初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数精品课时作业

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数精品课时作业，文件包含专项37锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型解析版docx、专项37锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
专项37   锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型已知AB、BE的长度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度数，过较短的边AB作高BE，构造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加减求解。              1．（2022•武汉模拟）如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是 　 　m（≈1.732，≈1.414，结果保留一位小数）．【答案】56.8【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，得矩形DEAB，由题意得，设塔高CD＝xm，则BD＝AE＝xm，CE＝（x﹣24）m，在Rt△ACE中，∠CAE＝30°，则＝，即＝，解得：x≈56.8．答：古塔CD的高度约为56.8米．2．（2022•宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E， 由题意得：AB＝DE＝20m，在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，∴AE＝＝＝20（m），在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴CE＝AE•tan45°＝20×1＝20（m），∴CD＝CE+DE＝（20+20）m，∴信号塔的高度为（20+20）m3．（2022•赛罕区校级一模）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，坡比为且CD＝4米，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度．（结果保留根号）【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡比为，∴＝＝，∴∠DCE＝30°，在Rt△DCE中，DC＝4米，∴DE＝DC＝2（米），∴斜坡CD的高度DE为2米；（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DF＝AE，DE＝AF＝2米，在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∴CE＝DC•cos30°＝4×＝2（米），设BF＝x米，∴AB＝AF+BF＝（x+2）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝45°，∴DF＝＝x（米），∴AE＝DF＝x米，∴AC＝AE﹣EC＝（x﹣2）米，在Rt△ABC中，∠BCA＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：x＝4+4，经检验：x＝4+4是原方程的根，∴AB＝4+4+2＝（4+6）米，∴大楼AB的高度为（4+6）米．4．（2022•澄迈县模拟）如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18m（B、F、C在同一直线上）．求教学楼AB的高；（结果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，则四边形BCEG是矩形，∴BC＝EG，BG＝CE＝2m设教学楼AB的高为xm，∵∠AFB＝45°，∴∠FAB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴EG＝BC＝（x+18）m，AG＝（x﹣2）m，在Rt△AEG中，∠AEG＝22°∵tan∠AEG＝，∴tan22°＝，∴，解得：x≈15m．答：教学楼AB的高约为15m．5．（2020•新宾县模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，∴CO＝AO•tan60°＝100（米）．设PE＝x米，∵tan∠PAB＝＝，∴AE＝2x．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，∵PF＝CF，∴100+2x＝100﹣x，解得x＝（米）．答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．6．（2015•通辽）如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，∴设EF＝x，则FC＝x，∵CE＝20米，∴x2+（x）2＝400，解得：x＝10，则FC＝10m，∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，答：建筑物AB的高为（35+10）m．7．如图，为了测量小河对岸大树BC的高度，小明在点A处测得大树顶端B的仰角为37°，再从点A出发沿倾斜角为30°的斜坡AF走4m到达斜坡上点D，在此处测得树顶端B的仰角为26.7°．求大树BC的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan37°≈0.75，tan26.7°≈0.5，≈1.73．）【解答】解：如图，过点D分别作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G，H．在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∵sin30°＝，cos30°＝，∴DG＝AD•sin30°＝2m，AG＝AD•cos30°＝2m，在Rt△ABC中，tan37°＝，∴BC＝tan37°•AC，在Rt△BDH中，tan26.7°＝，∴BC﹣2＝tan26.7°（AC+2），∴tan37°•AC﹣2＝tan26.7°（AC+2），即0.75AC﹣2≈0.5（AC+2），∴AC＝（4+8）m．∴BC＝0.75×（4+8）＝3+6≈11.2m．答：大树BC的高度约为11.2m8．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．求标识牌CD的高．【解答】解：过点B作BF⊥EA，交EA的延长线于点F，作BG⊥DE于点G．则BF＝EG，BG＝EF，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝10米，sin30°＝，cos30°＝，∴BF＝5米，AF＝米，∵AE＝10米，∴BG＝EF＝AF+AE＝（10+5）米，在Rt△BCG中，∠CBG＝45°，∴BG＝CG，即CG＝（10+5）米，∴CE＝CG+EG＝（15+5）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝10米，tan60°＝，∴DE＝10米，∴CD＝CE﹣DE＝15+5﹣10＝（15﹣5）米．即标识牌CD的高为（15﹣5）米．∴渔轮的航程BC约为10海里，海军舰艇的航程AB约为26海里．9．春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端D的仰角为60°，再沿着坡面AB向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为45°，坡面AB的坡度i＝1：，AB＝50m，AE＝75m（假设A、B、C、D、E在同一平面内）．（1）求点B的高度BF；（2）求“新”字的高度CD．（CD长保留一位小数，参考数据≈1.732）【解答】解：（1）如图，过B作BG⊥CE于G，∵坡面AB的坡度1：，∴tan∠BAF＝1：＝，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝25（m）；（2）由勾股定理得，AF＝＝＝25（m），∴BG＝FE＝AF+AE＝（25+75）（m），在Rt△DAE中，tan∠DAE＝＝tan60°＝，∴DE＝AE＝75（m），∵∠CBG＝45°，∴△CBG是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（25+75）m，∵GE＝BF＝25m，∴CD＝CG+GE﹣DE＝25+75+25﹣75＝100﹣50≈13.4（m），答：“新”字的高度CD约为13.4m． 10．（2020•新昌县校级模拟）如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上．（1）求DM的长．（2）求旗杆AB的高度．（结果保留根号）     【解答】解：（1）∵CD＝2m，tan∠CMD＝，∴MD＝6m；（2）过点C作CE⊥AB于点E，设BM＝xm，∴BD＝（x+6）m，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝（x） m，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2m，CE＝BD＝（x+6）m，∴AE＝AB﹣BE＝（x﹣2）m，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，经检验，x＝3+是分式方程的解，∴AB＝x＝（3+3）（m）．