初中数学中考复习 专题25 三角形的有关概念和性质【考点精讲】（解析版）

考点1：三角形的相关概念与计算

1．三角形的边角关系

（1）三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

（3）三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

2．三角形分类

（1）等边三角形：三边都相等的三角形.

（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形.

（3）在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.

【例1】（2021·辽宁）一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）

A．80° B．95° C．100° D．110°

【答案】B

【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．

【详解】

解：如图，∠A=90°-30°=60°，

∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，

∴∠3=∠4=35°，

∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，

故选：B．

【例2】（2021·湖南娄底市）是某三角形三边的长，则等于（    ）

A． B． C．10 D．4

【答案】D

【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．

【详解】

解：是三角形的三边，

，

解得：，

，

故选：D．

三角形三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的应用

（1）在实际应用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形.

（2）在实际应用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和.

（3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.

1．（2021·湖北）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设AB与EF交于点M，根据，得到，再根据三角形的内角和定理求出结果．

【详解】

解：设AB与EF交于点M，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴,

∵,

∴=，

故选：A．

．

2．（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．

【详解】

由图可得

∵，

∴

∴

故选：C．

3．（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不

允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．

【详解】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；

②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；

③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；

④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；

综上所述，得到三角形的最长边长为5．

故选：B．

考点2：三角形的角平分线，中线，高，中位线，内心，外心

（1）三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高。三角形三边的高的交点叫做三角形的垂心。

（2）三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。三角形三边的中线的交点叫做三角形的重心。

（3）三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线。三角形的三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心。

【例3】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）

A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° 

C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF

【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．

【解答】解：∵AF是△ABC的中线，

∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；

∵AD是高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；

∵AE是角平分线，

∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；

∵BF＝CF，

∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；

故选：C．

1．如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（　　）

①BG是△ABD中边AD上的中线；

②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；

③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．

【解答】解：①G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；

②因为∠1＝∠2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AG是△ABE中∠BAE的角平分线，故错误；

③因为CF⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线，故正确．

故选：C．

考点3：三角形的中位线定理

1．三角形的中位线:连接三角形两边的中点，所得线段叫做该三角形的中位线.

2．三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.

【例4】（2020•内江）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（　　）

A．30 B．25 C．22.5 D．20

【分析】先根据三角形中位线的性质，证得：DE∥BC，DEBC，进而得出△ADE∽△ABC，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．

【解析】∵D、E分别是AB、AC边上的中点，

∴DE∥BC，DEBC，

∴△ADE∽△ABC，

∴（）2，

∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，

即S△ADE：15＝1：3，

∴S△ADE＝5，

∴S△ABC＝5+15＝20．

故选：D．

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半

1．（2020•辽阳）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为　    　．

【分析】依据三角形中位线定理，即可得到MNBC＝2，MN∥BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD＝MN＝2．

【解析】∵M，N分别是AB和AC的中点，

∴MN是△ABC的中位线，

∴MNBC＝2，MN∥BC，

∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，

∵点E是CN的中点，

∴NE＝CE，

∴△MNE≌△DCE（AAS），

∴CD＝MN＝2．

故答案为：2．

考点4：多边形的内角和与外角和

1．多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°.

2．多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°.

3．设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为.

【例5】（2021·江苏扬州市）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．

【详解】

解：连接BD，∵∠BCD=100°，

∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，

∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，

故选D．

（1）多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）·180°;

（2）多边形的外角和：360°.

1．（2020•广东）若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数为 (　　)

A．4　    B．5　    C．6　    D．7

【分析】根据多边形内角和公式(n-2)×180°，即可解答

【解析】设这个多边形的边数为n,根据多边形内角和定理得(n-2)×180°=540°,解得n=5,故选B.

故选：B．

2．（2020•北京）正五边形的外角和为（　　）

A．180° B．360° C．540° D．720°

【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．

【解析】任意多边形的外角和都是360°，

故正五边形的外角和的度数为360°．

故选：B．

3．（2021·浙江中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．

【答案】36

【分析】

根据题意，得五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且；根据多边形内角和性质，得正五边形内角和，从而得；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．

【详解】

∵正五角星（是正五边形的五个顶点）

∴五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且

∴正五边形内角和为：

∴

∴

∵

∴

∴

故答案为：36．