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初中数学中考复习 专题25 与图形的相似有关的压轴题-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（原卷版）
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这是一份初中数学中考复习 专题25 与图形的相似有关的压轴题-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（原卷版），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题26 与图形的相似有关的压轴题
一、单选题
1．（2022·四川宜宾）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
2．（2021·山东滨州）在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2020·重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．8 C．10 D．
4．（2020·江苏无锡）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
二、填空题
5．（2022·江苏宿迁）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是_____．
6．（2021·山东济南）如图，一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为__________．
7．（2021·辽宁锦州）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn＋1的面积为___________________（用含有n的式子表示）．
8．（2021·内蒙古赤峰）如图，正方形ABCD的边长为，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G,连接CG并延长，交AB于点F，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②；③，④，其中正确结论的序号是_____________．
9．（2021·湖北襄阳）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在的延长线上，，交于点，，，则______．
10．（2021·山东泰安）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．
11．（2021·四川乐山）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．
12．（2021·四川资阳）如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G．于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为__________．
13．（2021·四川遂宁）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确的是_____（填写序号）
14．（2020·辽宁鞍山）如图，在菱形中，，点E，F分别在，上，且，与相交于点G，与相交于点H．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有_______．（只填序号即可）
15．（2020·辽宁沈阳）如图，在矩形中，，，对角线相交于点，点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点．若为直角三角形，则的长__________．
16．（2020·山西）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
17．（2020·湖北孝感）如图，已知菱形的对角线相交于坐标原点，四个顶点分别在双曲线和上，．平行于轴的直线与两双曲线分别交于点，，连接，，则的面积为______．
18．（2020·江苏扬州）如图，在中，，，，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC、EF为邻边构造，连接EG，则EG的最小值为________．
19．（2020·黑龙江牡丹江）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有___________．（只填序号）
20．（2020·四川泸州）如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________．
21．（2020·四川成都）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．
22．（2020·四川广元）如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的________________．（填序号）
① ② ③为等边三角形 ④ ⑤CM平分
23．（2020·四川攀枝花）如图，在边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（请填上所有正确结论的序号）
三、解答题
24．（2022·贵州铜仁）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．
25．（2022·内蒙古包头）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
(1)如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．
①若，求的长；
②在满足①的条件下，若，求证：；
(2)如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．
26．（2022·江苏泰州）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.
(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
27．（2022·湖南岳阳）如图，和的顶点重合，，，，．
(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；
(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．
28．（2022·湖北宜昌）已知菱形中，是边的中点，是边上一点．
(1)如图1，连接，．，．
①求证：；
②若，求的长；
(2)如图2，连接，．若，，求的长．
29．（2022·江苏苏州）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E．
①若，，求BC的长；
②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值．
30．（2022·山西）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
31．（2022·湖北武汉）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
32．（2022·四川达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
33．（2021·山东临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？
34．（2021·贵州铜仁）如图，在中，，cm，cm．点是边上的一动点，点从点出发以每秒2cm的速度沿方向匀速运动，以为边作等边（点、点在同侧），设点运动的时间为秒，与重叠部分的面积为．
（1）当点落在内部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示，不要求写的取值范围）；
（2）当点落在上时，求此时与重叠部分的面积的值：
（3）当点落在外部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示）．
35．（2021·海南）如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点重合，点F是的延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，交于点K，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接．
①求证：；
②若，求的长．
36．（2021·河南）下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段．请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）分别作线段，的垂直平分线，，交点为，垂足分别为点，；（3）作射线，射线即为的平分线．简述理由如下：
由作图，，，，所以，则，即射线是的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2．（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）连接，，交点为；（3）作射线，射线即为的平分线．
……
任务：
（1）小明得出的依据是 ．（填序号）
①；②；③；④；⑤．
（2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知，点，分别在射线，上，且．点，分别为射线，上的动点，且，连接，，交点为，当时，直接写出线段的长．
37．（2021·四川南充）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合）．DF交AC于点G，于点H，，．
（1）求．
（2）设，，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）．
（3）当时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．
38．（2021·四川资阳）已知，在中，．
（1）如图1，已知点D在边上，，连结．试探究与的关系；
（2）如图2，已知点D在下方，，连结．若，，，交于点F，求的长；
（3）如图3，已知点D在下方，连结、、．若，，，，求的值．
39．（2021·四川广元）如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．
40．（2020·江苏淮安）【初步尝试】
（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ；
【思考说理】
（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．
41．（2020·湖北襄阳）在中，，．点D在边上，且，交边于点F，连接．
（1）特例发现：如图1，当时，①求证：；②推断：_________．；
（2）探究证明：如图2，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作的垂线，交于点P，交于点K，若，求的长．
42．（2020·江苏扬州）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且，OC平分，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．
（1）求证：；
（2）如图2，若，求的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．
43．（2021·江苏宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．
44．（2021·山西）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
45．（2021·上海）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．
（1）当点E在边上时，
①求证：；
②若，求的值；
（2）若，求的长．
专题26 与图形的相似有关的压轴题
一、单选题
1．（2022·四川宜宾）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
2．（2021·山东滨州）在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2020·重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．8 C．10 D．
4．（2020·江苏无锡）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
二、填空题
5．（2022·江苏宿迁）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是_____．
6．（2021·山东济南）如图，一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为__________．
7．（2021·辽宁锦州）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn＋1的面积为___________________（用含有n的式子表示）．
8．（2021·内蒙古赤峰）如图，正方形ABCD的边长为，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G,连接CG并延长，交AB于点F，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②；③，④，其中正确结论的序号是_____________．
9．（2021·湖北襄阳）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在的延长线上，，交于点，，，则______．
10．（2021·山东泰安）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．
11．（2021·四川乐山）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．
12．（2021·四川资阳）如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G．于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为__________．
13．（2021·四川遂宁）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确的是_____（填写序号）
14．（2020·辽宁鞍山）如图，在菱形中，，点E，F分别在，上，且，与相交于点G，与相交于点H．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有_______．（只填序号即可）
15．（2020·辽宁沈阳）如图，在矩形中，，，对角线相交于点，点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点．若为直角三角形，则的长__________．
16．（2020·山西）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
17．（2020·湖北孝感）如图，已知菱形的对角线相交于坐标原点，四个顶点分别在双曲线和上，．平行于轴的直线与两双曲线分别交于点，，连接，，则的面积为______．
18．（2020·江苏扬州）如图，在中，，，，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC、EF为邻边构造，连接EG，则EG的最小值为________．
19．（2020·黑龙江牡丹江）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有___________．（只填序号）
20．（2020·四川泸州）如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________．
21．（2020·四川成都）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．
22．（2020·四川广元）如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的________________．（填序号）
① ② ③为等边三角形 ④ ⑤CM平分
23．（2020·四川攀枝花）如图，在边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（请填上所有正确结论的序号）
三、解答题
24．（2022·贵州铜仁）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．
25．（2022·内蒙古包头）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
(1)如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．
①若，求的长；
②在满足①的条件下，若，求证：；
(2)如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．
26．（2022·江苏泰州）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.
(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
27．（2022·湖南岳阳）如图，和的顶点重合，，，，．
(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；
(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．
28．（2022·湖北宜昌）已知菱形中，是边的中点，是边上一点．
(1)如图1，连接，．，．
①求证：；
②若，求的长；
(2)如图2，连接，．若，，求的长．
29．（2022·江苏苏州）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E．
①若，，求BC的长；
②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值．
30．（2022·山西）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
31．（2022·湖北武汉）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
32．（2022·四川达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
33．（2021·山东临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？
34．（2021·贵州铜仁）如图，在中，，cm，cm．点是边上的一动点，点从点出发以每秒2cm的速度沿方向匀速运动，以为边作等边（点、点在同侧），设点运动的时间为秒，与重叠部分的面积为．
（1）当点落在内部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示，不要求写的取值范围）；
（2）当点落在上时，求此时与重叠部分的面积的值：
（3）当点落在外部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示）．
35．（2021·海南）如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点重合，点F是的延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，交于点K，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接．
①求证：；
②若，求的长．
36．（2021·河南）下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段．请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）分别作线段，的垂直平分线，，交点为，垂足分别为点，；（3）作射线，射线即为的平分线．简述理由如下：
由作图，，，，所以，则，即射线是的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2．（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）连接，，交点为；（3）作射线，射线即为的平分线．
……
任务：
（1）小明得出的依据是 ．（填序号）
①；②；③；④；⑤．
（2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知，点，分别在射线，上，且．点，分别为射线，上的动点，且，连接，，交点为，当时，直接写出线段的长．
37．（2021·四川南充）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合）．DF交AC于点G，于点H，，．
（1）求．
（2）设，，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）．
（3）当时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．
38．（2021·四川资阳）已知，在中，．
（1）如图1，已知点D在边上，，连结．试探究与的关系；
（2）如图2，已知点D在下方，，连结．若，，，交于点F，求的长；
（3）如图3，已知点D在下方，连结、、．若，，，，求的值．
39．（2021·四川广元）如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．
40．（2020·江苏淮安）【初步尝试】
（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ；
【思考说理】
（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．
41．（2020·湖北襄阳）在中，，．点D在边上，且，交边于点F，连接．
（1）特例发现：如图1，当时，①求证：；②推断：_________．；
（2）探究证明：如图2，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作的垂线，交于点P，交于点K，若，求的长．
42．（2020·江苏扬州）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且，OC平分，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．
（1）求证：；
（2）如图2，若，求的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．
43．（2021·江苏宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．
44．（2021·山西）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
45．（2021·上海）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．
（1）当点E在边上时，
①求证：；
②若，求的值；
（2）若，求的长．
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