初中数学中考复习 专题33四边形压轴综合问题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【原卷版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题33四边形压轴综合问题

一、解答题

1．（2022·甘肃兰州·中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．

(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．

2．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．

(1)求BD的长；

(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，

①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；

②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．

3．（2022·上海·中考真题）平行四边形，若为中点，交于点，连接．

(1)若，

①证明为菱形；

②若，，求的长．

(2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值．

4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．

如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：

(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；

(2)图③中，AB=2，BC=3，则         ；

(3)当AB=m , BC=n时．          ．

(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为         ．

5．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．

【问题解决】

(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形是矩形，

∴．

由折叠可知，，．

∴．

∴．

请你补全余下的证明过程．

【结论应用】

(2)的度数为________度，的值为_________；

(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）

6．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．

(1)点D到边的距离为__________；

(2)用含t的代数式表示线段的长；

(3)连结，当线段最短时，求的面积；

(4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值．

7．（2022·山东临沂·中考真题）已知是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由．

(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．

8．（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点．

(1)如图1，当点在上，在上，求的值为多少；

(2)将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求：的值为多少；

(3)，，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．

9．（2022·广西·中考真题）已知，点A，B分别在射线上运动，．

(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：

(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：

(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值．

10．（2022·辽宁·中考真题）如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由；

(3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长．

11．（2022·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．

(1)问题解决：

如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；

(2)问题探究：

如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；

(3)拓展延伸：

当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．

12．（2022·辽宁营口·中考真题）如图1，在正方形中，点M为边上一点，过点M作且，连接，点P，Q分别为的中点，连接．

(1)证明：；

(2)将图1中的绕正方形的顶点D顺时针旋转．

①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；

②若，在绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段的长．

13．（2022·福建·中考真题）已知，AB＝AC，AB＞BC．

(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；

(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；

(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．

14．（2022·湖南永州·中考真题）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地、B、C、四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示），A、B、C、四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．

方案一：如图2所示，沿正方形的三边铺设水管；

方案二：如图3所示，沿正方形的两条对角线铺设水管．

(1)请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；

(2)小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），

满足，，、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：，）

15．（2022·江苏常州·中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．

(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；

(2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；

(3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．

16．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．

(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；

(2)若＝2，求的值；

(3)若MN∥BE，求的值．

17．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．

（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：

（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．

18．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知矩形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，且．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．

19．（2022·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．

(1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．

(2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．

(3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．

20．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；

(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；

(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．

21．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．

(1)如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．

①若，求的长；

②在满足①的条件下，若，求证：；

(2)如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．

22．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．

(1)当点P是的中点时，求证：；

(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．

①证明，并求出在（1）条件下的值；

②连接，求周长的最小值；

③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．

23．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．

(1)如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：．

(2)如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，，求的长．

(3)如图三，在四边形中，E为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长．

24．（2022·河南·中考真题）综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断

操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．

①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；

②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．

(3)拓展应用

在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．