

∴△ABC的面积为×2×.

10.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知O'B'=4,A'B'∥y轴,且△ABO的面积为16,过A'作A'C'⊥x'轴交于点C',则A'C'的长为(　　)

A.2 B. C.16 D.1

答案A

解析因为A'B'∥y轴,所以在△ABO中,AB⊥OB,又三角形的面积为16,所以AB·OB=16.所以AB=8,所以A'B'=4.所以A'C'的长为4·sin 45°=2.

11.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是(　　)

A.正方形 B.矩形 

C.菱形 D.梯形

答案C

解析设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=2.

在原图形中,OD=4,CD=2,且OD⊥CD.

∴OC==6=OA,∴原图形是菱形.

12.

水平放置△ABC的直观图如图所示,A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的长度为　　　　　. 

答案

解析在直观图中,A'C'=3,B'C'=2,所以在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∠C为直角,

∴AB==5,∴AB边上的中线的长度为AB=.

13.如图所示,已知用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为　　　　　. 

答案a2

解析过点C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于点M'.

过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于点D',则C'D'=a.

∴∠C'M'D'=45°,∴C'M'=a.∴原三角形的高CM=a,底边长为a,其面积为S=×a×a=a2,或S直观=S原,∴S原=a2=a2.

学科素养创新练

14.画出一个上、下底面边长分别为1 cm,2 cm,高为2 cm的正三棱台的直观图.

画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴相交于点O,

使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段AB,使AB=2 cm,在y轴上取线段OC,使OC= cm.连接BC,CA,则△ABC就是正三棱台的下底面的直观图.

(3)画上底面.在Oz轴上取O',使OO'=2 cm,过点O'作平行于轴Ox的轴O'x',平行于轴Oy的轴O'y',类似下底面的作法作出上底面的直观图△A'B'C'.

(4)成图.连接AA',BB',CC',并加以整理(去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线),得到正三棱台的直观图(如图②所示).