第四章　指数函数与对数函数习题课　指数函数及其性质的应用

习题课　指数函数及其性质的应用

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的值域是(　　)

A. B.

C. D.

答案A

解析∵-2≤x<2,

∴-2<-x≤2,∴3-2<3-x≤32,

∴-<3-x-1≤8,即y∈.

2.(多选题)(2020江苏南京师大附中高一期中)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是(　　)

A.2 B. C.3 D.

答案AB

解析当a>1时,指数函数y=ax单调递增,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=a,最小值ymin=.

所以a+,解得a=2或a=(舍去);

当0<a<1时,指数函数y=ax单调递减,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=,ymin=a,所以a+,解得a=2(舍去)或a=.

综上,可得a=2或a=.

3.设x>0,且1<bx<ax,则(　　)

A.0<b<a<1 B.0<a<b<1

C.1<b<a D.1<a<b

答案C

解析∵1<bx,∴b0<bx.∵x>0,则b>1.

又bx<ax,∴x>1,

∵x>0,∴>1,即a>b,故1<b<a.故选C.

4.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　)

A.(-∞,2]

B.[2,+∞)

C.[-2,+∞)

D.(-∞,-2]

答案B

解析由f(1)=,得a2=,

解得a=,故f(x)=|2x-4|.

令g(x)=|2x-4|,

因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).故选B.

5.若函数y=在区间(-∞,1)内单调递增,则a的取值范围是　　　　. 

答案[2,+∞)

解析由复合函数的单调性知,函数y=-x2+ax的对称轴x=≥1,解得a≥2.

6.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0,且a≠1.

(1)求a的值;

(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.

解(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,所以a2-1=a=.

(2)由(1)得f(x)=(x≥0),

当x=0时,函数取最大值2,故f(x)∈(0,2],

所以函数y=f(x)+1=+1(x≥0)∈(1,3],故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].

等级考提升练

7.已知函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-3,1) 

B.(-∞,-3)∪(1,+∞)

C.(-∞,-3) 

D.(1,+∞)

答案A

解析当a<0时,-7<1,<8,2-a<23,-a<3,得a>-3,∴-3<a<0;当a≥0时,<1,a<1,∴0≤a<1.

综上,-3<a<1.故选A.

8.(多选题)对于函数f(x)=2-x-2x有下述四个结论,其中正确的结论是(　　)

A.f(0)=0

B.f(x)是奇函数

C.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增

D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解

答案ABD

解析f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正确;

f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函数,B正确;

f(x)=-2x在R上是减函数,C错;

由于x趋向于-∞时,f(x)趋向于+∞,x趋向于+∞时,f(x)趋向于-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),又f(x)在R上是减函数,因此对任意实数a,f(x)=a有唯一解,D正确.

9.(2021上海闵行高一期末)若实数x,y满足2 020x-2 020y<2 021-x-2 021-y,则(　　)

A.x-y<0 B.x-y>0

C.<1 D.>1

答案A

解析不等式2 020x-2 020y<2 021-x-2 021-y化为2 020x-2 021-x<2 020y-2 021-y,

令f(a)=2 020a-2 021-a,则f(a)是增函数,

故x<y,即x-y<0.故选A.

10.(2021江西赣州南康中学高一月考)设a>0且a≠1,函数f(x)=有最大值,则不等式>1的解集为　　　　. 

答案{x|2<x<3}

解析令t=(x-1)2+2≥2,t有最小值2,因为函数f(x)=有最大值,所以0<a<1.

因为不等式>a0,所以x2-5x+6<0,

即(x-2)(x-3)<0,

解得2<x<3,所以不等式的解集是{x|2<x<3}.

11.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)=　　　　;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为　　　　　. 

答案2-x-4　{x|x<0,或x>4}

解析设x<0,则-x>0,

∴f(-x)=2-x-4.

又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.

于是f(x-2)>0可化为解得x>4或x<0.

12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　　. 

答案

解析由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-)可化为f(2|a-1|)>f(),则2|a-1|<,|a-1|<,解得<a<.故答案为.

13.设函数f(x)=4x-2a+x-a,a∈R.

(1)当a=2时,解不等式f(x)>30;

(2)当x∈(-1,1)时,f(x)存在最小值-2,求a的值.

解设2x=t(t>0),则y=t2-2a·t-a,

(1)当a=2时,f(x)>30⇔y=t2-4t-32>0,

∴t<-4或t>8.

∵t>0,∴t>8,∴2x>8,∴x>3,

∴不等式的解集为{x|x>3}.

(2)当x∈(-1,1)时,必有函数图象的对称轴t0=2a-1∈,即0<a<2,故函数的最小值为m==-2,∴a+22a-2=2,由于关于a的函数y=a+22a-2单调递增,故最多有一个实根,而当a=1时,a+22a-2=2,∴a的值为1.

新情境创新练

14.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.

(1)求m,n的值;

(2)当x∈时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.

解(1)∵f(x)在定义域R上是奇函数,

∴f(0)=0,∴n=1.

又由f(-1)=-f(1),得m=2.

检验知,当m=2,n=1时,原函数是奇函数.

(2)由(1)知f(x)==-,任取x1,x2∈R,设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=.

∵函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,

∴<0.

又(+1)(+1)>0,

∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),

∴函数f(x)在R上是减函数.

∵f(x)是奇函数,∴不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x).

又f(x)在R上是减函数,由上式推得kx2<1-2x,即对一切x∈有k<恒成立.

设g(x)=-2·,令t=,t∈,则有g(t)=t2-2t,t∈,

∴g(x)min=g(t)min=g(1)=-1,∴k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1).