高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时同步达标检测题

5.5　三角恒等变换

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(2021河南南阳高一期末)cos 15°cos 45°+sin 15°·sin 45°=(　　)

A. B. C.- D.-

答案B

解析由两角差的余弦公式可得cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°=cos(45°-15°)=cos 30°=,故选B.

2.计算的值是(　　)

A. B.- C. D.-

答案C

解析

=.

3.已知sin α=,α∈0,,则cos+α等于(　　)

A. B. C.- D.-

答案B

解析由题意可知cos α=,cos+α=cos2π-+α=cosα-=cos αcos +sin αsin .

4.(2021重庆高一期末)若α∈(0,π),且cos α+=,则cos α等于(　　)

A. B.

C. D.

答案C

解析因为α∈(0,π)且cos α+=,

所以sin α+=.

cos α=cos α+-=.

5.化简cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)·sin(α+5°)=　　　　　. 

答案

解析原式=cos[(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=.

6.若cos θ=-,θ∈,则cos=　　　　　. 

答案-

解析∵cos θ=-,θ∈,∴sin θ=-.

∴cos=cos θcos+sin θsin

=-=-.

7.(2021山东威海高一期末)已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,π,α+β∈,2π,求角β的值.

解由α-β∈,π,且cos(α-β)=-,得sin(α-β)=.由α+β∈,2π,且cos(α+β)=,得sin(α+β)=-.∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]

=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)

=×-+-×=-1.

又α+β∈,2π,α-β∈,π,

∴2β∈.∴2β=π,则β=.

等级考提升练

8.(2021河南洛阳高一期末)已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)的值为(　　)

A. B. C. D.1

答案B

解析因为sin α-sin β=1-,

所以sin2α-2sin αsin β+sin2β=. ①

又因为cos α-cos β=,

所以cos2α-2cos αcos β+cos2β=. ②

所以①+②得2cos(α-β)=,

所以cos(α-β)=,故选B.

9.(2021四川成都高一期末)已知cosx-=-,则cos x+cosx-等于(　　)

A.- B.± C.-1 D.±1

答案C

解析因为cosx-=-,

所以cos x+cosx-=cos x+cos x+sin x

=cos x+sin x=cos x+sin x

=cosx-=-1.故选C.

10.

(2020云南玉溪一中高一检测)《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为4∶9,则cos(α-β)的值为(　　)

A. B. C. D.0

答案A

解析设大的正方形的边长为1,由于小正方形与大正方形面积之比为4∶9,所以小正方形的边长为,可得cos α-sin α=,              ①

sin β-cos β=, ②

由图可得:cos α=sin β,sin α=cos β,

①×②可得:=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β-sin αsin β=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),

解得cos(α-β)=.

11.(多选题)下列满足sin αsin β=-cos αcos β的有(　　)

A.α=β=90° B.α=-18°,β=72°

C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°

答案BC

解析由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,B,C项符合.

12.(多选题)若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ的一个可能值是(　　)

A.- B.- C. D.

答案AC

解析对比公式特征知,cos φ=,sin φ=-,故φ=-都合适.

13.(多选题)已知α,β,γ∈0,,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则下列说法正确的是(　　)

A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=-

C.β-α= D.β-α=-

答案AC

解析由已知,得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β.两式分别平方相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1,∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,∴A正确,B错误.

∵α,β,γ∈0,,∴sin γ=sin β-sin α>0,

∴β>α,∴β-α=,∴C正确,D错误.

14.化简:=　　　　　. 

答案

解析原式=

=

=.

15.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则sin=　　　　　,cos=. 

答案

解析因为0<α<,所以+α<,

又cos,所以sin,

因为-<β<0,所以,

又cos,所以sin.

于是cos=cos

=coscos+sin+αsin.

16.若x∈,且sin x=,求2cos+2cos x的值.

解因为x∈,sin x=,所以cos x=-.

于是2cos+2cos x

=2+2cos x

=2+2cos x

=sin x+cos x=.

新情境创新练

17.已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin,求cos的值.

解∵α,β∈,

∴α+β∈,β-.

又∵sin(α+β)=-,sin,

∴cos(α+β)=.

cos=-=-.

∴cos=cos

=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin

==-.