初中数学中考复习 专题33 最值问题（原创版）

专题33  最值问题

在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：

1.二次函数的最值公式

二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有

①若当时，y有最小值。；

②若当时，y有最大值。。

2.一次函数的增减性

 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法

根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。

4.构造函数法

“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质

在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。

6. 零点区间讨论法

用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解

在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。

8. “夹逼法”求最值

在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为　    　．

【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是　  　．

【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC＝3．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；

（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；

（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ＋QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

1.（2018河南）要使代数式有意义，则x的（    ）

A.最大值为     B.最小值为     

C.最大值为      D.最大值为

2.（2018四川绵阳）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。

3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么的最小值为_______。

4.（2018云南）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为　    　．

5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第

15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为，。

（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？

8.（经典题）求的最大值与最小值。

9.（经典题）求代数式的最大值和最小值。

10.（经典题）求函数的最大值。

11. （2018山东济南）已知x、y为实数，且满足，，求实数m最大值与最小值。

12.（2019年黑龙江省大庆市）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．

（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？

13.（2019年宁夏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．

（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；

（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．

14. （2019广东深圳）如图所示，抛物线过点A（－1，0），点C（0，3），且OB=OC．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值，

（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．

15.（2019广西省贵港）已知：是等腰直角三角形，，将绕点顺时针方向旋转得到△，记旋转角为，当时，作，垂足为，与交于点．

（1）如图1，当时，作的平分线交于点．

①写出旋转角的度数；

②求证：；

（2）如图2，在（1）的条件下，设是直线上的一个动点，连接，，若，求线段的最小值．（结果保留根号）.

16.（2019贵州省安顺市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

17.（2019广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点．

（1）求，两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．

18.（2019内蒙古赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

19.（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点

（1）求该抛物线的解析式；

（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≤y2，求P点横坐标x1的取值范围；

（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．

20.（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．