初中数学中考复习 专题27 特殊三角形【考点精讲】（原卷版）

考点1：等腰三角形的性质与判定

1．定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.

2．性质:① 等腰三角形的两腰相等;

② 等腰三角形的两底角相等，即“等边对等角”;

③ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;

④ 等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线. 

3．判定:

① 有两条边相等的三角形是等腰三角形;

② 有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.

【例1】（2021·江苏扬州市）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【例2】（2021·浙江绍兴市）如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．

1．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A．10 B．5 C．4 D．3

2．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　    　．

3．（2021·湖南）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．

（1）求证：；

（2）求的度数．

考点2：等边三角形的性质与判定

1．定义:三边相等的三角形是等边三角形.

2．性质:

① 等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;

② “三线合一”;

③ 等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴. 

3．判定:

① 三条边都相等的三角形是等边三角形;

② 三个角都相等的三角形是等边三角形;

③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 

【例3】（2021·广东）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且

（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．

（1）等边三角形与全等三角形的结合运用;

（2）等边三角形与含30°角的直角三角形的结合运用.

1．（2021·重庆）在等边中，， ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．

图1                                图2                            图3

（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．

①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；

②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：；

（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积．

2．（2021·江苏连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；

（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；

（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．

考点3：直角三角形的性质

1．性质:

① 直角三角形的两锐角互余;

② 直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;

③ 直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.

2．判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形. 

【例4】（2020•泰州）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重

叠形成的角为65°，则图中角α的度数为　   　．

1．（2021·四川乐山市）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（    ）

A． B． C．2 D．

考点4：勾股定理及其逆定理

①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;

②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.

【例5】（2021·江苏宿迁市）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为                       尺．

（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.

（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.

（3）用于证明平方关系的问题.

1．（2021·四川自贡市）如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·浙江金华市）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（    ）

A． B． C． D．