初中数学中考复习专题43 概率【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）

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知识精讲
考点1：随机事件、用概率公式求概率
事件的分类
生活中的事件分为确定事件和不确定事件,确定事件又分为必然事件和不可能事件.
概率
（1）表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.
（2）概率的性质
① 必然事件发生的概率为1,即P(必然事件)=1;
② 不可能事件发生的概率为0,即P(不可能事件)=0;
③ 如果A为不确定事件,那么0④ P(A)的范围是0≤P(A)≤1.
概率的计算方法
（1）一步事件的概率:P=(k表示关注结果的次数,n表示所有可能出现结果的次数).

【例1】（2021·广西百色·中考真题）骰子各面上的点数分别是1，2，…，6，抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是（）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】
根据概率公式知，6个数中有3个偶数，故掷一次骰子，向上一面的点数为偶数的概率是．
【详解】
解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数为偶数，
故其概率是＝．
故选：A．
【例2】（2020•攀枝花）下列事件中，为必然事件的是（）
A．明天要下雨 B．|a|≥0
C．﹣2＞﹣1 D．打开电视机，它正在播广告
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解析】根据题意，结合必然事件的定义可得：
A、明天要下雨不一定发生，不是必然事件，故选项不合题意；
B、一个数的绝对值为非负数，故是必然事件，故选项符合题意；
C、﹣2＞﹣1，是不可能事件，故选项不合题意；
D、打开电视机，它不一定正在播广告，有可能是其他节目，故不是必然事件，故选项不合题意；
故选：B．针对训练
1．（2020•襄阳）下列说法正确的是（）
A．“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨
D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
【分析】根据随机时间的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】A、“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；
B、汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；
C、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；
D、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确；
故选：D．
2．（2020•长沙）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（）
A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球
C．第一次摸出的球是红球的概率是13
D．两次摸出的球都是红球的概率是19
【分析】根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解析】A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；
B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；
C、∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是13，故本选项正确；
D、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是19，故本选项正确；
故选：A．
3．（2020•齐齐哈尔）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（）
A．12B．13C．14D．23
【分析】用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可得．
【解析】∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，
∴朝上一面的数字出现偶数的概率是36=12，
故选：A．
考点2：用列举法求概率

【例3】（2021·山东济南·中考真题）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意，用列表法求出概率即可．
【详解】
根据题意，设三个宣传队分别为列表如下：
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是．
故选C
【例4】（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据题意画出树形图，求出在这两个路口都直接通过的概率为即可求解．
【详解】
解：由题意画树形图得，
由树形图得共有4种等可能性，其中在这两个路口都直接通过的概率是P=．
故选：A
方法技巧
（1）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成的事件，画树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;
针对训练
（2）概率=.
1．（2020•咸宁）某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解析】利用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中小聪和小慧同时被选中的有1种，
∴P（小聪和小慧）=16，
故答案为：16．
2．（2020•黑龙江）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个小球的标号之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】画树状图如图所示：
∵共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，
∴摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为820=25，
故答案为：25．
3．（2020•河南）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．
【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解析】自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：
共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，
∴P（两次颜色相同）=416=14，
故答案为：14．
考点3：用频率估计概率
①计算简单事件发生的概率的方法有列举法(包括列表格、画树状图);
②通过大量的重复试验时，频率可视为事件发生概率的估计值.

【例5】（2021·山东青岛·中考真题）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________．
【答案】6
【分析】
估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】
解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．
故答案为：6．
方法技巧
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率;
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确;
针对训练
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率.
1．（2021·辽宁锦州·中考真题）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为____．
【答案】8
【分析】
估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.4，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．
【详解】
解：因为共摸了300次球，发现有120次摸到红球，
所以估计摸到红球的概率为0.4，
所以估计这个口袋中红球的数量为20×0.4＝8（个）．
故答案为：8．
2．（2020•营口）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）
A．0.90B．0.82C．0.85D．0.84
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
【解析】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：B．
3．（2020•扬州）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿
码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方
形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部
分的总面积约为 cm2．
【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
【解析】∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为S，则S4=0.6，
解得S＝2.4（cm2）．
答：估计黑色部分的总面积约为2.4cm2．
故答案为：2.4．
小华\小丽
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82