初中数学中考复习 专题40 几何最值之隐形圆问题【热点专题】（原卷版）

模型一：定点定长作圆

模型探究：如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆．

【推广】在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．

模型二：定弦定角作圆

模型探究：若已知定弦AB，定角∠C，要确定顶点C的运动轨迹，需分三种情况：

（1）如图①，在⊙O中，当∠C＜90°时，点C的轨迹为优弧；

（2）如图②，在⊙O中，当∠C＝90°时，点C的轨迹为半圆；

（3）如图③，在⊙O中，当∠C＞90°时，点C的运动轨迹为劣弧 .  

图①            图②             图③

常见张角计算(关键定圆心)：

模型三：四点共圆

（1）如图①、②，共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都有A、B、C、D四点共圆

（2）

             图③               图④

（2）如图③ 若∠A+∠C=180° ，则A、B、C、D四点共圆.             

如图④ 固定线段AB同侧若∠P=∠C ，则A、B、C、P四点共圆.  

【例1】如图，是矩形内一点，，，，则当线段最短时，　　．

【例2】如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若上总存在点，使过所作的的两切线互相垂直，则的最大值等于　　．

【例3】如图，是的内接三角形，且是的直径，点为上的动点，且，的半径为6，则点到距离的最大值是　　．

【例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（       ）

A．2 B．π C．2π D．π

1．如图，等边的边长为2，的半径为1，是上的动点，与相切于，的最小值是　　

A．1 B． C． D．2

2．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（     ）

A．1 B． C．2 D．

3．如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为　　．

4．如图点是半圆上一个三等分点（靠近点这一侧），点是弧的中点，点是直径上的一个动点，若半径为3，则的最小值为　　．

5．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是　　．

6．已知点是圆心为坐标原点且半径为3的圆上的动点，经过点作直线轴，点是直线上的动点，若，则的面积的最大值为　　．

7．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．

（1）求证：点为的中点；

（2）若，，求的长；

（3）若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．

8．如图，已知点，，在抛物线上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线上方的抛物线上求一点，使面积为1；

（3）在轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．