第四章　指数函数与对数函数 习题课　对数函数及其性质的应用课件PPT

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高中同步学案优化设计GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI第四章2021课堂篇 探究学习例1(1)满足不等式log2(2x-1)logab(a>0,a≠1,b>0)的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0b的不等式,应将b化为以a为底数的对数的形式,再借助函数y=logax的单调性求解.(3)形如logax>logbx的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.变式训练1解不等式2loga(x-4)>loga(x-2)(a>0,a≠1). 例2已知函数g(x)=log2(3x-1),f(x)=log2(x+1),(1)求不等式g(x)≥f(x)的解集;(2)在(1)的条件下求函数y=g(x)+f(x)的值域.解 (1)由g(x)≥f(x)得log2(3x-1)≥log2(x+1),故不等式g(x)≥f(x)的解集为{x|x≥1}.(2)y=g(x)+f(x)=log2(3x-1)+log2(x+1)=log2(3x-1)(x+1)=log2(3x2+2x-1),令t=3x2+2x-1,则y=log2t,由(1)可得{x|x≥1},函数t=3x2+2x-1的对称轴为x=- ∉[1,+∞),故x=1时,tmin=4,即t≥4.又y=log2t在t∈[4,+∞)上单调递增,∴当x≥1时,y≥log24=2.即所求函数的值域为[2,+∞).反思感悟 与对数函数有关的值域与最值问题的处理方法(1)求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方法,配方时注意自变量的取值范围.(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求u的取值范围;④利用单调性求解y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的值域.变式训练2求下列函数的值域.(1)y=log2(x2+4);解 (1)y=log2(x2+4)的定义域为R.∵x2+4≥4,∴log2(x2+4)≥log24=2.∴y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).(2)设u=8-2x-x2=-(x+1)2+9≤9,又u>0,∴00,且a≠1);另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax)(a>0,且a≠1).①对于y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在00时,若u=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞),则Δ=4-4a≥0,解得00恒成立,解得a>1,故a的取值范围是(1,+∞).方法点睛 当对数函数的值域为R时,其真数要取遍(0,+∞)内的所有值,此时若对数的真数为二次函数,则该二次函数的图象应开口向上,且与x轴有公共点,而此时对应的定义域为函数与x轴左右两边的x的取值.若对数函数的值域为R时,则函数应取遍所有的实数值,此时若对数的真数为二次函数,则转化为该二次函数对应的不等式大于0恒成立问题.变式训练(2021浙江宁波高二期末)已知函数f(x)=lg(ax2+6x+18).若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是　　　　　;若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　　. A.(3,5] B.[-3,5]C.[-5,3) D.[-5,-3]答案 C解析 要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,即log2(3-x)≤3,∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.(2,+∞) D.(-∞,-2)答案 D解析 令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),3.(2021四川绵阳高一期末)若logab>1,其中a>0且a≠1,b>1,则(　　)A.01,其中a>0且a≠1,且b>1,则a>1,对数函数y=logax为增函数,则logab>logaa=1,所以b>a>1.故选B.4.函数y=ln x,x∈(1,e3]的值域是　　　　. 答案 (0,3]解析 由于对数函数y=ln x在其定义域上是增函数,当x∈(1,e3]时, ln 10,a≠1)的图象经过点(3,1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)如果不等式f(x+1)<1成立,求实数x的取值范围.解 (1)因为loga3=1,所以a=3,所以f(x)=log3x.(2)因为f(x+1)<1,也就是log3(x+1)<1,所以log3(x+1)