初中数学中考复习 专题41 几何问题（1）之动点问题【热点专题】（原卷版）

题型一：圆背景下的动态探究题

【例1】（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水

能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、

B筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚

浮出水面时开始计算时间．

（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？

（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．

（参考数据：cos43°＝sin47°，sin16°＝cos74°，sin22°＝cos68°）

【例2】（2020•苏州）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动

点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s

的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连

接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．

（1）求OP+OQ的值；

（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

（3）求四边形OPCQ的面积．

题型二：四边形动点探究

【例3】（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC

（1）求证：AG＝GH；

（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；

（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？

【例4】（2021·湖南中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为，连接，，，．

（1）如图①，若，证明：．

（2）如图②，若，，求的值．

（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

1．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；

（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；

（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．

2．（2021·四川中考真题）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．

（1）求证：直线AC是⊙O的切线；

（2）求△ABC的面积；

（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．

①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；

②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．

3．（2020•河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．

（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；

（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；

（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；

（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK，请直接写出点K被扫描到的总时长．

4．（2020•青岛）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．

解答下列问题：

（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？

（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；

（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

5．（2020•温州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知yx+12，当Q为BF中点时，y．

（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．

（2）求DE，BF的长．

（3）若AD＝6．

①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．

②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．

6．（2020•衡阳）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当点H落在AC边上时，求t的值；

（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．