初中数学中考复习 专题34 与圆有关的位置关系【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）

考点1：点、直线和圆的位置关系

1．如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么：

（1）点在圆外⇔d>r；  （2）点在圆上⇔d=r；   （3）点在圆内⇔d<r。

2．直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交

【例1】（2021·浙江嘉兴市）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（      ）

A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切

【答案】D

【分析】

根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

【详解】

解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，

即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，

∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，

∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，

故选：D．

【例2】（2021·上海）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（    ）

A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外

C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外

【答案】C

【分析】

根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可

【详解】

∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1

∴圆A的半径为5

∵<5

∴点D在圆A内

在Rt△ABC中，

∴点C在圆A上

故选：C

掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系. 

1．矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4，点P在边AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（　　）

A．点B、C均在⊙P外 B．点B在⊙P外，点C在⊙P内 

C．点B在⊙P内，点C在⊙P外 D．点B、C均在⊙P内

【分析】先求出AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可．

【解答】解：如图，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD＝BC＝4，

∵AB＝10，BP：AP＝4：1，

∴AP＝2，BP＝8，

在Rt△ADP中，∵AP＝2，AD＝4，

∴DP6，

在Rt△PBC中，CP4，

∵8＞6，46，

∴点B，点C均在⊙P外，

故选：A．

2．如图，已知∠BOA＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM＝5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是（　　）

A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定

【分析】作MH⊥OA于H，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MHOM，则MH大于⊙M的半径，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解．

【解答】解：作MH⊥OA于H，如图，

在Rt△OMH中，∵∠HOM＝30°，

∴MHOM，

∵⊙M的半径为2，

∴MH＞2，

∴⊙M与直线OA的位置关系是相离．

故选：B．

3．（2021·青海中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______．

【答案】或

【分析】

分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．

【详解】

设的半径为

当点在外时，根据题意得：

∴

当点在内时，根据题意得：

∴

故答案为：或．

考点2：切线的性质与判定

1．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

2．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 

3．*切线长定理

（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.

（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

【例3】（2021·山东临沂市）如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．

【详解】

解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，

∵AP、BP是切线，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，

∴∠ADB=55°，

又∵圆内接四边形的对角互补，

∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．

故选：C．

【例4】（2021·贵州贵阳市）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．

【详解】

解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，

∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，

∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，

∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，

故选：A．

与切线有关问题常作的辅助线和解题思路

（1）连接圆心和直线与圆的公共点——证明该半径与已知直线垂直，则该直线为切线.

（2）过圆心作这条直线的垂线段——证明这条垂线段和半径相等，则该直线为切线.

（3）当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90°角，由此可展开其他问题的计算或证明.

1．（2021·吉林长春市）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据切线的性质，得∠ABC=90°，再根据直角三角形的性质，即可求解．

【详解】

解：∵AB是的直径，BC是的切线，

∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，

∵，

∴=90°-35°=55°，

故选C．

2．（2021·湖南）如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．

（1）求证：直线与相切；

（2）若的直径是10，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）．

【分析】

（1）连接OD，由点D是的中点得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半径可得DE是切线；

（2）证明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论．

【详解】

解：（1）连接OD交BC于点F，如图，

∵点是的中点，

∴OD⊥BC，

∵DE//BC

∴OD⊥DE

∵OD是的半径

∴直线与相切；

（2）∵AC是的直径，且AB=10,

∴∠ABC=90°，

∵OD⊥BC

∴∠OFC=90°

∴OD//AB

∴

∵

∴

∴

由勾股定理得，

∴．

3．（2021·甘肃武威市）如图，内接于是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的半径及的值；

【答案】（1）见解析；（2）半径为3，

【分析】

（1）证明是的半径，即证明，结合直径所对圆周角是、等腰△OAC和已知即可求解；

（2）由（1）中结论和可知，，再由CD、CE和平行线分线段成比例，即可找到BD、OB、BC、OE的关系，最后利用三边的勾股定理即可求解．

【详解】

（1）证明：如图，

，

，

，

是的直径，

，

，

，即，

，

又是的半径，

是的切线．

（2）

，即，

∴设，则，

，解得，，

．即的半径为3，

，

在中，，

．

考点3：三角形的内心和外心

（1）三角形的内心到三角形三边的距离都相等；

（2）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离都相等.

【例5】（2021·浙江中考真题）如图，已知点是的外心，∠，连结，，则的度数是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．

【详解】

的外接圆如下图

∵∠

∴

故选：C．

【例6】如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC等于（　　）

A．130° B．125° C．120° D．115°

【分析】根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A，求出∠A度数，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据三角形的内心得出∠IBCABC，∠ICBACB，求出∠IBC+∠ICB的度数，再求出答案即可．

【解答】解：∵在△ABC中，∠BOC＝140°，O是外心，

∴∠BOC＝2∠A，

∴∠A＝70°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，

∵I为△ABC的内心，

∴∠IBCABC，∠ICBACB，

∴∠IBC+∠ICB55°，

∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝125°，

故选：B．

1．（2021·山东滨州）如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．

【详解】

解：连接AD，如右图所示，

∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，

∴∠DAC=90°，

∴AD==8，

∴cos∠ADC==，

∵∠ABC=∠ADC，

∴cos∠ABC的值为，

故选：A．

2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）

A．56° B．62° C．68° D．78°

【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．

【解答】解：∵点I是△ABC的内心，

∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，

∵∠AIC＝124°，

∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）

＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）

＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）

＝68°，

又四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠CDE＝∠B＝68°，

故选：C．

3．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，BC＝5，点I为△ABC的内心，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】连接BI、CI，由点I为△ABC的内心，得出BI平分∠ABC，则∠ABI＝∠CBI，由平移得AB∥DI，则∠ABI＝∠BID，推出∠CBI＝∠BID，得出BD＝DI，同理可得CE＝EI，△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝5，即可得出结果．

【解答】解：连接BI、CI，如图所示：

∵点I为△ABC的内心，

∴BI平分∠ABC，

∴∠ABI＝∠CBI，

由平移得：AB∥DI，

∴∠ABI＝∠BID，

∴∠CBI＝∠BID，

∴BD＝DI，

同理可得：CE＝EI，

∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝5，

即图中阴影部分的周长为5，

故选：B．